精品解析：北京市第五中学分校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

北京五中分校2024~2025学年度第一学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知 1．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A. x＞0 B. x＜0 C. x＞2 D. x＜2 5. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A. B. C. 4 D. 8. 如图，在菱形 中，， 为对角线的交点.将菱形 绕点 逆时针旋转 得到菱形，两个菱形的公共点为 ， ， ， .对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点 到该八边形各顶点的距离都相等； ④点 到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 已知点A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为________. 11. 把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是_____． 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 13. 已知关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是______． 14. 如图，在 中，，，，则______． 15. 如图，将矩形 折叠，使点 和点 重合，折痕为、与交于点 ．若，，则的长为________． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题6分，第19-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24-26题，每小题5分，27-28每小题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在矩形 中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接． 求证：四边形是菱形． 20. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点C是x轴上一点，且 的面积为3，求点C的坐标． 21. 一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值． 从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象，回答下列问题 （1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨； （2）当时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水______吨． 22. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求 的值． 23. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则 的取值范围是 ． 24. 如图，在等腰直角 中，是 边上任意一点（不与重合），将线段绕点 逆时针旋转 得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求 的长． 25. 某果园收获了一批苹果，有个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为，其中A款包装盒中的苹果果径要求是，B款包装盒中的苹果果径要求是 ．从这个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是________，中位数是________； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 81 81 82 82 82 84 其中，包装盒_______中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 26. 对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； （2）当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； （3）结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 27. 在 中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段 ． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系 中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且仅有2个公共点，那么称点P为图形W的“相关点”．已知点． （1）当时， ①在中，是折线的“相关点”的是_______； ②点M为直线上一点，如果M为折线的“相关点”，求点M横坐标的取值范围． （2）正方形的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形上任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京五中分校2024~2025学年度第一学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知 1．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于 的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 4. 函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A. x＞0 B. x＜0 C. x＞2 D. x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞2时，y＜0， 所以不等式kx+b＜0的解集为x＞2． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 5. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1， A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误； B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误； C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确； D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键． 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高 即可． 【详解】解：记AC与BD的交点为 ， 菱形 , 菱形的面积 菱形的面积 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键． 8. 如图，在菱形 中，， 为对角线的交点.将菱形 绕点 逆时针旋转 得到菱形，两个菱形的公共点为 ， ， ， .对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点 到该八边形各顶点的距离都相等； ④点 到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形 ，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点 到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点 到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形 ，，则，， ∵菱形 绕点 逆时针旋转 得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点 到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点 到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 已知点A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为________. 【答案】y1>y2 【解析】 【详解】分析：直接利用一次函数的性质分析得出答案． 详解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1与y2的大小关系为：y1＞y2． 故答案为＞． 点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 11. 把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是_____． 【答案】3x2-5x-2=0 【解析】 【分析】移项，把等号右边化为0即可． 【详解】3x2=5x+2， 移项，得3x2﹣5x﹣2=0， 故答案为3x2﹣5x﹣2=0 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 13. 已知关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 14. 如图，在 中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得到，得到，由，， 即可求． 【详解】解： ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，将矩形 折叠，使点 和点 重合，折痕为、与 交于点 ．若，，则 的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；三角形全等的判定与性质，再得到相等的线段是解题关键．根据折叠的性质，证明 ≌，则有，由勾股定理算出，则可计算出 ． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形 是矩形， ， ∵， （）, ， ，， ， ， ∴， ， 故答案为：． 16. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题6分，第19-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24-26题，每小题5分，27-28每小题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解决问题的关键． （1）把原方程移项化为标准形式，求出根判别式的值，代入求根公式计算即得； （2）把原方程整体移项提公因式，化为两个一次方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵， 移项，得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 移项，得，， 分解因式，得，， ∴，， ∴． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 19. 如图，在矩形 中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到，由此即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵E 为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点C是x轴上一点，且 的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积： （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）设点C的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和代入得： ，解得：， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点C的坐标为，则， ∵ 的面积为3， ∴， 解得：或2， ∴点C的坐标为或． 21. 一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值． 从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象，回答下列问题 （1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨； （2）当时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水______吨． 【答案】（1）3，5； （2）7吨； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，得出进水和排水速度是解题关键． （1）根据“开始3小时内仅进行进水操作而不排水，在最后1小时内，水池仅排水而不再进水”即可求解． （2）计算即可求解. （3）计算即可求解. 【小问1详解】 解：∵开始3小时内仅进行进水操作而不排水 ∴该水池进水管每小时进水：吨， ∵在最后1小时内，水池仅排水而不再进水 ∴排水管每小时排水：吨， 故答案为：3，5； 【小问2详解】 解：∵时，水池同时进行进水和排水操作 ∴当时，水池内的水量为：吨， 【小问3详解】 解：这6个小时，排水管共排水：吨， 故答案为：． 22. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求 的值． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴关于 的一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可； （2）设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系得到，由此建立关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则 的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）先将代入函数得出 的值，从而得出，再利用待定系数法计算即可得出 的值， （2）当时，由题意得，从而得出，结合题意即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，点在函数的图象上， ∴． ∴ 将代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，由题意得：， 解得：， ∵当时，对于 的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴ ， ∴ 的取值范围是． 24. 如图，在等腰直角 中，是 边上任意一点（不与重合），将线段绕点 逆时针旋转 得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在 中，根据勾股定理． 25. 某果园收获了一批苹果，有个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为，其中A款包装盒中的苹果果径要求是，B款包装盒中的苹果果径要求是 ．从这个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是________，中位数是________； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 81 81 82 82 82 84 其中，包装盒_______中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 【答案】（1），； （2）2 （3）个． 【解析】 【分析】此题考查了方差、众数和中位数、样本估计总体等知识，熟练掌握相关统计量的计算是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）分别求出包装盒1和包装盒2的苹果果径的方差，比较后即可得到答案； （3）用2000乘以抽取的样本中符合A款包装盒中的苹果果径的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：这20个苹果的果径中出现次数最多的是87，共出现3次，故众数为， 这20个苹果的果径从小到大排列后，处在第10位和第11位的是86和87，故中位数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 包装盒1的苹果果径平均数为： ， 包装盒1的苹果果径的方差为： ， 包装盒2的苹果果径平均数为： ， 包装盒2的苹果果径的方差为： ， ∵， ∴包装盒2中的苹果大小更均匀， 故答案为：2 【小问3详解】 在抽取的20个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果共有7个． （个）． 答：估计这个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果约有个． 26. 对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； （2）当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； （3）结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】（1）y轴，或 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据时， ，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或 ； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线 对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【小问1详解】 ∵中，当时， ，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或 ， ∴当，或 时，； 故答案为：y轴，或； 【小问2详解】 ①在中，令，则，令 ，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线 对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； 【小问3详解】 由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线 ， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 27. 在 中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段 ． （1）如图1，当点E在线段 上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2） ； 证明：如图2，延长到H使，连接， ， ∵， ∴ 是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， 是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接， ，可得 是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系 中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且仅有2个公共点，那么称点P为图形W的“相关点”．已知点． （1）当时， ①在中，是折线的“相关点”的是_______； ②点M为直线上一点，如果M为折线的“相关点”，求点M横坐标的取值范围． （2）正方形的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形上任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键． （1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解； ②根据题意画出，结合定义可知当与点 重合时取得最小值，与直线 相交时，取得最大值，进而即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式为，直线 的解析式为，正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段外），当正方形有一点在或 上时，根据点的坐标以及正方形的性质求得点 的坐标，分别代入直线的解析式即可求得点 的坐标，结合函数图像即可求解． 【小问1详解】 当时，， ①如图，在平面直角坐标系中描出点，，，，连接， 由图像可知，为折线的“相关点”； 故答案为： ②如图， 点M是直线上一点， 根据定义可知：点为折线的“相关点”， 当与点重合时，此时取得最小值，为， 当在直线 上时，取得最大值， 设直线 解析式为， ， 则， 解得， 直线 解析式为， 联立， 解得， 即的最大值为， ； 【小问2详解】 点，，． 设直线的解析式为， 解析式为, 则，， 解得，， 直线的解析式为，直线 的解析式为， 当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”； 正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段外）， 当正方形有一点在或 上时，如图， 当点 在上时， ，正方形的边长为2， 则， 代入直线解析式，可得， 解得 ； 当点 在 上时， ，正方形的边长为2， 则， 代入直线 解析式，可得， 解得， 结合图像可知，当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $