专题13 计数原理-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题13 计数原理 题型一 排列组合 一、单选题 1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）“三湖一坝”生态湿地位于芜湖市弋江区火龙街道境内，湖泊总面积约为4平方公里，包括黑沙湖、南塘湖、孤山湖、高村坝四个重要的水体资源，共计5800亩，公园总面积为7.08平方公里．为了响应国家的“绿水青山就是金山银山”生态发展理念，现计划将草鱼、鳙鱼、鲢鱼这三类鱼投放到四片水域养殖（三类鱼均需养殖），且每块水域仅养殖两种不同的鱼，则共有养殖方案（    ） A．78种 B．80种 C．81种 D．24种 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 4．（2024·安徽池州·二模）甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（    ） A．30种 B．60种 C．45种 D．90种 5．（2024·安徽·模拟预测）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（    ） A．20 B．25 C．225 D．450 6．（2024·安徽·模拟预测）学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 7．（2024·安徽·三模）已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（    ） A．96 B．144 C．240 D．360 9．（2024·安徽·模拟预测）甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 10．（2024·安徽芜湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（    ）种 A．186 B．264 C．284 D．336 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 12．（2024·安徽池州·模拟预测）植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（    ） A．30 B．36 C．40 D．42 13．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 二、填空题 15．（2024·安徽合肥·三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有 ． 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）今年3月5日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”、“医疗的发展趋势”、“低空经济的前景展望”、“从人工智能、工业互联网到大数据”．已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有 种（用数字作答）． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则 ． 19．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 . 题型二 二项式系数 一、单选题 1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）的展开式中常数项为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为 B．各项的系数和为64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，满足的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．3 6．（2024·安徽安庆·二模）的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 7．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 二、填空题 9．（2024·安徽安庆·三模）在的展开式中，不含字母的项为 ． 11．（2024·安徽芜湖·三模）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示） 12．（2024·安徽芜湖·模拟预测）的展开式中含项的系数是 ． 13．（2024·安徽安庆·二模）在二项式的展开式中，常数项为 ． 14．（2024·安徽黄山·一模）的展开式中的系数为 ． 15．（2024·安徽·模拟预测）的展开式中的系数是 ． 16．（2024·安徽合肥·二模）在的展开式中，的系数为 ． 17．（2024·安徽·模拟预测）若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 计数原理 题型一 排列组合 一、单选题 1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）“三湖一坝”生态湿地位于芜湖市弋江区火龙街道境内，湖泊总面积约为4平方公里，包括黑沙湖、南塘湖、孤山湖、高村坝四个重要的水体资源，共计5800亩，公园总面积为7.08平方公里．为了响应国家的“绿水青山就是金山银山”生态发展理念，现计划将草鱼、鳙鱼、鲢鱼这三类鱼投放到四片水域养殖（三类鱼均需养殖），且每块水域仅养殖两种不同的鱼，则共有养殖方案（    ） A．78种 B．80种 C．81种 D．24种 【答案】A 【分析】先求出每一片水域投掷两种不同鱼的方法数，再排除四片水域只养殖两种不同的鱼的方法，即可得出结果. 【详解】先求出每一片水域投掷两种不同鱼的方法数为，则四片水域每块水域仅养殖两种不同的鱼的方法数为， 四片水域只养殖两种不同的鱼的方法数为种， 所以所求的方法数为种方法. 故选：A 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 【答案】A 【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解. 【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为种， 故选：A 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。 故选：C 4．（2024·安徽池州·二模）甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（    ） A．30种 B．60种 C．45种 D．90种 【答案】B 【分析】利用先选后排可得不同的选法数. 【详解】两人恰好有两项科目相同的选法为. 故选：B 5．（2024·安徽·模拟预测）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（    ） A．20 B．25 C．225 D．450 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有种. 故选：C 6．（2024·安徽·模拟预测）学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】把5位老师按和分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按和分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为， 所以不同的安排方法有（种）. 故选：B 7．（2024·安徽·三模）已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查排列组合与古典概型概率计算. 【详解】设正方体为，则满足体积为的四个顶点只有“”和“”两种情况满足，故所求概率. 故选：A 8．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（    ） A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】C 【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域， 【详解】先将6名同学分成4组，则4个组的人数为或， 当甲､乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法； 当甲､乙在3人组，甲､乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法， 再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为. 故选：C 9．（2024·安徽·模拟预测）甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【答案】C 【分析】根据题意，剩下4人去其他两个景点游玩，由此按游玩的人数分2种情况讨论，结合分类加法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩， 则剩下的4人去其他两个景点游玩，有两种情况： ①若3位同学去一个景点，1位同学去另一个景点，有种不同游玩方法； ②分别都是2位同学去一个景点，有种不同游玩方法， 由分类计数原理得，共有种. 故选：C 10．（2024·安徽芜湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（    ）种 A．186 B．264 C．284 D．336 【答案】D 【分析】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减后得到答案. 【详解】先考虑A和B不相邻的排法， 将C、D、E、F四个人进行全排列，有种情况， C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B，有种情况， 故有种选择， 再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况， 先从两端选择一个位置安排C，有种情况， 再将D、E、F三个人进行全排列，有种情况 最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B，有种情况， 故有种情况， 则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有种情况. 故选：D 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【分析】若甲去点则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点，按照分组分配的方法计算可得，同理求出甲去点的安排方法，再由分类加法计数原理计算可得. 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点. 当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去，，3个点时， 先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：C 12．（2024·安徽池州·模拟预测）植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（    ） A．30 B．36 C．40 D．42 【答案】C 【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答案. 【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列， 甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列， 故不同的浇水顺序有种， 若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择， 再将剩余的两为同学进行排列， 则不同的浇水顺序有种， 则不同的浇水顺序共有种． 故选：C 13．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C 14．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】先排第一及最后一个节目，再排歌唱节目，最后用插空法计算即可得. 【详解】先从3个不同的舞蹈节目选出2个分别安排在第一及最后一个，有种， 再将3个不同的歌唱节目排成一列，有种， 3个不同的歌唱节目中间有2个空，从中选1个安排最后一个节目，有种， 故共有. 故选：B 二、填空题 15．（2024·安徽合肥·三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有 ． 【答案】504 【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案. 【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况： 第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有种排法. 第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有种排法， 由分类加法计数原理可知，总共有种排法． 故答案为：504 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 【答案】360 【分析】利用间接法，即可求解. 【详解】利用间接法，得． 故答案为：360 17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）今年3月5日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”、“医疗的发展趋势”、“低空经济的前景展望”、“从人工智能、工业互联网到大数据”．已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有 种（用数字作答）． 【答案】48 【分析】先排甲、乙两人，再排丙、丁，根据题意结合分步乘法计算原理分析求解. 【详解】由题意可知：先排甲、乙两人，则有种； 再排丙、丁，每人均有2个选择，则有种； 所以共有. 故答案为：48 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则 ． 【答案】 【分析】根据定义写出的质数因数，即可得解. 【详解】因为，它的因数形如， 其中， 所以不同的因数有个，即. 故答案为： 19．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 . 【答案】 【分析】根据题意，第一个的方格有种涂法，假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，分类求得不同的涂色方法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】设四种颜色分别为，对于第一个的方格，共有种不同的涂法， 假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色， ①若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； ②若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 所以，共有类涂法，则共有种不同的涂色方法. 故答案为： 题型二 二项式系数 一、单选题 1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）的展开式中常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为 （其中）， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：D 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为 B．各项的系数和为64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 【答案】A 【分析】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断. 【详解】对于A，的展开式通项为， 当时，常数项为，选项A正确； 对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误； 对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误； 对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误. 故选：A 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 利用二项式定理，结合多项式的乘法法则，列式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以的展开式中，的系数为. 故选：B 4．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C 5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，满足的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】分别展开，结合题意分析可知或，进而运算求解即可. 【详解】因为， 若，且，则或， 所以项的系数之和为. 故选：C 6．（2024·安徽安庆·二模）的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质，其奇数项的二项式系数之和为进行求解. 【详解】根据题意，的展开式中奇数项的二项式系数之和为， 所以. 故选：A 7．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据题意分别将化简为，然后对每项进行二项式展开求出项的系数，从而可求解. 【详解】由题意可得，然后分别求出和中项的系数， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 所以项的系数，故B正确. 故选：B 8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B 二、填空题 9．（2024·安徽安庆·三模）在的展开式中，不含字母的项为 ． 【答案】 【分析】在的展开式的所有项中，若不含字母，则只能取2个与4个相乘，由此即可列式得解. 【详解】由条件可知不含字母的项为． 故答案为： 10．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 . 【答案】-30 【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：因为是由5个相乘得到， 使用要想产生，则出1个，出2个，y出2个， 故所求系数为. 故答案为：-30 11．（2024·安徽芜湖·三模）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示） 【答案】-160 【分析】利用二项式定理得到通项公式，求出第4项系数. 【详解】. 故答案为： 12．（2024·安徽芜湖·模拟预测）的展开式中含项的系数是 ． 【答案】13 【分析】先求出的二项展开式的通项公式，即可求出含项的系数. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 所以含的项为. 故答案为：13 13．（2024·安徽安庆·二模）在二项式的展开式中，常数项为 ． 【答案】 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，则，则有. 故答案为： 14．（2024·安徽黄山·一模）的展开式中的系数为 ． 【答案】126 【分析】 利用二项式定理求出含有的项，计算可得其系数. 【详解】依题意得，展开式中含有的项为, 所以展开式中的系数为126. 故答案为：126 15．（2024·安徽·模拟预测）的展开式中的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法，即可求得对应的系数. 【详解】的展开式的通项公式， 令，解得，又，则该二项式展开式中的系数是. 故答案为： 16．（2024·安徽合肥·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】15 【分析】利用的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公为， 由，得到，所以的系数为， 故答案为： 17．（2024·安徽·模拟预测）若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 . 【答案】7 【分析】首先算出第六十百分位数，然后写出二项式的通项，再令，最后得到常数项即可. 【详解】因为， 所以第六十百分位数为8，所以， 又二项式的通项为， 令， 所以常数项为， 故答案为：7 学科网（北京）股份有限公司 $$