精品解析：北京市第一六六中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

北京市第一六六中学2024—2025学年度第一学期开学诊断 初三年级 数学学科 （考试时长：120分钟） 考查目标 知识：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》 能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线是抛物线的顶点式， 由顶点式的坐标特点可知：顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是顶点式，顶点坐标为：，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键． 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 6. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，从而得出，，，即可判断①；由图象得出当时，，即可判断②；由图象得出二次函数与轴有两个交点，故，即可判断③；由图象可得当时，即，即可判断④，从而得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象结合抛物线的对称性可得，当时，，即，故②正确； 由图象可得，二次函数与轴有两个交点，故，故③正确； 由图象可得，当时，即， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论的个数是， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线对称轴的计算公式，掌握抛物线的对称轴为直线成为解题的关键． 直接利用抛物线对称轴公式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：直线． 10. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到等式的右边，再将二次项系数化为1，最后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的两个根的积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，先把代入方程求出m的值，然后再根据根与系数的关系求出两根的积即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， 解得：， ∴该方程的两个根的积是． 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即， 故答案为：． 13. 二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 2 1 2 5 10 则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】通过观察表格中对称的点可得函数对称轴以及顶点坐标，进而求解． 【详解】∵函数图像经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图像的性质． 14. 已知二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且与x轴没有交点，请写出一个满足条件的b的值：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与轴的交点问题，根据对称轴在轴的左侧得出，根据二次函数与x轴没有交点得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴满足条件的b的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式之间的关系，由二次函数的图象直接得出结论． 【详解】解：当时，反应在图象上就是x轴下方的部分图形，则所对应的x的取值范围为：. 故答案为：. 16. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③． 【详解】解：∵， ∴点A的对应方程为， 解得，， ∴点A的对应方程有两个不相等的实数根，故①错误； 若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵m、n均为整数， ∴当时，，符合条件， 当时，，符合条件， ∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17~21题，每题5分，第22~23题，每题6分，第24题5分，第25~26题，每题6分，第27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键． 18. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，再将变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）画出该函数的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，画出二次函数图象等知识， （1）运用待定系数法求解即可； （2）见详解； （3）数形结合，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：将代入 得：， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 8 3 0 0 3 8 …… 描出点，再连线可得，图象如图所示： 【小问3详解】 解：由函数图象得，顶点为， ∴当，， ∴y的取值范围为． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 【答案】该科技园总收入的月平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该科技园总收入的月平均增长率为，根据“2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该科技园总收入的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该科技园总收入的月平均增长率为． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点和点． （1）若抛物线还经过点，求此时抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标； （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合进行分析是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，再代入点，即可得到解析式，最后化成顶点式即可得到顶点坐标． （2）当时，，当时，，抛物线与线段恰有一个公共点时，当， ；当，，从而解得答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点和点 设抛物线的解析式为： 又抛物线经过 解得： 即抛物线的解析式为： 即该抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 解：同（1）设抛物线的解析式为：，即 该抛物线的顶点坐标为，对称轴为，当时， 点， 则当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图 当抛物线与线段的交点为点时，，解得 当抛物线与线段的交点在和之间时，，解得 即当时， 同理，当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图 抛物线与线段的交点为时，，解得 当抛物线与线段的交点在和之间时，，得 即当时， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 （1）S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； （2）直接写出S与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）二次 （2） （3）当x为时，小花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）设矩形小花园边的长为，面积为，则，再根据矩形的面积公式写出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：S与x之间是二次函数关系； 【小问2详解】 解：设矩形小花园边的长为，面积为，则， 由题意得：， ∵， 解得：， ∴S与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当x为时，小花园的面积最大，最大面积是． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线与该二次函数的图象和直线的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）二次函数解析式为 （2）当或时，点C位于点D的上方 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意可得二次函数的图象的顶点为，二次函数的解析式可设为，再利用待定系数法计算即可得出答案； （2）画出函数图象，结合函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当时，函数的最小值为， ∴二次函数的图象的顶点为， ∴二次函数的解析式可设为， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： ， 由图象可得：当或时，点C位于点D的上方． 25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】（1）d，h （2） 描点，连线，画出图象如图： ； （3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【小问1详解】 解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝n，求该抛物线的对称轴； （2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． 【答案】（1）x=3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可； （2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可． 【小问1详解】 解：当m=n时， 对称轴为； 【小问2详解】 解：根据题意可得： m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b， ∵m<p<n，mn<0， ∴m<0，n>0， ∴4a+2b<0，16a+4b>0， 化简得：①，②， ∵m<p<n， ∴ 化简③得， 化简④得， ∵t= ∴综合①②③④可得：1<t． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）45° （2） 结论：， 证明：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明和，可得； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线，确定的面积中底边为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当在上时，最大，其的面积最大，并求此时的面积． 【小问1详解】 解：由对称得：，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由如下：如图，过作于，则， 中，， ，即为定值， 当最大时，的面积最大， 连接，交于，当在上时，最大，此时与重合， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； 【小问2详解】 ∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； 【小问3详解】 ①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2024—2025学年度第一学期开学诊断 初三年级 数学学科 （考试时长：120分钟） 考查目标 知识：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》 能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 抛物线的对称轴是_____． 10. 方程的根是_____． 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的两个根的积是_____． 12. 将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 13. 二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 2 1 2 5 10 则的值为___________． 14. 已知二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且与x轴没有交点，请写出一个满足条件的b的值：_____． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 16. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点． 给出下面三个结论： ①点A的对应方程有两个相等的实数根； ②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个； ③线段上任意点的对应方程都没有实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共68分，第17~21题，每题5分，第22~23题，每题6分，第24题5分，第25~26题，每题6分，第27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）画出该函数的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点和点． （1）若抛物线还经过点，求此时抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标； （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请直接写出的取值范围． 23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 （1）S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； （2）直接写出S与x之间的函数关系式； （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线与该二次函数的图象和直线的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 26. 在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝n，求该抛物线的对称轴； （2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $