专题15 概率统计综合训练（解答）-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题15 概率统计综合（解答） 题型一 条件概率及全概率公式 1．（2024·安徽·模拟预测）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． (1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． (2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 2．（2024·安徽·模拟预测）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率． (3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能是第几棒． 3．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 题型二 离散型随机变量及数字特征 1．（2024·安徽·模拟预测）一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶， (1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率； (2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望． 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为、，投中得分，投不中得分．两人的每次投球均相互独立． (1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0分的概率； (2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和的分布列及其数学期望． 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）安徽省从2024年起实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1： 表1 等级 A B C D E 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（本次考试成绩均为自然数） 表2 原始分 成绩等级 原始分区间 等级分区间 75分 A等级 (1)求甲同学该科目的等级分； (2)理论上当原始分区间的极差越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求的值． 表3 分数段 人数比例 4．（2024·安徽·三模）甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为． (1)求，的值； (2)乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望． 5．（2024·安徽六安·三模）为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖30000元、二等奖2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元） 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. (1)若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位） (2)由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率. 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为． (1)求，，的值，并证明是等比数列； (2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望． 8．（2024·安徽合肥·一模）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. (1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 9．（2024·安徽黄山·一模）某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、、． (1)求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数； (2)从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望． 10．（2024·安徽·二模）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0.据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表： 学生 获胜概率 0.4 0.6 0.8 获胜积分 6 5 4 (1)求甲班至少获胜2场的概率； (2)记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望． 11．（2024·安徽淮北·二模）塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了两种新品石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取300个，按质量（单位:g）将它们分成4组:，，得到如下频率分布直方图:    (1)分别估计品种石榴单个果实的质量； (2)经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表: A品种合格率 0.7 0.8 0.7 0.8 品种合格率 0.7 0.8 0.8 0.9 已知A品种混放在一个库房，品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴，其中合格石榴的总个数记为，求的分布列及数学期望. 12．（2024·安徽马鞍山·三模）如果X，Y是两个离散型随机变量，的所有可能取值为：，则称为在事件下的条件期望.已知甲每次投篮的命中率均为，其中，设随机变量是甲第一次命中时的投篮次数，随机变量是甲第二次命中时的投篮次数. (1)若，求； (2)已知，求. 13．（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题： (1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望； (2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数. 14．（2024·安徽·模拟预测）某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为. ②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. (1)若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望： (2)若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值. 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)已知，， （i）证明：，； （ii）试验结束后，记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和． 题型三 正态分布 1．（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 2．（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 3．（2024·安徽·模拟预测）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行“消防安全知识测试”，并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识“达标”；否则该年级知识“不达标”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7． (1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识是否“达标”？ (2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做某道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求的分布列及数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 4．（2024·安徽·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为. （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 5．（2024·安徽·模拟预测）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0.9%，若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次． (1)若每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元．问n为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，） (2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏 40岁以上 15 50 40岁及40岁以下 10 15 ①是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？ ②假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性． 附：， 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则． 题型四 成对数据统计分析 1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛. (1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？ (2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则. （i）证明：数列是等比数列； （ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（2024·安徽·三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 (1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； (2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 3．（2024·安徽·三模）某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示. (1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差. (2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？ 男生 女生 评分 30 35 评分 20 15 (3)若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 30 流感暴发后 30 合计 70 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0．05 0．01 0．001 3．841 6．635 10．828 5．（2024·安徽芜湖·三模）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下： 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率． (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为．事件“”的概率为，求使取得最大值时的值． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（2024·安徽芜湖·二模）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：，，， (1)建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）； (2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 7．（2024·安徽池州·模拟预测）“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”． (1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关； 年龄群体 运动会 合计 关注 不关注 青少年群体 40 中老年群体 合计 60 40 100 (2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 8．（2024·安徽合肥·三模）在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面： 一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果； 二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病； 三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤． 下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表： 合格 不合格 合计 男性 10 50 女性 20 合计 70 100 (1)根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关? (2)游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数的分布列和数学期望． 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.10 0.05 0.10 2.706 3.841 6.635 ②，其中． 9．（2024·安徽安庆·三模）随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为． (1)请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？ (2)小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示： 甲款使用年限统计表 使用年限 5年 6年 7年 8年 合计 台数 10 40 30 20 100 乙款使用年限统计表 使用年限 5年 6年 7年 8年 合计 台数 30 40 20 10 100 如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 概率统计综合（解答） 题型一 条件概率及全概率公式 1．（2024·安徽·模拟预测）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． (1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． (2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【详解】（1）记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、， “取到的电子元件是次品”为事件， 由题意得， 又， 所以 ； （2）由题意，得， 又， 所以 ， 所以， 故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为． 2．（2024·安徽·模拟预测）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率． (3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能是第几棒． 【答案】(1)0.69 (2) (3)最可能跑第四棒 【分析】（1）根据全概率公式即得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. （3）分别求出四个位置上的获胜概率，即可做出判断. 【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件B， 则， 所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69． （2）， 所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为． （3）， ， ， 所以． 所以甲最可能是第四棒. 3．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 题型二 离散型随机变量及数字特征 1．（2024·安徽·模拟预测）一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶， (1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率； (2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）先求出任取2瓶的所有总数和抽取的2瓶饮料中无奖券的总数，再由古典概率求解即可； （2）求出的可能取值及其对应的概率，再由均值公式求出期望. 【详解】（1）一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶， 从中任取2瓶，有种结果， 其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有种， 所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：； （2）设小明最终获得饮料瓶数为，则， 则， ， ， ， 所以的分布列为： . 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为、，投中得分，投不中得分．两人的每次投球均相互独立． (1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0分的概率； (2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和的分布列及其数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）两人得分之和为0分说明两人中一人投进，一人没有投进，根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）首先求甲和乙各投一次，两人得分的分布列，再利用独立重复概率公式求两人得分的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，“两人各投球一次，得分之和为0分”为事件， 则，，，, ，所以. 故甲、乙两人各投球一次，两人得分之和为0分的概率是. （2）记甲、乙两人各投球一次，若此时两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ，，， 甲乙两人各投球两次，两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ， ， ， 甲、乙两人各投球两次，两人得分之和概率分布列为： 故甲、乙两人各投球两次，两人得分之和的数学期望为. 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）安徽省从2024年起实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1： 表1 等级 A B C D E 人数比例 赋分区间 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（本次考试成绩均为自然数） 表2 原始分 成绩等级 原始分区间 等级分区间 75分 A等级 (1)求甲同学该科目的等级分； (2)理论上当原始分区间的极差越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求的值． 表3 分数段 人数比例 【答案】(1)87 (2)30 【分析】（1）由计算即可； （2）根据得到与的等量关系，再由该同学受益于赋分政策，有，求得的范围，进而得到受益于赋分政策的平均人数. 【详解】（1）由知得， 所以甲同学该科目的等级分为87分. （2）由得， 该同学受益于赋分政策，则，即，取整得， 因为， 所以，故. 4．（2024·安徽·三模）甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为． (1)求，的值； (2)乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得； （2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）的可能取值为， ，， ，， 则其分布列为： . 5．（2024·安徽六安·三模）为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖30000元、二等奖2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元） 【答案】(1)，，，不独立 (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）由题意根据古典概型求出，，再利用相互独立事件的定义判断即可； （2）求出三种情况的概率，按给定的假设确定奖金金额对应的概率列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）模型内饰为米色的共有20个，所以， 红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所， 红色外观模型且内饰为米色的共有15个， 所以， ， 因为，所以，不独立； （2）设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”， ，， ， 因为， 所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为， 其分布列为 3000 2000 1000 期望为. 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. (1)若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位） (2)由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率. 【答案】(1)2.6 (2)0.34464 【分析】（1）分析可知的可能取值为2，3，结合条件概率求，进而可得期望； （2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解. 【详解】（1）记“乙已经赢得比赛”为事件A，则， 由题意可知：的可能取值为2，3，则有： ， 所以的数学期望. （2）由题意可知：每局乙赢的概率， 则 ， 所以乙胜的概率0.34464. 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为． (1)求，，的值，并证明是等比数列； (2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）据题意，建立与的递推关系，通过构造出等比数列；（2）通过计算小明寒假第n天跑步的概率，进一步可以求得锻炼消耗能量的期望. 【详解】（1）依题意，， 依题意 整理得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列． （2）（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率， 从而小明寒假第n天跑步的概率为， 则他第n天通过运动锻炼消耗能量为 ． 8．（2024·安徽合肥·一模）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. (1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.4 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. （2）记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 9．（2024·安徽黄山·一模）某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、、． (1)求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数； (2)从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)，第分位数为 (2)分布列答案见解析， 【分析】 （1）根据频率直方图所有矩形的面积之和为可得出的值，利用百分位数的定义可求得这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由频率分布直方图可得，解得. 前四个矩形的面积之和为， 前五个矩形的面积之和为， 设这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数为， 则，解得， 因此，这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数为. （2）解：数学成绩位于、的学生人数之比为， 所以，所抽取的人中，数学成绩位于的学生人数为， 数学成绩位于的学生人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 10．（2024·安徽·二模）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0.据统计可知甲班3名参赛学生的情况如下表： 学生 获胜概率 0.4 0.6 0.8 获胜积分 6 5 4 (1)求甲班至少获胜2场的概率； (2)记甲班获得积分为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)0.656 (2)分布列见解析，8.600 【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解； （2）由已知取值为0，4，5，6，9，10，11，15，求出对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）记，，参赛获胜事件分别记为，，表示， 参赛失败分别记为，，， 所以，，， ，， 则甲班至少获胜2场事件记为，则 所以甲班至少获胜2场的概率为0.656； （2）由已知取值为0，4，5，6，9，10，11，15， ，， ，， ，， ，， 所以. 11．（2024·安徽淮北·二模）塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了两种新品石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取300个，按质量（单位:g）将它们分成4组:，，得到如下频率分布直方图:    (1)分别估计品种石榴单个果实的质量； (2)经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表: A品种合格率 0.7 0.8 0.7 0.8 品种合格率 0.7 0.8 0.8 0.9 已知A品种混放在一个库房，品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴，其中合格石榴的总个数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)94g，90g (2)分布列见解析，期望为3.1 【分析】（1）分别根据频率分布直方图计算平均数估计即可； （2）根据频率分布直方图及合格率表先得出两个品种取得合格品的概率，再分别计算随机抽取到合格品个数的概率，列出其分布列并计算期望即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得样本中A品种石榴单个果实质量的估计值为: 样本中品种石榴单个果实质量的估计值为: （2）设A:从品种石榴中任取1个为合格品；B:从品种石榴中任取1个为合格品；则: 由题意得， 则， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 0.0025 0.035 0.1825 0.42 0.36 所以. 12．（2024·安徽马鞍山·三模）如果X，Y是两个离散型随机变量，的所有可能取值为：，则称为在事件下的条件期望.已知甲每次投篮的命中率均为，其中，设随机变量是甲第一次命中时的投篮次数，随机变量是甲第二次命中时的投篮次数. (1)若，求； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可； （2）先求出的所有可能取值，然后利用条件概率求得分布列，进而利用期望公式求解即可. 【详解】（1）时，前三次投篮都不中，且第四次投篮命中， 所以； 时，前三次投篮命中一次，且第四次投篮命中， 所以； （2）在的条件下的所有可能取值为， 时，第次和第次命中，其余次均未命中， 所以， 时，第次命中，前次只有一次命中， 所以， 所以，， 故有. 13．（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题： (1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望； (2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数. 【答案】(1)分布列见解析， (2)3 【分析】（1）确定的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）确定所有可能取的值为，得出，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，也可以解不等式得出结论． 【详解】（1）由题意知，所有可能取的值为， ， 的分布列如下： 1 2 3 0.5 0.3 0.2 ； （2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率， 方法一： 所有可能取的值为，且， ， ， ， ， ， 所以使得取得最大值时，整数的值为3． 方法二： 由得， 所以， 所以， 所以使得取得最大值时，整数的值为3． 14．（2024·安徽·模拟预测）某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为. ②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. (1)若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望： (2)若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望. （2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率. 【详解】（1）小明同学答每个问题，回答正确的概率， 的所有可能取值为，显然， 则，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 数学期望. （2）记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，， 其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以小明同学获胜的概率为 ，解得， 所以的最小值为. 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)已知，， （i）证明：，； （ii）试验结束后，记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）， 【分析】（1）设事件 ：“第一次记录的是鱼苗 “，事件 ：“第二次记录的是鱼苗”，然后根据题意求出和，再利用条件概率公式即可求得所求概率； （2）（i）由题意可得，，2，，都近似服从完全相同的二项分布，则，，然后利用期望和方差的公式计算即可得证； （ii）由（i）可知，则的均值，的方差，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）设事件 ：“第一次记录的是鱼苗 “，事件 ：“第二次记录的是鱼苗”， 由题意可得，，， 所以； （2）（i）证明：由题可得，，2，，都近似服从完全相同的二项分布， 则，， ， ， 所以，； （i i）解：由（i）可知，则的均值， 的方差， 所以，解得或， 又，则， 所以，． 题型三 正态分布 1．（2024·安徽安庆·二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布． 参考数值：，，． (1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率． ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)68 (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可. （2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可. 【详解】（1）． 所以符合该项指标的学生人数为：人． （2）①记表示解答A类试题第一次测试合格， ，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M， 则，． ②设X的取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望． 2．（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【答案】(1)见解析 (2)平均数为96分，标准差为18分 (3)将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解； （2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解； （3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解. 【详解】（1） ， 同理． 所以. （2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为， 则， 所以 又，所以． 即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布， 所以． ． 故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 3．（2024·安徽·模拟预测）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行“消防安全知识测试”，并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识“达标”；否则该年级知识“不达标”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7． (1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识是否“达标”？ (2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做某道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求的分布列及数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)高一学生知识“达标” (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）首先由题得，，再根据正态分布的对称性计算出，最后得到不合格人数，得到合格率. （2）的可能取值为0，2，5，分别计算出其概率，得到分布列，最后得到期望. 【详解】（1）由，得的估计值为的估计值为7， ， ． 高一学生知识“达标”． （2）由题意得，的可能取值为， ， 的分布列为 0 2 5 4．（2024·安徽·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为. （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)0.8186 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解， （2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合的定义以及的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题设得，， 所以 （2）（ⅰ）由题设得： ， , 所以． （ⅱ）由（ⅰ）得， 所以第天元件，正常工作的概率均为． 为使第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为． 5．（2024·安徽·模拟预测）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0.9%，若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次． (1)若每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元．问n为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，） (2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏 40岁以上 15 50 40岁及40岁以下 10 15 ①是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？ ②假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性． 附：， 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则． 【答案】(1) (2)① 是；②答案见解析 【分析】(1)要使化验费用的数学期望最小，只需每个人的化验费用期望最小，由题意可得． 整理运用基本不等式可求其最小值； (2)（i）零假设为：“长期潜伏”与年龄无关，利用，计算可得结论； （ii）若潜伏期，运用正态分布的概率性质计算可求得结论. 【详解】（1）要使化验费用的数学期望最小，只需每个人的化验费用期望最小． 设每人的化验费用为Y元，若混合血样呈阴性， 则，若混合血样是阳性，则，所以，， 每位职工的化验费用为： ， 当且仅当，即时取等号， 故时，每位职工化验费用的期望最小． （2）（i）零假设为：“长期潜伏”与年龄无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为“长期潜伏”与年龄无关． （ii）若潜伏期， 由，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的． 题型四 成对数据统计分析 1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛. (1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？ (2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则. （i）证明：数列是等比数列； （ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能认为喜爱篮球运动与性别有关 (2)（i）证明见解析；（ii）甲第25次触球者的概率大 【分析】（1）根据列联表给出的数据计算，并把计算结果和比较大小，可得判断结果. （2）（i）根据题意，先写出数列的递推公式，再利用等比数列的定义证明数列为等比数列；（ii）比较与的大小，得出结论. 【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关. 根据列联表数据，经计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为喜爱篮球运动与性别有关， 此推断犯错误的概率不超过0.001. （2）（i）由题意， ， 所以 又，所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得，， 所以，. 故甲第25次触球者的概率大. 2．（2024·安徽·三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 (1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； (2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析，3 【分析】（1）先得出，对照临界值表可得结论； （2）依题意，，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望. 【详解】（1）完善二联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联， 则， 故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立， 因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； （2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为 依题意，， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 则. 3．（2024·安徽·三模）某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示. (1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差. (2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？ 男生 女生 评分 30 35 评分 20 15 (3)若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)； (2) 不能认为评分与性别有关； (3)不一致. 【分析】（1）由题意可得，即可得的数学期望和方差； （2）求出的值，即可判断； （3）将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，求出的值，即可得结论. 【详解】（1）解：由频率分布直方图可知评分在的频率为， 所以. 所以. （2）解：依题意， 故依据的独立性检验，不能认为评分与性别有关. （3）解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后， . 所以能认为评分与性别有关， 故所得结论与（2）中所得结论不一致. 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 30 流感暴发后 30 合计 70 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0．05 0．01 0．001 3．841 6．635 10．828 【答案】(1)表格见解析，有影响 (2) 【分析】（1）根据题意完成列联表，计算，再与临界值比较即可；（2）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）零假设为：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立． 完成列联表如下所示． 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 20 30 流感暴发后 30 10 40 合计 40 30 70 根据列联表中的数据，经计算得 ． 所以我们推断不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． （2）设事件表示请假的同学为女生，事件表示需要输液治疗， ，， 则． 所以这名同学是女生的概率为． 5．（2024·安徽芜湖·三模）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下： 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率． (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为．事件“”的概率为，求使取得最大值时的值． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关 (2) (3) 【分析】（1）计算，与临界值比较后得结论； （2）全概率公式计算概率； （3）依题意可得，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】（1）：假设食堂就餐与性别无关 由列联表可得 所以依据小概率值的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关． （2）记星期二选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为， 星期四选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为， 则， 所以， 所以． （3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率， 则，所以且， 若取得最大值，则， 即，解得 又且，所以． 6．（2024·安徽芜湖·二模）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：，，， (1)建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）； (2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1) (2)列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可求出，，从而可求解. （2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关. 【详解】（1）由题意得， 则， 所以. （2）设零假设为：是否报废与是否保养无关， 由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台， 补充列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关， 此推断的错误概率不大于0.01. 7．（2024·安徽池州·模拟预测）“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”． (1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关； 年龄群体 运动会 合计 关注 不关注 青少年群体 40 中老年群体 合计 60 40 100 (2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答， （2）根据超几何分布求解概率，即可求解分布列以及期望. 【详解】（1）由题意可知“青少年群体”共有（人）， “中老年群体”共有（人）， 所以列联表如下： 年龄群体 运动会 合计 关注 不关注 青少年群体 40 15 55 中老年群体 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为：关注“运动会”与年龄群体无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为关注“运动会”与“年龄群体”有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）样本中“青少年群体”关注“运动会”的有40人，“中老年群体”关注“运动会”的有20人， 按比例分层抽样的方法抽取6人，则“青少年群体”应抽取4人，“中老年群体”应抽取2人，则的所有可能取值为1，2，3， 所以，， 故随机变量的分布列为 1 2 3 所以． 8．（2024·安徽合肥·三模）在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面： 一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果； 二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病； 三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤． 下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表： 合格 不合格 合计 男性 10 50 女性 20 合计 70 100 (1)根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关? (2)游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数的分布列和数学期望． 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.10 0.05 0.10 2.706 3.841 6.635 ②，其中． 【答案】(1)高中生游泳水平与性别有关 (2)分布列见解析，． 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，根据相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）完成表格如下： 合格 不合格 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 零假设：高中生游泳水平与性别无关， ， 依据的独立性检验，我们有充分的理由认为不成立，即高中生游泳水平与性别有关． （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 9．（2024·安徽安庆·三模）随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为． (1)请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？ (2)小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示： 甲款使用年限统计表 使用年限 5年 6年 7年 8年 合计 台数 10 40 30 20 100 乙款使用年限统计表 使用年限 5年 6年 7年 8年 合计 台数 30 40 20 10 100 如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？ 【答案】(1)的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317 (2)应购买甲款健身器材 【分析】（1）根据线性回归直线方程经过样本中心求出，进而得到线性回归直线方程，再进行预测即可； （2）分别列出甲，乙两款健身器材使用年限的分布列，求出期望，再比较即可. 【详解】（1）因线性回归直线方程经过样本中心， 所以将代入， 得到． 于是， 当时，． 所以的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317． （2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为 5 6 7 8 0.1 0.4 0.3 0.2 于是． 设乙款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为 5 6 7 8 0.3 0.4 0.2 0.1 于是． 因，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久． 学科网（北京）股份有限公司 $$