第2章 2.2 第1课时 函数的表示法（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章　函 数 §2　函 数 2.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 表格的形式 图象 栏目导航 第二章　函 数 1 解析表达式(简称 解析式) 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 栏目导航 第二章　函 数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函 数 1 学业标准 素养目标 1．掌握函数的三种表示方法．(重点) 2．会求函数的解析式． (难点) 1．借助函数表示的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过作函数的图象，提升直观想象逻辑推理等核心素养． 导学　函数的三种表示法 　函数的三种表示方法各有什么优点？ [提示]　(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． (2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． (3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值． 　任何一个函数都可以用解析法表示吗？ [提示]　不是．如某地区一天中每时每刻的温度，由于受自然因素影响较大，无法借助函数解析式来具体描述． ◎结论形成 函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 用____________表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值　 仅能表示自变量取有限个值的函数　 图象法 用________把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 能形象直观地表示函数的变化情况　 只能近似求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的________________ _________表示出来，这种方法称为解析法　 一是简明、全面概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值 不够形象，直观，不是所有函数都有解析式 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数的图象可以是一群孤立的点．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 解析　(1)有些函数是不能画出图象的，如f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,－1，x∈∁RQ.)) (2)并不是所有的函数都可以用解析式表示． (3)如y＝x，x∈N其图象是一群孤立的点． (4)有些函数的图象不是一条连续不断的曲线，如f(x)＝ eq \f(1,x) 的图象就不是连续的曲线． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．根据下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1　　　　　　　　 B．2 C．4 D．5 解析　由表知f(1)＝4，f(f(1))＝f(4)＝2. 答案　B 3．已知函数f(x＋1)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x 解析　因为f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，所以f(x)＝2x－1. 答案　B 4．若函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________． 解析　由f(x)的图象可知，－5≤x≤5，－2≤y≤3. 答案　[－5，5]　[－2，3] 题型一　求函数的解析式 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f( eq \r(x) ＋1)＝x＋2 eq \r(x) ，求f(x)的解析式． [解析]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4.)) 解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一(配凑法) ∵f( eq \r(x) ＋1)＝x＋2 eq \r(x) ＝( eq \r(x) ＋1)2－1( eq \r(x) ＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 解法二(换元法) 令 eq \r(x) ＋1＝t(t≥1)， 则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 eq \r(t－12) ＝t2－1(t≥1). ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). [触类旁通] 1．(1)已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________． (2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＝ eq \f(x,1－x2) ，求则f(x)＝________． 解析　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c， f(2x－1)＝a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝8ax2＋4bx＋2a＋2c＝16x2－4x＋6， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a＝16，,4b＝－4，,2a＋2c＝6，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，,c＝1，)) 所以f(x)＝2x2－x＋1. (2)令 eq \f(1,x) ＝t，则x＝ eq \f(1,t) ，且t≠0， ∴f(t)＝ eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t2)) ＝ eq \f(\f(1,t),\f(t2－1,t2)) ＝ eq \f(t,t2－1) ， ∴f(x)＝ eq \f(x,x2－1) (x≠0) 答案　(1)2x2－x＋1　(2) eq \f(x,x2－1) (x≠0) 题型二　函数的图象及应用 　作出下列函数的图象，并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3). [解析]　(1)因为x∈Z，所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z. (2)因为x∈[0，3)，所以函数图象是抛物线的一段(如图②)，由图象知，y∈[－5，3). [素养聚焦]　通过作函数图象，把直观想象等核心素养体现在解题过程中． 1．描点法作函数图象的“三步曲” 一列二描三连线：(1)取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表；(2)在平面直角坐标系中描出表中相应的点；(3)用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象． 2．作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点．例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点． [触类旁通] 2．作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝ eq \f(2,x) ，x∈[2，＋∞). 解析　(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5. 函数图象过点(0，1)，(1，3)，(2，5). 图象如右图所示． 由图可知，函数的值域为[1，5]. (2)当x＝2时，y＝1；当x＝4时，y＝ eq \f(1,2) ； 当x＝6时，y＝ eq \f(1,3) .图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为(0，1]. 题型三　函数表示方法的选择 　下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． [解析]　(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下： (2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示． [触类旁通] 3．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与对应的星期用有序数对来表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用(10，6)和(11，7)表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点．他查阅了某年七月份的日历，利用软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数f(x)，使得这些点都在f(x)的图象上，若f(4)＝1，则下列叙述正确的是(　　) A．该月12日是星期二，有五天是星期二 B．该月12日是星期一，有四天是星期二 C．该月23日是星期六，有五天是星期六 D．该月23日是星期二，有四天是星期二 解析　由题意及f(4)＝1可知，7月4日是星期一，列表如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 可知选项C正确．故选C. 答案　C 知识落实 技法强化 1．函数的三种表示方法． 2．函数解析式的求法． 3．函数图象的画法和应用． 1．求函数解析式的方法有配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法． 2．求函数解析式时不要漏掉定义域． $$