专题12 数列综合题-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题12 数列综合题 题型一 等差数列综合题 一、单选题 1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（    ） A．272 B．152 C．68 D．38 3．（2024·安徽黄山·二模）已知数列是等差数列，且，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 6．（2024·安徽合肥·一模）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．100 D．80 7．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知为递增等差数列的前n项和，且为等差数列，则使得成立的n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列的前项和为，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，，数列满足，则下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·一模）数列中，，，则（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．0 D．4 二、多选题 13．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 三、填空题 14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，若，则的前20项和 ． 四、解答题 15．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，且对任意均有． (1)设，证明为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知，求． 题型二 等比数列综合题 一、单选题 1．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，，若，则（    ） A．512 B．678 C．1010 D．1022 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B．或-1 C． D．或1 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 5．（2024·安徽·二模）已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽黄山·一模）已知是以为公比的等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·安徽淮北·二模）已知数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．的前10项和为 D．的前10项和为 8．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 9．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（    ） A．当时， B．当时，数列是递增数列 C．当时，若数列是递增数列，则 D．当时， 10．（2024·安徽安庆·二模）满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（    ） A．存在非零实数t，使得为等差数列 B．存在非零实数t，使得为等比数列 C． D． 11．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．时， D． 三、填空题 12．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 四、解答题 13．（2024·安徽安庆·三模）已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列. (1)求数列的前项和； (2)设数列满足且，若数列的前项的和为，求. 14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：） 15．（2024·安徽池州·二模）记为数列的前项的和，已知. (1)求的通项公式； (2)令，求. 16．（2024·安徽淮北·一模）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，. 题型三 数列新定义综合题 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·安徽·一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024·安徽·模拟预测）若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 7．（2024·安徽·模拟预测）用“夹逼法”可以估算，比如可以用如下操作估算：由于，所以，即在2和3之间；进一步，由于，且，所以在2.2和2.3之间；如法炮制，可以估算在2.23和2.24之间……．如此下去，可以估算不同精确度下的近似值，同时也可以确定与最接近的整数值．如果用表示最接近的正整数，则 ． 8．（2024·安徽·模拟预测）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第个位置上的数字，如，，规定．记，集合为函数的值域，则集合 ． 三、解答题 9．（2024·安徽·模拟预测）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 10．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 17．（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”． (1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？ (2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式： (3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”． 17．（2024·安徽·三模）定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. (1)若，求的前项和； (2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； (3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 18．（2024·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中． (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？ (2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值． 19．（2024·安徽·三模）特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小整数的值； (3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素． 20．（2024·安徽·模拟预测）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为. (1)求，的值； (2)对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由； (3)记表示不超过的最大整数，且，求的值. 21．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数. (1)已知为和弦型函数且，求的值； (2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值； (3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 数列综合题 题型一 等差数列综合题 一、单选题 1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，又， 所以公差． 故选：C 2．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（    ） A．272 B．152 C．68 D．38 【答案】B 【分析】借助数列前n项和性质计算即可得. 【详解】， 则. 故选：B 3．（2024·安徽黄山·二模）已知数列是等差数列，且，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质列方程，能求出公差． 【详解】数列是等差数列，且，， ，解得，， 则数列的公差是． 故选：B 4．（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，列出关于方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 5．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 6．（2024·安徽合肥·一模）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．100 D．80 【答案】B 【分析】 根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 则， 所以， 故选：B 7．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知为递增等差数列的前n项和，且为等差数列，则使得成立的n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，找到首项和公差的关系，求解出的最小值. 【详解】，由等差中项的性质知， 设等差数列的公差为，则 化简得又，又数列为等差数列，则使得即又则n的最小值为3. 故选：B 8．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列的前项和为，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增 【答案】D 【分析】先利用和的关系求出，进而得出，；再逐项判断即可. 【详解】依题意可得：，. 因为， 所以当时，，即，解得， 当时，，整理得：， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 从而， . 因为当时，， 当时，. 也适合上式， 所以，故选项A、B错误，选项D正确. 因为， 所以选项C错误. 故选：D 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，，数列满足，则下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列是等差数列，数列满足，可得数列是等差数列，对于A选项，代值验证即可得能成立，对于B、C选项，由等差数列的性质可得恒成立，对于D选项，由，可得或，与已知矛盾，故不可能成立. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，若， 则首项时，公差；当时，公差， 因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 对于A，取，则，可得，此时，故A选项不符合题意； 对于B，由于数列是等差数列，所以恒成立，故B选项不符合题意； 对于C，由于数列是等差数列，所以恒成立，故C选项不符合题意； 对于D，若，则或，与已知矛盾， 所以不可能成立，故D选项符合题意. 故选：D 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C 11．（2024·安徽合肥·一模）数列中，，，则（   ） A．210 B．190 C．170 D．150 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义知公差为，然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可； 【详解】由知数列是公差为的等差数列， 所以. 故选：C 12．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】由已知是等差数列，可求得的公差，进而求得的通项公式，可得，利用，计算可得结果. 【详解】因为是等差数列，， 所以的公差，所以， 所以， 所以， 故选：C 二、多选题 13．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，若，则的前20项和 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出，再分组求的即得. 【详解】数列满足：， 当为正奇数时，，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 于是， 当为正偶数时，，即， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，于是， 所以的前20项和. 故答案为： 四、解答题 15．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，即可求解； （2）由（1）知，求得，结合关于单调递增，以及，即可求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列，所以，即， 当时，， 又由，适合上式，所以数列的通项公式为． （2）证明：由（1）知， 所以， 又由， 所以关于单调递增，所以， 又因为，所以，所以． 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列满足，且对任意均有． (1)设，证明为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）令，变形递推关系，结合等差数列定义即可得出证明； （2）由等差数列通项公式得出，再由累加法得出，结合赋值可得，即可得出通项公式； （3）分组求和得出，再由裂项相消法求出的前n项和. 【详解】（1）因为，，令， 所以当时，，即， 所以， 所以为等差数列. （2）由（1）知，， 所以， 即， 所以 ，， 所以，， 再由，令，可得， 即，解得， 所以，， 当时，，满足上式. 所以数列的通项公式为. （3）因为， 所以， 设， 则， ， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用等差数列通项公式及累加法求出后，表达式中的求值，首先对所求的式子中赋值得出，.其次要对原式恰当赋值，联立方程求出，具有很强的技巧性. 题型二 等比数列综合题 一、单选题 1．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解. 【详解】因为是等比数列， 所以， 则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列， 所以， 所以公比. 故选：A 2．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，，若，则（    ） A．512 B．678 C．1010 D．1022 【答案】B 【分析】由，计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算 【详解】由题意知，，，，因为，所以中至少有一项是负数． ①若，则， 若均为正数，则，比1010多12， 所以前9项中必有负项，且其和为．易得当， 且其他项为正项时满足题意，故． ②若，当均为负数时，数列的前9项和最小， 此时，，不符合题意． 综上， 故选： 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B．或-1 C． D．或1 【答案】D 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解. 【详解】依题意，，因为， 故， 故或 当时，； 当； 或1. 故选：D 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】D 【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得. 【详解】由成等比数列，得， 所以，解得， 所以. 故选：D 5．（2024·安徽·二模）已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据与的关系求出数列的通项，进而可求得等比数列的通项，再根据即可得解. 【详解】由，得， 时，， 由，，得公比， 所以， 故，所以. 故选：A 6．（2024·安徽黄山·一模）已知是以为公比的等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据等比数列的基本性质可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为数列是以为公比的等比数列，且，， 则，解得. 故选：A 二、多选题 7．（2024·安徽淮北·二模）已知数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．的前10项和为 D．的前10项和为 【答案】ABD 【分析】本题首先根据题意判断出数列、分别是等差数列、等比数列，求出等比数列的通项公式，进而分析也是等比数列并求出其通项公式，可解决选项A、B、D的问题，再依据裂项法，可解决选项C的问题. 【详解】，所以是首项，公差的等差数列， ，故选项A正确. 令，则， ， 又，， ，故选项C错误. 又，， 又，，， 是首项为，公比的等比数列， ，故选项B正确. 又， 是首项为，公比为的等比数列， ，故选项D正确. 故选：ABD 8．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（    ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 【答案】ACD 【分析】对于A：分，两种情况计算可判断A；对于B： 可说明不成立判断B；，分，两种情况计算可判断C；根据，若是递增数列，可求判断D. 【详解】对于A：当时，，，故成立， 当时，，，所以成立，故A正确； 对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误； 对于C：当时，，故不成等差数列， 当时，若存在，使成等差数列， 则，则， 整理得，所以，所以， 所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确； 对于D：，若是递增数列， 则可得，因为，所以，可解得， 所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确. 故选：ACD 9．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（    ） A．当时， B．当时，数列是递增数列 C．当时，若数列是递增数列，则 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据可得，即可迭代求解A，根据，时，可得为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出C项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，从而判断出D项的正误． 【详解】对于A，当时，，又，故， 所以，故A项正确． 对于B，因为且， 所以， 当，时，，此时数列是常数列，故B项错误； 对于C, 由于数列是递增数列, 当时，故，， 故， 所以，即， 解得或，故C项正确； 对于D,当时，，结合，可知， ，，结合， 可知是递增数列，，则， 即，所以， 即， 所以，当时，，所以， 可得，故D项正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列是等差数列． （2）转化为常数，则数列是等差数列． （3）转化为常数，则数列是等差数列． （4）转化为常数，则数列是等差数列． （5）转化为常数，则数列是等差数列． （6）转化为常数，则数列是等差数列． 10．（2024·安徽安庆·二模）满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（    ） A．存在非零实数t，使得为等差数列 B．存在非零实数t，使得为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得. 【详解】对A：若数列为等差数列，则有， 即，由， 故有恒成立，即有，无解， 故不存在这样的实数，故A错误； 对B：若数列为等比数列，则有， 即，由， 故有恒成立，即有， 即，解得，此时， 故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确； 对C：由， 则， 即有，故C正确； 对D：由， 故， 故 ，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消. 11．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．时， D． 【答案】ABC 【分析】关键利用函数恒等式得到，和，从而可以利用数列思想求解并加以判断. 【详解】令得：，又因为，， 所以，所以选项A是正确的； 令得：， 因为，所以由上式得，，， 根据递推可得，，所以选项B是正确的； 令得：， 所以是等比数列，由，可得公比为，所以，所以选项C是正确的； ，所以选项D是错误的. 故选：ABC 三、填空题 12．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可. 【详解】设的公差为，则， 而， 当且仅当时取得等号. 故答案为： 四、解答题 13．（2024·安徽安庆·三模）已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列. (1)求数列的前项和； (2)设数列满足且，若数列的前项的和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等差数列的性质，等比数列的性质与等差数列求和公式计算即可得； （2）可令，借助两角差的正切公式可得，即可得及. 【详解】（1）因成等比数列，所以，即， 解得，所以当时，， 又不符合上式， 所以数列的通项公式为， 因此， 当时，， 又符合上式， 所以当时，； （2）由（1）知， 令， 所以， 又，所以， 因此 ， 所以， 于是. 14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：） 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为，即可求出通项； （2）由已知可设，代入解不等式组求出即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，所以. （2）由（1）有， 所以， 设时，最大， 因为， 所以， 即， 解得，又， 所以， 所以使取得最大项时的值为4. 15．（2024·安徽池州·二模）记为数列的前项的和，已知. (1)求的通项公式； (2)令，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用数列通项与前n项和的关系判定数列是等差数列，进而求得其通项公式； （2）先利用（1）的结论，求得数列是等比数列，进而求得其前n项和. 【详解】（1） 当时， 则有： 化简得 又是以2为首项，1为公差的等差数列 的通项公式为 （2）由（1）知： 当时， 又是以为首项，为公比的等比数列 16．（2024·安徽淮北·一模）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设数列的公比为，根据题意，列出方程组求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，分别求得的表达式，结合指数幂的性质，即可得证. 【详解】（1）解：设等比数列的公比为， 因为，，可得， 可两式相减，可得，所以，解得或， 又因为数列为递增的等比数列，所以，则， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，可得. 当为偶数时， . 此时，. 当时，，所以成立. 当为奇数时，. 检验知，当时，上式也成立. 此时，， 当时，，所以成立. 综上所述，当时，成立. 题型三 数列新定义综合题 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】由数列的新定义计算即可. 【详解】由可得 ， ， 由可得， 所以， 故选：D 2．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可得，结合可得，，然后列举出所有紧密数列对即可. 【详解】由条件知， 于是， 又， 所以， 于是“4项紧密数列”有； 共有6对. 故选：B 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，根据定义求得，然后据此列举出所有紧密数列对. 3．（2024·安徽·一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用对数运算将变形化简得到，结合的表达式可得，结合，，即可求出答案． 【详解】因为， 所以， ， 即，故， 故，所以，易知且单调递增， 由斐波那契数列可知，，则， 所以的最小值为8． 故选：B 4．（2024·安徽·模拟预测）若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先将成立变形为时成立，将通项公式代入，从而将问题转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可解决问题． 【详解】依题意，得，故只需考虑时，，． 因为，只需要， 即，整理得． 令，则， 所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列， 则，所以，即的取值范围为． 故选：C 二、填空题 5．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ． 【答案】1 【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 …， 所以数列的各项依次为3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期为6． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …， 所以数列是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0， 其前项12的和为． 又， 所以数列的前2024项的和为等于前8项的和． 故答案为： 6．（2024·安徽·模拟预测）已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项，再分为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出. 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以，又，所以时也成立， 所以， 因为， 当为奇数时，上式变为， 所以，因为为递减数列，所以解得； 当为偶数时，上式变为， 所以，解得； 综上，的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键. 7．（2024·安徽·模拟预测）用“夹逼法”可以估算，比如可以用如下操作估算：由于，所以，即在2和3之间；进一步，由于，且，所以在2.2和2.3之间；如法炮制，可以估算在2.23和2.24之间……．如此下去，可以估算不同精确度下的近似值，同时也可以确定与最接近的整数值．如果用表示最接近的正整数，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，当是最接近的整数时，正整数的个数是，再求出的各整数个数即可和. 【详解】对任意自然数，不是整数，则对任意正整数，不是正整数， 设是最接近的整数，则当时，， 因此，对确定的正整数，当正整数满足时，是最接近的整数， 即，显然使得的正整数的个数是， 而，因此中，有2个1， 4个2，6个3，…，88个44，44个45， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用夹逼法”探求出是最接近的整数时，正整数的个数是是解题的关键. 8．（2024·安徽·模拟预测）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第个位置上的数字，如，，规定．记，集合为函数的值域，则集合 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合，逐次计算，即可求解. 【详解】由，集合为函数的值域， 可得，，，， ，，，， ，，所以， 又由 且， 可得，， ，， ，， ，， ，， 可得， 同理可得，． 故答案为：. 三、解答题 9．（2024·安徽·模拟预测）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)10 【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到； 法二：由得到； （2）法一：由题意得，从而得到，证明出； 法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立； 法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论； （3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10． 【详解】（1）法一：由题意得：，∴， ∴，，，，， 将以上式子累乘得：，也即成立． 法二：由题意得：， ∴，∴成立． （2）法一：∵，∴， ∴， 则， ∴， ∴． 法二：考虑反证法，假设， 由得， ∴，∴， 同理：， ∴，∴， 同理可证：，，…，， 综上可得：，与条件矛盾， ∴假设不成立，∴成立． 法三：∵，∴，也即， 同时，由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：， 也即，同理可得： ， ， …… ， 将以上式子累加得：， ∴，∴，∴成立． （3）由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，① 另外，，，…，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式可得：， ∴，化简得：， 另外，显然有符合题意，此时， 综上，的最大值为10． 【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系． 10．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 【答案】(1)，具有 (2)（ⅰ），理由见解析；（ⅱ）75 【分析】（1）利用数列的前n项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断； （2）（ⅰ）利用题目所给定义得，再利用数列的前n项和得结论； （ⅱ）构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，； 当时， ， 而当时，满足， 因此数列的通项公式为 该数列具有“和性质”. （2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”， 所以，，， 使得，且，， 因此，， 所以； 因此， 所以将上述不等式相加得：， 即. 因为， 所以， 因此. （ⅱ）因为数列具有“和性质”， 所以由③得：，因此数列中的项均为整数. 构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36， 因此这两个数列具有“和性质”，此时. 下面证明的最小值为75， 即证明不可能存在比75更小的. 假设（存在性显然，因为满足的数列只有有限个）. 第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素. 设有穷数列中元素组合的集合为A， 由（ⅰ）知：，而， 因此，，，，， 所以. 第二步：证明，. 若，设. 因为， 所以为了使得最小， 则在数列中一定不含有，使得， 因此. 假设，根据“和性质”， 对，有，，使得. 显然，因此， 所以由有穷数列中至少有7个元素得： 集合A中至少还有4个不同于，，的元素， 因此，与矛盾， 所以，且. 同理可证：. 根据“和性质”得：存在、，使得. 我们需要考虑如下几种情形： ①当，时，至少还需要一个大于等于4的，才能得到8，因此； ②当，时，至少还需要一个大于4的，才能得到7，则； ③当，时，此时为：1，2，3，6，9，18，36，因此； ④当，时，此时为：1，2，4，5，9，18，36，因此； 综上所述，的最小值为75. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的前n项和及与的关系和数列的新定义问题，解题关键在于找与的关系以及弄清新定义的“和性质”；再利用题目所给定义得，并利用数列的前n项和得结论；最后构造具有“和性质”的数列，利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论. 17．（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”． (1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？ (2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式： (3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用指数数列，构造一个加上正的常数，就可得到一个递增相伴数列，只需要检验前二项和最后三项； （2）由于有一个是等差数列，两数列相加也是等差数列，说明另一个数列还是等差数列，通过假设，就可以表示出两个数列的通项，进而引入后三项不等式进行分析，即可求出数列通项； （3）利用前面两小问，知道构造的数列比已知数列每项加1，再去证明即可. 【详解】（1）由于，我们可以取，此时恒有， 再由，当时，， 所以恒有，即满足题意. （2） 设 , 当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立 ，当时，，因为，所以， 即. （3）证明：取，若存在这样的正整数k使得 成立， 所以， 由，得， 于是， 又因为，所以当时，， 而时，， 所以，最后说明存在正整数k使得， 由， 上式对于充分大的k成立，即总存在满足条件的正整数k 【点睛】方法点睛：通过第一，第二问的求解，掌握问题得以解决的关键就是每一项加1，从而再进行证明即可得到第三问的解答. 17．（2024·安徽·三模）定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. (1)若，求的前项和； (2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； (3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 【答案】(1) (2)是的充要条件 (3)的最大值为， 【分析】（1）根据所给新定义，分n为奇偶讨论，分别求出前n项和； （2）分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证； （3）分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值. 【详解】（1）依题意 故 因为，所以， 当为奇数时，， 当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时， . 当为奇数时，. 综上所述， （2）充分性：因为，所以， 所以， 又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列， 故是的充分条件. 必要性：假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列， 故是的必要条件. 综上，可知是的充要条件. （3）当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，故的最大值为， 此时的通项公式可以是 【点睛】关键点点睛：本题的关键一方面在于对新定义的理解，运用，另一方面是能够对分类讨论，证明数列为等比数列，再由等比数列的通项公式，求和公式得解. 18．（2024·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中． (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？ (2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是等差数列，是等差数列 (2) (3)2 【分析】（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断； （2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解； （3）根据等差数列的性质以及新定义求解出，运用均值不等式求解出的范围，从而得出的最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，， 故，， 显然， 所以不是等差数列； 因为，则，， 所以是首项为12，公差为6的等差数列. （2）因为数列是以1为公差的等差数列， 所以，故， 所以数列是以公比为的正项等比数列，， 所以， 且对任意的，都存在，使得，即， 所以，因为，所以， ①若，则，解得（舍），或， 即当时，对任意的，都存在，使得. ②若，则，对任意的，不存在，使得. 综上所述，. （3）因为为常数列，则是等差数列， 设的公差为，则， 若，则，与题意不符； 若，所以当时，， 与数列的各项均为正数矛盾，所以， 由等差数列前项和公式可得， 所以， 因为， 所以， 因为，故， 所以 则当时，不等式恒成立， 另一方面，当时，令，，， 则，， 则 ， 因为，， 当时，， 即，不满足不等式恒成立， 综上，的最大值为2. 【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用； （3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机. 19．（2024·安徽·三模）特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小整数的值； (3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助题目中所给特征根方程法计算即可得； （2），结合数列是单调递增数列，计算即可得； （3）由计算可得，由可得，即可得，从而可得，即可得证. 【详解】（1）由题意可得对应的特征方程为，解得， 不妨设，， 则可设，其中，为常数， 由，可得， 即有，解得， 故； （2） ， 即， 由，，，，，，，， 则，， 且数列是单调递增数列，故满足要求的最小整数的值为； （3）由，可得， 即， 故 ， 故， 故， 易知数列为单调递增数列，且， 当时，，故，即， 故对都不是的元素. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助得到，从而证明. 20．（2024·安徽·模拟预测）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为. (1)求，的值； (2)对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由； (3)记表示不超过的最大整数，且，求的值. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)500 【分析】（1）由的定义，分别求出，； （2）若成立，可转化为，即，即可判断； （3）根据题意可知，当时，可证，即，得解. 【详解】（1）在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以. 在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以. （2）因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个， 所以. 若，则，即， 因为，所以， 易知是奇数，是偶数，上式不成立， 故不存在m，n，p，使得. （3）由（2）知，当时，，所以， 当时，， （上式变换注意用到不等式，若，则.） 所以当时，， 所以当时，，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据的定义分析在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个， 进而可得.第三问，关键是分析得到当时，成立，此处用到糖水不等式放缩. 21．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数. (1)已知为和弦型函数且，求的值； (2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值； (3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解； （2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解； （3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证. 【详解】（1）令，则，可得， 令，则，则； （2）令，则， ， 即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列， 即，则 ； （3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数， 则，即是偶函数， 为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数， 且均为自然数，且， 设，则， 令，则， 即，， 故数列单调递增，则， 又是偶函数，所以有. 【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性. 学科网（北京）股份有限公司 $$