精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

周四数学练习2024.9.5 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2和3 B. 1和 C. 2和 D. 2和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数和一次项系数分别为2和． 故选：C． 3. 已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ） A. b=﹣1，c=2 B. b=1，c=﹣2 C. b=1，c=2 D. b=﹣1，c=﹣2 【答案】D 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2， ∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2． ∴b=﹣1，c=﹣2． 故选：D． 4. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 5. 如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据一元二次方程的根的定义将代入方程解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 将代入关于的方程， 可得， 解得． 故选：B． 6. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：A、，故A有两个不相等的实数根． B、，故B有两个不相等的实数根． C、，故C有两个不相等的实数根． D、，故D没有实数根． 故选：D 7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 或7 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据，，得出，求出，，根据，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键． 8. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并同类项，即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，解得，再根据二次项系数不为0得到，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知实数，是方程的两根，则的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值. 【详解】∵，是方程的两根， ∴a+b=1，ab=-1， ∴ = = =-1， 故答案为：-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则. 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________ 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：2． 13. 若a是方程的解，计算：=______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整体思想进行计算即可． 【详解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根， ∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a ∴ 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用． 14. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断． 【详解】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确； 当时，一元二次方程的根的判别式，也为一元二次方程，此方程的根的判别式△，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确； 一元二次方程无解，则，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式，则它的倒方程也无解，所以③正确； 一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题 15. 用适合的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可； （5）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，； 【小问3详解】 解得，； 【小问4详解】 或 解得，； 【小问5详解】 或 解得，． 16. 已知关于的一元二次方程（为实数且）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 17. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】把代入方程，求出，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可． 【详解】19．解：∵是方程的一个根， ∴． ∴． 原式 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 【小问2详解】 解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 19. 阅读下列材料： 我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如：． 请根据上述材料解决下列问题： （1）将多项式变形为的形式； （2）当分别取何值时有最小值？求出这个最小值； （3）若，则与的大小关系是　　　　 【答案】（1） （2）当，时原式有最小值为15 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式是解答关键． （1）利用完全平方公式即可求解； （2）利用完全平方公式变形，根据，来求解； （3）利用作差法和完全平方公式，进而得到m与n的大小关系． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． ∵，， ∴当，时原式有最小值为15． ∴当，时原式有最小值为15； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 【答案】（1）详见解析；（2）13． 【解析】 【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可； （2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵BM⊥AC，DN⊥AC， ∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形； （2）∵四边形BMDN是平行四边形， ∴DM=BN， ∵CD=AB，CD∥AB， ∴CM=AN，∠MCE=∠NAF， ∵∠CEM=∠AFN=90°， ∴△CEM≌△AFN， ∴FN=EM=5， 在Rt△AFN中，AN===13． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE． （1）根据题意补全图形，并证明∠CAD=∠BDE； （2）用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明； （3）用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明∠CAD和∠BDE都与∠ADC互余即可； （2）过E作EG⊥CB于G，利用△ACD≌△DGE可得CD＝EG，AC＝DG，从而可证明△BGE是等腰直角三角形，即可得到BE＝CD； （3）由AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2−CD2可得AB2＝2（AD2−CD2），再根据BE＝CD即可得到线段AD，AB，BE之间的数量关系． 【小问1详解】 解：（1）补全图形如图所示． 证明：∵正方形ADEF， ∴∠ADE＝90°， ∴∠BDE＝180°−∠ADE−∠ADC＝90°−∠ADC， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD＝90°−∠ADC， ∴∠CAD＝∠BDE； 【小问2详解】 解：． 证明：过E作EG⊥CB于G，如图： ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝DE， ∵EG⊥CB， ∴∠G＝90°＝∠C， 在△ACD和△DGE中， ， ∴△ACD≌△DGE（AAS）， ∴CD＝EG，AC＝DG， ∵AC＝BC， ∴DG＝BC， ∴DG−DB＝BC−DB，即BG＝CD， ∴BG＝EG， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴BE＝BG， ∴BE＝CD； 【小问3详解】 解：．理由如下： ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴AB2＝AC2＋BC2＝2AC2，AC2＝AD2−CD2， ∴AB2＝2（AD2−CD2）， 而BE＝CD， ∴CD2＝BE2， ∴AB2＝2（AD2−BE2）， 即AB2＝2AD2−BE2． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、正方形、全等三角形的性质及应用，解题的关键是构造全等三角形，熟练掌握勾股定理的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周四数学练习2024.9.5 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2和3 B. 1和 C. 2和 D. 2和 3. 已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ） A. b=﹣1，c=2 B. b=1，c=﹣2 C. b=1，c=2 D. b=﹣1，c=﹣2 4. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 5. 如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 或7 8. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 11. 已知实数，是方程的两根，则的值为______． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________ 13. 若a是方程的解，计算：=______. 14. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 三、解答题 15. 用适合的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 16. 已知关于的一元二次方程（为实数且）． （1）求证：此方程总有实数根； （2）如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 17. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 19. 阅读下列材料： 我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如：． 请根据上述材料解决下列问题： （1）将多项式变形为的形式； （2）当分别取何值时有最小值？求出这个最小值； （3）若，则与的大小关系是　　　　 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 21. 在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE． （1）根据题意补全图形，并证明∠CAD=∠BDE； （2）用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明； （3）用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $