第1章 1.1 第2课时 集合的表示法（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　集合的表示法 [对应学生用书P4] 导学1　集合的表示法 　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ [提示]　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出． ◎结论形成 列举法：把集合中的元素__一一列举__出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． 导学2　描述法 　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ [提示]　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． ◎结论形成 描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的__一般符号__及__范围__，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 导学3　区间 　能否用更为简洁的符号表示A＝{x|－3<x≤2}? [提示]　可以用更加简洁的符号表示，可以用区间表示为(－3，2]，这是一种新的表示方法． ◎结论形成 设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|x>a} __(a，＋∞)__ {x|x<b} (－∞，b) R (－∞，＋∞) {x|a≤x<b} 半开 半闭 区间 __[a，b)__ {x|a<x≤b} (a，b] {x|x≥a} __[a，＋∞)__ {x|x≤b} (－∞，b] 其中符号“∞”读作“无穷大”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){1}＝1.(　　) (2){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}．(　　) (3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　) (4){x|x2＝1}＝{－1，1}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1}　　　 B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 解析　该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C. 答案　C 3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________． 答案　{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1＜x＜5} 4．用区间表示下列集合： (1){x|－1≤x≤2}：________； (2){x|1＜x≤3}：________； (3){x|x＞2}：________； (4){x|x≤－2}：________． 答案　(1)[－1，2]　(2)(1，3]　(3)(2，＋∞)　(4)(－∞，－2] [对应学生用书P5] 题型一　用列举法表示集合 　用列举法表示下列给定的集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. [解析]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． [触类旁通] 1．用列举法表示下列集合． (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N. 解析　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2，3}． (3)解得∴B＝{(3，2)}． (4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}． 题型二　用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使y＝有意义的实数x组成的集合； (4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集． [解析]　(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)∵被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}． (3)要使y＝有意义．则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3. ∴使y＝有意义的实数x组成的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． (4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.∴方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． 用描述法表示集合时应注意的四点 (1)写清楚该集合中元素的一般符号； (2)说明该集合中元素的性质； (3)所有描述的内容都可写在集合符号内； (4)在描述法的一般形式中，“x”是集合中元素的代表形式，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略． [触类旁通] 2．下列三个集合． ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 解析　(1)不是． (2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围． 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的． 题型三　区间及其表示 　把下列数集用区间表示． (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x≤1}． [解析]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞). (2){x|x<0}＝(－∞，0). (3){x|－1<x<1}＝(－1，1). (4){x|0<x≤1}＝(0，1]. 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． [触类旁通] 3．(1)集合{x|－2<x≤2}用区间表示为________． (2)已知区间(a＋1，7]，则实数a的取值范围是__________． 解析　(1){x|－2<x≤2}＝(－2，2]. (2)由题意可知a＋1<7，即a－6<0，解得a<6，所以实数a的取值范围是(－∞，6). 答案　(1)(－2，2]　(2)(－∞，6) 题型四　集合表示方法的综合应用一题多变 　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． [解析]　 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}． [母题变式] (变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合． 解析　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故即k<1且k≠0， 所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}． [素养聚焦]　通过集合表示的综合运用，逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． [触类旁通] 4．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________． 解析　由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为2， 即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2. 答案　2 [缜密思维提能区]　易错辨析 对描述法理解不正确致误 [典例]　集合与集合是否表示同一个集合，并说明理由． [错解]　表示同一个集合．理由如下： ∵x与的范围一致，∴表示同一个集合． [正解]　不表示同一个集合．理由如下： ∵x∈N，且∈Z，∴1＋x＝1，2，3，6. ∴x＝0，1，2，5. ∴＝{0，1，2，5}． 而＝{6，3，2，1}， ∴两个集合不表示同一个集合． [纠错心得]　化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集，还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可． 知识落实 技法强化 1．集合的两种表示方法． 2．区间及其表示． 1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法． 2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么． 学科网（北京）股份有限公司 $$