精品解析：北京市第四十四中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

初三数学暑假学情反馈 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可一一判定． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B.，该选项含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，该选项被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D.，该选项含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如筝形，故原命题是假命题； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，故原命题是假命题； C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图像的增减性即可求解． 【详解】解：函数在平面直角坐标系中， 随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，理解并掌握一次函数图像的性质，增减性是解题的关键． 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 6. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线统计图的特点，理解折线统计图的特点，利用数形结合思想求解是解答的关键．直接根据折线图的特点，得到两名选手平均变化的趋势和数据的稳定性，结合数据越稳定，方差越小求解即可． 【详解】解：根据折线统计图两名选手的比赛成绩，甲选手的平均数高于乙选手，且甲的成绩比较稳定， ∴，， 故选：B． 7. 在直角坐标系中，点在直线上，为原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形与坐标，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．的最小值为点到直线的距离，即当与直线垂直时长度最小，根据直线方程得到该直线与坐标轴的交点坐标，则易得为等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度． 【详解】解：如图所示： 令，则； 令，则； ，， ，， 是等腰直角三角形， 当时，最小， ． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，为边 上一点（点不与点 ，重合），于，并交 于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 10. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为： ． 11. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，k＞0时，y随x的增大而增大，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而增大， ∴k＞0， 不妨设， 则y=x+b， 把代入得，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＞0． 12. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由菱形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=24cm2， 即AC•BD=6AC=48， ∴AC=8， 即AC的长为8cm， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键． 13. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是______米． 【答案】5 【解析】 【分析】设米，用表示出 的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设米， 米，米， 米，米， 在Rt中，米，米，米， 根据勾股定理得，， 解得：， 秋千的长度是5米， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为 边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点 ，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：① ；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是_______ 【答案】④ 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比例函数和一次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，①错误； ②一次函数经过一、二、三象限，所以，即②错误； ③由图象可得：不等式的解集是，③错误； ④当时，，④正确； 故答案为：④． 16. 如图，在平面直角坐标系中．四边形为正方形，点 的坐标为．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，写出和满足的数量关系________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键．根据题意，当，时有，求得点B坐标，进而得到点N（或M）坐标，代入可得满足的关系． 【详解】解：设直线和直线被正方形的边所截得的线段分别为、，如图，连接 根据题意，当，，又， ∴， ∴， ∵当时，，当时，由得， ∴，， ∵点 的坐标为，， ∴， ∴，代入中，得， ∴， 三、解答题（17题每小题3分共12分，18-22每题5分共25分，23、24、25、27每题6分，26题7分，共68分） 17. （1）（2）小题计算，（3）（4）小题解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再加减运算即可； （2）先利用平方差公式和二次根式的性质求解，再除法运算即可； （3）直接开平方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：开平方，得， ∴，； 【小问4详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． 18. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：，使． 作法：如图， ①作 的垂直平分线； ②以点A为圆心，以 长为半径作弧，交直线于点G，连接； ③以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接． 则四边形即为所求作的平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，填空： （1）的大小为______； （2）判定四边形是平行四边形的依据是____________； （3）平行四边形的面积为m，矩形的面积为n，用等式表示m，n的数量关系为____________． 【答案】（1） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）如图，连接，由是 的垂直平分线，可得，则是等边三角形，进而可求的度数； （2）由题意知，由，可证四边形是平行四边形，然后作答即可； （3）由题意知，，，进而可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是 的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴判定依据为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 故答案为：． 19. 一个一次函数的图象经过和两点． （1）求该一次函数的表达式； （2）作出该一次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，x的取值范围是________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系： （1）利用待定系数法求解即可； （2）关键（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据函数图象找到函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数解析式为， 把和代入中得：， ∴， ∴该一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示函数图象即为所求： 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 20. 数学课上老师提出一个命题：如果四边形和都是平行四边形，则四边形也是平行四边形． 下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程． 证明：因为是平行四边形， 所以． 又因为也是平行四边形， 所以． 所以． 即． 所以四边形是平行四边形． 讨论后大家发现这个证明过程存在问题 （1）请说明该同学证明中出现的问题； （2）给出正确的证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定： （1）题中并没有指明三点共线，三点共线，则无法证明； （2）由平行四边形对边相等且平行得到，，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：∵题中并没有指明三点共线，三点共线， ∴由并不能得到； 【小问2详解】 证明：因为是平行四边形， 所以． 又因为也是平行四边形， 所以． 所以． 所以四边形是平行四边形． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】 （1）证明：， ∵无论m取何值时，， ∴此方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可； （2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ∵此方程有一个根小于1，且． ． ． 【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根． 22. 如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． （1）若点A的横坐标为2，求k的值； （2）若关于x 的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的横坐标为2代入中，得A点坐标，把A点坐标代入中，即可求得k的值； （2）由（1）知，当 时，求得k的值为2；当时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x 的不等式有且只有2个正整数解． 【小问1详解】 解：当 时，， 则； 把A的坐标代入中，得，即； 【小问2详解】 解：由（1）知，当 时，； 当时，，即，如下图所示； 把点B坐标代入中，得，即； 由图知，当时，关于x 的不等式有且只有2个正整数解． 故k的取值范围为． 23. 如图， 中，，过A点作 的平行线与的平分线交于点D，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接 与 交于点O，过点D作交 的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． 【小问1详解】 证明：∵ 平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且 ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 24. 某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下： a．10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：260，255，255，250，248，246，246，246，220，205 b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）； 平均数 中位数 众数 243.1 （1）写出表中，的值； （2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团． ①甲乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）； 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲同学日常训练用时 246 255 227 266 236 乙同学日常训练用时 246 255 239 240 250 ②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时的要求为：________． 【答案】（1）247，246 （2）①乙；② 【解析】 【分析】本题考查求中位数、众数、平均数和方差，理解定义并灵活运用是解答的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）求得两位同学5次用时的方差，根据方差越小，发挥越稳定进行判断即可； （3）设丙同学第5次训练用时为t，令其第5次训练用时的平均数小于248，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：将10个数据从小到大排列：205，220，246，246，246，248，250，255，255，260 ， ∴中位数，众数是， 故答案为：247，246； 【小问2详解】 解：①乙同学更有可能加入代表团， 理由：甲同学5次训练的用时平均数为， 方差为； 乙同学5次训练的用时平均数为， 方差为， ∵， ∴乙同学发挥更稳定， ∴乙同学更有可能加入代表团， 故答案为：乙； ②设丙同学第5次训练用时为t， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 25. 我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中的和 满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ （1）可求得的值为________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）画出函数图象； （4）当时，则 的取值范围为________． 【答案】（1）3 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出 的值即可； （3）利用描点法画出二次函数图象； （4）先计算出 和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线 ， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为： ； 【小问2详解】 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； 【小问3详解】 如图， 【小问4详解】 当 时，， 当 时， 有最小值， 当时，， 当时，则 的取值范围为． 故答案为：． 26. 在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）图形见解析， 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质可得∠F+∠BCF=90°，再由，可得∠F+∠BAP=90°，即可求证；②在AP上取点Q，使AQ=CE，可证得△ABQ≌CBE，从而得到BQ=BE，∠ABQ=∠CBE，进而得到△EBQ为等腰直角三角形，可得到，即可求证； （2）先依题意补全图形，先证明∠BAP=∠BCF，然后在CE上截取CG=AE，可证得△ABE≌△CBG，从而得到∠ABE=∠CBG，BE=BG，进而得到△EBG为等腰直角三角形，可得到，即可求解． 【小问1详解】 证明∶ ①在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°， ∴∠F+∠BCF=90°， ∵， ∴∠AEF=90°， ∴∠F+∠BAP=90°， ∴∠BCF=∠BAP； ②如图，在AP上取点Q，使AQ=CE， 在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°， ∵∠BCF=∠BAP， ∴△ABQ≌CBE， ∴BQ=BE，∠ABQ=∠CBE， ∵∠ABQ+∠CBQ=∠ABC=90°， ∴∠CBE+∠CBQ=∠EBQ=90°， ∴△EBQ为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 依题意补全图形，如下： 在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠ABP=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°， ∵CE⊥AP， ∴∠CEP=90°， ∴∠BCF+∠APB=90°， ∴∠BAP=∠BCF， 在CE上截取CG=AE， ∵∠BAP=∠BCF，AB=CB， ∴△ABE≌△CBG， ∴∠ABE=∠CBG，BE=BG， ∴∠EBG=∠ABE+∠FBG=∠CBG+∠FBG=∠ABC=90°， ∴△EBG为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点． 如图，在平面直角坐标系中，点，，，． （1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______； （2）点 的坐标为，若在直线上存在正方形关于点 的倍点，直接写出的取值范围； （3）点为正方形边上一动点，直线与轴交于点 ，与 轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出 的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）画出图形，在正方形上确定点K，B，使为的中点，从而可得答案； （2）先画好图形，确定正方形上的两个极限点A，C关于N的倍点落在上的情况，求解此时t的值，从而可得答案； （3）如图，是平行于的一组直线，当过时，则，判断此时线段EF上的所有点均可成为正方形关于点G的倍点，当过时，则，同理可得：此时线段上的所有点均可成为正方形关于点G的倍点，再判断当时，时，不符合题意，同理可得：符合题意，不符合题意；从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，为的中点，为的中点， ∴在，，中，是正方形关于点M的倍点，不符合题意． 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，由题意可得 在上，设 而 为的中点， 解得 此时 同理： 解得： ∴在直线上存在正方形关于点N的倍点时， t的取值范围为： 【小问3详解】 如图，是平行于的一组直线， 当过时，则 令，则，令，则， 此时直线与轴，y轴的交点坐标分别为 此时线段上的所有点均可成为正方形关于点G的倍点， 当过时，则 同理可得：此时线段上的所有点均可成为正方形关于点G的倍点， 当时，交点E，F不能成为正方形关于点G的倍点， 当经过正方形的内部时，即时，正方形内线段上的点不能成为正方形关于点G的倍点， 同理可得：符合题意，不符合题意； 综上可得：直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，线段上的所有点均可成为正方形关于点G的倍点，则b的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，中点坐标公式的应用，新定义的理解，利用数形结合是解决这种新定义问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学暑假学情反馈 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在直角坐标系中，点在直线上， 为原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形 中，为边 上一点（点不与点， 重合），于 ，并交于点 ，交延长线于点 ．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则的取值范围是_____． 10. 若方程是关于的一元二次方程，则 ___________． 11. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 12. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 13. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是______米． 14. 如图，菱形 的对角线相交于点O，P为 边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则 的最小值为 ______． 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：① ；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是_______ 16. 如图，在平面直角坐标系中．四边形为正方形，点的坐标为．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，写出和满足的数量关系________． 三、解答题（17题每小题3分共12分，18-22每题5分共25分，23、24、25、27每题6分，26题7分，共68分） 17. （1）（2）小题计算，（3）（4）小题解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形 ． 求作：，使． 作法：如图， ①作 的垂直平分线 ； ②以点A为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点G，连接 ； ③以点G为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点H，连接． 则四边形即为所求作的平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，填空： （1）的大小为______； （2）判定四边形是平行四边形的依据是____________； （3）平行四边形的面积为m，矩形 的面积为n，用等式表示m，n的数量关系为____________． 19. 一个一次函数的图象经过和两点． （1）求该一次函数的表达式； （2）作出该一次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，x的取值范围是________． 20. 数学课上老师提出一个命题：如果四边形 和都是平行四边形，则四边形也是平行四边形． 下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程． 证明：因为 是平行四边形， 所以． 又因为也是平行四边形， 所以． 所以． 即． 所以四边形是平行四边形． 讨论后大家发现这个证明过程存在问题 （1）请说明该同学证明中出现的问题； （2）给出正确的证明． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 22. 如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． （1）若点A的横坐标为2，求k的值； （2）若关于x 的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围． 23. 如图，中，，过A点作 的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形 是菱形； （2）连接与 交于点O，过点D作交 的延长线于E点，连接，若，，求的长． 24. 某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下： a．10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：260，255，255，250，248，246，246，246，220，205 b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）； 平均数 中位数 众数 243.1 （1）写出表中， 的值； （2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团． ①甲乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）； 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲同学日常训练用时 246 255 227 266 236 乙同学日常训练用时 246 255 239 240 250 ②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时的要求为：________． 25. 我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中的和 满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ （1）可求得的值为________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）画出函数图象； （4）当时，则 的取值范围为________． 26. 在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系． 27. 已知点 和图形，为图形上一点，若存在点，使得点 为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点 的倍点． 如图，在平面直角坐标系中，点，，，． （1）若点 的坐标为，则在，，中，是正方形 关于点 的倍点的是______； （2）点 的坐标为，若在直线上存在正方形 关于点 的倍点，直接写出的取值范围； （3）点 为正方形 边上一动点，直线与轴交于点 ，与 轴交于点 ，若线段 上的所有点均可成为正方形 关于点 的倍点，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $