第2章 2.2 第2课时 分段函数（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[基础巩固·夯基提能] 1．已知f(x)＝则f()·f(－1)＝(　　) A．－4　　　　　　　 B． C． D．4 解析　∵f(x)＝所以f()＝()2＝2，f(－1)＝－1－1＝－2， 所以f()·f(－1)＝2×(－2)＝－4. 答案　A 2．若函数f(x)＝则f[f(－2)]＝(　　) A．－2　　 B．2　　 C．－4　　 D．4 解析　因为f(－2)＝2，所以f[f(－2)]＝f(2)＝2＋－5＝－2. 答案　A 3．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．{2，3} C．(1，＋∞) D．(1，2] 解析　当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3，所以函数f(x)的值域是{2，3}． 答案　B 4．函数f(x)＝的图象大致形状是(　　) 解析　函数f(x)＝的定义域为x≠±1，f(x)＝＝ f(2)＝2>0，排除BC选项，f(－2)＝－2<0，排除D选项．故选A. 答案　A 5．已知函数f(x)＝且f(x)＝4，则x＝________． 解析　∵函数f(x)＝且f(x)＝4， ∴当x≤1时，f(x)＝x2＝4， 解得x＝－2或x＝2(舍)， 当x>1时，f(x)＝8x＝4， 解得x＝(舍)， 综上，x的值为－2. 答案　－2 6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为__________． 解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又图象过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x； 当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3. 综上，f(x)＝ 答案　f(x)＝ 7．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|).仿此，分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝________． 解析　因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3.从而式子中含有x＋3与x－3.并通过|x－3|前面的“－”达到需要的结果的形式． 仿此，对于分段函数f(x)＝其分界点为6. 故式子中应含有x＋6与x－6. 又x<6时，f(x)＝6. 故|x－6|的前面应取“＋”． 因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|). 答案　(x＋6＋|x－6|) 8．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题． (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00到12：00他骑了多少千米？ (5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 解析　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米． (5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时； 10：00～10：30的平均速度是14千米/时． (6)从12：00～13：00停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形． [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C.f(1)＝3 D．若f(x)＝3，则x的值是 解析　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误； 当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故D正确． 答案　BD 10．著名的狄利克雷函数D(x)＝则D(D(x))＝(　　) A．0 B．1 C． D． 解析　∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)∈Q，∴D(D(x))＝1. 答案　B 11．已知函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是________． 解析　当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解； 当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解． 故a的取值范围是(－∞，－3). 答案　(－∞，－3) 12．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]. 答案　(－∞，2] 13．函数y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求函数y＝f(x)的值域； (3)y为何值时，只有唯一的x值与之对应？ 解析　(1)由题图知函数y＝f(x)的定义域为[－3，0]∪[1，4]. (2)由题图知函数y＝f(x)的值域为[－2，2]. (3)由题图知，当y∈(0，2]时，只有唯一的x值与之对应． [核心价值·探索创新] 14．(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则下列各式不正确的是(　　) A．x＝－x|sgn x| B．x＝－x sgn |x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝x sgn x 解析　对于选项A，右边＝－x|sgn x|＝而左边＝x，显然不正确； 对于选项B，右边＝－x sgn |x|＝而左边＝x，显然不正确； 对于选项C，右边＝|x|sgn x＝＝x，x∈R， 而左边＝|x|＝显然不正确； 对于选项D，右边＝x sgn x＝ 而左边＝|x|＝显然正确． 答案　ABC 15．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝ (1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式； (2)求(1)中函数h(x)的最大值． 解析　 (2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－22＋，∴h(x)≤. 当x<1时，h(x)<－1， ∴当x＝时，h(x)取最大值且最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$