拓展1-1对称及线段和差问题-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

拓展1-1对称及线段和差问题 一、直线关于点对称 四、线段和的最值 二、点关于直线对称 五、线段差的最值 三、直线关于直线对称 一、直线关于点对称 方法点拨：方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 1．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 4．若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线恒过定点的坐标为 ，直线与的距离的最大值是 . 【答案】 【详解】直线恒过定点，直线与直线关于点(2，3)对称，故点关于点(2，3)对称的点为一定在直线上，故直线恒过定点； 根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为. 故答案为：；. 5．求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 二、点关于直线对称 方法点拨：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 6．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 7．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：时，故A正确； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：ABC. 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 9．将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 【答案】 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 10．圆关于直线的对称圆的方程为 . 【答案】 【详解】圆心为，半径为2， 设关于对称点为，则，解得：， 故对称点为，故圆关于直线对称的圆的方程为. 故答案为： 11．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，中点在直线上，且， 所以，且， 即，且， 所以，且， 故，且， 所以，且， 综上，，可得，显然满足. 故答案为：（答案不唯一） 12．已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【详解】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 13．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 三、直线关于直线对称 方法点拨：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 14．两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 15．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 16．如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【答案】 6 【详解】解：直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 17．若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 18．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 19．已知在中，，. (1)若的面积为，求点C的轨迹方程； (2)若直线平分内角C，求点C的坐标. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1），，，的面积为， 则点C到直线AB的距离恒为2， 所以点C的轨迹是一条与直线AB平行的直线，且与直线AB的距离为2， 直线AB的方程为， 所以设点C的轨迹方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为或. （2）因为直线平分，所以点B关于直线的对称点在直线AC上. 设，则，解得，所以， 所以直线的方程为， 则直线与直线的交点即为点C，即 ，解得，所以点C的坐标为. 20．已知△ABC的一个顶点是，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x=0，y=x. (1)求直线BC的方程； (2)求直线AB的方程． 【答案】(1)y=2x+5； (2)2x+y-5=0. 【详解】（1）因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x=0，y=x，则AB与BC关于x=0对称，AC与BC关于y=x对称， 关于x=0的对称点在直线BC上，设关于y=x的对称点为， 由解得，即有，显然点在直线BC上， 于是得直线BC：，即， 所以直线BC的方程为. （2）因为直线AB与直线BC关于x=0对称，则直线AB与BC的斜率互为相反数， 由（1）知直线BC的斜率为2，则直线AB的斜率为-2， 直线AB：，即， 所以直线AB的方程为. 四、线段和的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短 21．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 22．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．     B．     C．     D． 【答案】A 【详解】 如上图示，连接则，点在平面中，且，，， 在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，， 设点关于直线的对称点为，而直线为①， 所以，故直线为 ②， 联立①②，解得，故直线与的交点， 所以对称点，则，最小值为到直线的距离为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小. 23．已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 【答案】 【详解】因为可转化为：，则圆心为，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为， 则：，解得，即， 所以的最小值是， 故答案为：.      24．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    25．已知圆，，圆：，M，N分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】6 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为1， 在圆中，圆心，半径为3， 是直线上的动点，连接，， 则的最小值为，的最小值为， 则的最小为. 设圆心关于直线的对称点为， 连接，，    则解得 故， ∴， ∴的最小值为. 故答案为：6. 26．已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，由对称性可知， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，可得，即点， 故当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：；. 27．已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 如图所示，连接交于点，交轴于点， 由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立， 因为点与关于直线对称， 所以，解得，所以． 因为与关于轴对称，所以， 所以的周长的最小值为． 故答案为：. 五、线段差的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 28．已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得， 即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为， 联立，解得， 即为所求． 29．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直； ②过点； ③与直线平行． 问题：已知直线过点，且 ． (1)求直线的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择①与直线垂直， 则直线的斜率，解得，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 选择②过点，又直线过点 则直线的斜率， 则直线的方程为：，整理得：； 选择③与直线平行， 则直线的斜率，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：． （2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又， 设点O关于直线的对称点为， 则，且，解得； 显然， 当且仅当Q，N，M（Q在线段MN上）三点共线时取得等号； 又直线QM的斜率，故其方程为：，即， 由，得， 则点N的坐标为时，使得最大. 30．已知直线及点，，． (1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值； (2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值． 【答案】(1)，，最小值为 (2)，最大值为 【详解】（1）设关于直线的对称点的坐标， 则，解得，即， 则的直线方程为：，联立，解得， 即交点为，，此时最小，最小为； （2）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，得， 直线的方程为，即， 联立，解得，即， 由对称性知，，（当且仅当、、三点共线时取“” ， 上的点，是使最大的点． 此时最大值为； 31．已知两点、，直线，在直线上求一点． (1)使最小； (2)使最大． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）可判断、在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为，． 则有，． 解得，． 由两点式求得直线的方程为， 直线与的交点可求得为，． 由平面几何知识可知最小． （2）由两点式求得直线的方程为，即． 直线与的交点可求得为，它使最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-1对称及线段和差问题 一、直线关于点对称 四、线段和的最值 二、点关于直线对称 五、线段差的最值 三、直线关于直线对称 一、直线关于点对称 方法点拨：方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 1．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 4．若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线恒过定点的坐标为 ，直线与的距离的最大值是 . 5．求直线关于点对称的直线l的方程． 二、点关于直线对称 方法点拨：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 6．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 8．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 9．将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 10．圆关于直线的对称圆的方程为 . 11．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 12．已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 13．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 三、直线关于直线对称 方法点拨：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 14．两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 15．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 16．如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 17．若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 18．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 19．已知在中，，. (1)若的面积为，求点C的轨迹方程； (2)若直线平分内角C，求点C的坐标. 20．已知△ABC的一个顶点是，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x=0，y=x. (1)求直线BC的方程； (2)求直线AB的方程． 四、线段和的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短 21．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．     B．     C．     D． 23．已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 24．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 25．已知圆，，圆：，M，N分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 . 26．已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为 ，此时点的坐标为 . 27．已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为 ． 五、线段差的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 28．已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 29．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直； ②过点； ③与直线平行． 问题：已知直线过点，且 ． (1)求直线的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大． 30．已知直线及点，，． (1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值； (2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值． 31．已知两点、，直线，在直线上求一点． (1)使最小； (2)使最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$