专题03 椭圆（9大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 椭圆 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 6．（23-24高二上·福建福州·期中）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·重庆永川·期中）下列命题正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C．过点且与圆相切的直线有1条 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 焦半径问题 1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 3．（23-24高二上·湖南张家界·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C．8 D．6 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 6．（23-24高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 8．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 9．（多选）（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 10．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知椭圆方程为，点P为椭圆上一点，且点P到椭圆其中一个焦点距离为3，则 11．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 焦点三角形 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．4 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 5．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 9．（多选）（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 10．（23-24高二上·辽宁朝阳·期中）已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 11．（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为 . 12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，离心率为，C上一点A关于x轴的对称点为B.若的周长的最大值为16，则C的短轴长为 . 14．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 . 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若为锐角且外接圆的半径为4，则的面积是 . 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是 ． 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左焦点为，，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的面积为 . 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 20．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则 . 21．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则 . 22．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 方程表示圆的条件 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 5．（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 6．（多选）（23-24高二上·山西大同·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 7．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则 ． 8．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 求椭圆的方程 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（多选）（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 6．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 7．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 8．（23-24高二上·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 9．（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 2．（23-24高二上·辽宁·期中）椭圆的焦距是（ ） A． B． C．4 D．8 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 4．（23-24高二上·河南周口·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北邢台·期中）椭圆的短轴长是（    ） A．7 B．14 C．9 D．18 6．（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 7．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且 8．（多选）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ） A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆：的焦距为4，则的长轴长为 11．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）椭圆的短半轴长为 ． 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 2．（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆：过点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围． 7．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率． 弦长及中点弦问题 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 5．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 10．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 11．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 12．（23-24高二上·山东临沂·期中）椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则 ． 13．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 14．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 15．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的一般式方程； (2)求. 16．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆E：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：被椭圆E所截得的线段为AB，求线段AB的中点M的坐标． 椭圆的应用 1．（23-24高二上·河南开封·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 3．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北保定·期中）开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A． B． C．34 D．88 5．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆或的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．矩形的四边均与椭圆相切，若为正方形，则的边长为 C．若是椭圆的蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为 D．若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或 6．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 7．（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）如图，赛马场的形状是长100m，宽50m的椭圆.则距离顶点10m的宽度是 .    8．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 9．（22-23高二下·上海松江·期中）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 离心率问题 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏·期中）下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为 . 10．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 11．（23-24高二上·河南·期中）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 12．（23-24高二上·湖南·期中）如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是 .    13．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 14．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；      (1)求平面与平面所成角（用表示）； (2)如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用表示）. 范围和最值问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆C：的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·河南安阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ． 5．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 6．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为． (1)求的值； (2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 9．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 10．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 11．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知椭圆的焦距为4，短轴长为2． (1)求的长轴长： (2)若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值． 12．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的长轴长为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：是直角三角形； (3)求面积的最大值. 定点问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 4．（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 6．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点． 7．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 8．（23-24高二上·辽宁·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为． (1)求椭圆M的标准方程； (2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点． 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 定值问题 1．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 3．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 4．（多选）（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（    ） A．的周长为20 B．若，则的面积为9 C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值 5．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 6．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 7．（23-24高二上·安徽黄山·期中）椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、． 若四边形为正方形，且．    (1)求椭圆标准方程； (2)若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）； (3)在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由． 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积． 9．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知椭圆C：过点，且焦距为． (1)求C的方程； (2)已知点，，E为线段上一点，且直线交C于G，H两点．证明：． 10．（23-24高二上·浙江湖州·期中）椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，己知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 定直线问题 1．（多选）（21-22高二上·浙江嘉兴·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B．椭圆上不存在点，使得 C．直线与椭圆恒有公共点 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3 2．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为 . 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值； (3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动. 4．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆C：（，）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 5．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 6．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且． (1)求，的值； (2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上． 7．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 8．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点． (1)若，求的值； (2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义进行判断即可得解. 【详解】因为， 所以点的轨迹是线段，即. 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出和是椭圆的两个焦点及，，的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值可得结论. 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆 【答案】A 【分析】对的位置分类讨论即可求解. 【详解】若在直线外，由三角形两边长大于第三边有，不合题意， 故必在直线上，若在线段外，也有，不合题意， 故必在线段上，且总有， 故选：A. 4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据椭圆定义即可判断. 【详解】设，,在中， , 因为随着增大而减小， 所以∠APB最大时，则cos∠APB最小， 由基本不等式可知，当且仅当为定值时，cos∠APB有最小值， 即为定值且， 所以射门点应该在椭圆上. 故选：. 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹. 【详解】连接， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆. 故选：C 6．（23-24高二上·福建福州·期中）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解. 【详解】由椭圆定义可得， 由光学性质可知，为的角平分线， 所以. 故选：C 7．（多选）（23-24高二上·重庆永川·期中）下列命题正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C．过点且与圆相切的直线有1条 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 【答案】BD 【分析】A:当斜率不存在时，就不能用表示； B:借助椭圆的定义即可判断; C:通过判定点与圆的关系，得到圆外的一点引圆的切线有且只有2条； D:利用平行线间的距离公式，计算即可. 【详解】对于选项A：若经过定点的直线垂直于轴时，不能用方程表示，故A错误； 对于选项B：可以看成到的距离； 可以看成到的距离， 所以,满足椭圆的定义，所以点的轨迹是一个椭圆，故B正确； 对于选项C：将点代入圆，得到， 所以点在圆外，由圆外的一点引圆的切线有且只有2条,故C错误; 对于选项D：将直线化为， 由平行线间的距离公式：，故D正确. 故选：BD. 焦半径问题 1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 【答案】A 【分析】 先求解出的值，再根据椭圆的定义求解出的值. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 又因为，所以， 故选：A. 3．（23-24高二上·湖南张家界·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，则，即， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】运用椭圆的定义，结合椭圆方程进行求解即可. 【详解】由， 因为P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点， 所以， 故选：D 5．（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解. 【详解】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆，则，， 所以， 故选：D． 6．（23-24高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 在椭圆中，， 则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得， ， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是. 故选：C. 7．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解最大值. 【详解】依题意，，，则，，设， 所以：，又因为：， 所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确. 故选：C． 8．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期中）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，A错误； 对于B：根据椭圆的定义可得，B正确； 对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：BD.    9．（多选）（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D. 【详解】由椭圆C：，可得，，则， 对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确． 故选：ABD 10．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知椭圆方程为，点P为椭圆上一点，且点P到椭圆其中一个焦点距离为3，则 【答案】 【分析】由椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的方程可得：， 由椭圆的定义知：，因为点P到椭圆其中一个焦点距离为3， 故. 故答案为： 11．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，列出a，c的方程组，进而解出a，c，从而可得，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为， 所以，所以， 所以， 因为， 又，所以当 所以的取值范围是. 故答案为：. 焦点三角形 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 2．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用向量的数量积和面积公式，即可得到，再根据数量积的公式得到，又因为，则可利用基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示： 不妨设，，（，），， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 可得（，）， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以． 故选：B． 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 4．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义及三角形三边关系得，注意三点位置关系并确定的坐标，进而求三角形面积. 【详解】由题设，若是椭圆左焦点，如下图示， 的周长为，又， 而，结合图知：， 由，则， 所以，当且仅当共线且在之间取等号， 此时直线方程为，联立椭圆得，整理得， 所以或，由图知， 此时的面积为. 故选：B 5．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 6．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可求出，再根据求出，即可得解. 【详解】由的周长为， 得， 又椭圆的焦距，则， 所以， 所以椭圆标准方程为. 故选：D.    8．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 【答案】BCD 【分析】A：先判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B：利用椭圆的定义以及的范围求解出周长的最小值； C：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果； D：将点设为，然后表示出的周长，结合三角形函数确定出周长最小时的值，从而可求面积. 【详解】对于A：因为点平分，所以四边形是平行四边形， 又因为，且，所以， 所以，所以有可能成立，故A不正确； 对于B：因为四边形是平行四边形，所以， 所以周长为，故B正确； 对于C：因为，设，所以， 所以，故C正确； 对于D：由题意可知，设，， 所以， 所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解. 9．（多选）（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 【答案】AB 【分析】对于选项A,根据椭圆的几何性质可得答案.对于选项B,问题等价于以为直径的圆与椭圆是否有交点,求出圆的方程与椭圆方程联立,对于选项C,通过弦长公式得答案.对于选项D,分析面积表达式可得答案. 【详解】对于选项A：因为椭圆的方程,所以,即, 由椭圆的定义可得 两式相加得,所以得, 所以的周长为8，故A正确； 对于B选项：，，当且仅当时相等，此时，故B选项正确. 对于选项C:设直线方程为, 与椭圆方程联立得,消去,, 设又,则,. 故, 当时,即垂直于时, 最小为3,故C错误. 对于选项D: ,设， 将代入椭圆方程，，.故D错误. 故选：AB 10．（23-24高二上·辽宁朝阳·期中）已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，求得，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】设椭圆F的焦距为2c，则，可得， 由椭圆的方程为，可得，解得， 所以的周长为. 故答案为：． 11．（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为 . 【答案】6 【分析】根据条件得出，再利用椭圆的定义即可求出结果. 【详解】因为在椭圆：上，所以，得到， 又，所以，又，所以， 由椭圆的定义知，，所以的周长为， 故答案为：. 12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 【答案】 【分析】根据和椭圆定义可得，求出椭圆方程，设代入椭圆方程求得，利用求出，再根据求出，利用可得答案. 【详解】因为，所以， 因为的周长为4，所以的周长， 所以，所以椭圆方程为，，所以， 直线垂直轴，设，代入，求得， 所以，， 因为外角平分线的垂线与直线交于点， 所以，可得， 则，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，离心率为，C上一点A关于x轴的对称点为B.若的周长的最大值为16，则C的短轴长为 . 【答案】 【分析】讨论过右焦点和不过右焦点两种情况，利用数形结合分析周长的最大值，结合已知条件，即可求解. 【详解】如图，由题意可知轴，不过右焦点，轴，过右焦点， 的周长为， 而的周长为， 所以的周长的最大值为，即，则， 又离心率，即，则， 所以椭圆的短轴长为.    故答案为： 14．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 . 【答案】8 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得，又由图可得的周长为 . 故答案为：8 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】   设, 根据椭圆的定义可得，， 在中，设， 由余弦定理可得， ， 所以， 所以，所以， 所以， 故答案为: . 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若为锐角且外接圆的半径为4，则的面积是 . 【答案】 【分析】由正弦定理得出，再由余弦定理结合椭圆定义得出，进而求出面积. 【详解】由题得，，由正弦定理得， 又，代入得，故， 由余弦定理可得，因为， 所以， . 故答案为： 17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】 利用椭圆定义结合题设求得，可判断，即可求得的面积. 【详解】由题意知是椭圆的两个焦点， 则， 不妨取，则， 又，结合可得， 则，即， 故， 故答案为： 18．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左焦点为，，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的面积为 . 【答案】1 【分析】 求出，的坐标，即可得出三角形的面积. 【详解】由题意， 在椭圆中，， ，在椭圆上关于原点对称 ∴，    设， ∴ ∵， ∴ ∴解得：或， ∴ ∴，解得：， 故答案为：. 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 【答案】/ 【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得. 【详解】椭圆，即，所以，，， 因为，所以点为短轴顶点，所以. 故答案为： 20．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则 . 【答案】1 【分析】利用椭圆定义以及余弦定理推出，根据，平方后结合数量积的运算律可得出答案. 【详解】由题意得椭圆的长轴长为，焦距为， 故，且， 即，得， 则； 由O为的中点，得， 故 ， 故，即， 故答案为：1 21．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和得到，再由求解. 【详解】解：由题意椭圆为两个焦点， 所以， 则①，即， 由余弦定理得， 又， 所以，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即. 故答案为： 22．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 【答案】 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，设，根据已知列出关系式，求解得出的值，设，求出满足的点的个数，即可判断为直角三角形的个数. 【详解】由已知可得，，，， 所以，. 由椭圆的定义可得，，又， 如图1，设，由椭圆的定义可知，， 又， 所以， 即，解得，即； 设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如图，当点位于短轴顶点时有， 所以，满足的点有个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有个交点， 即满足以及的点各有个. 综上所述，椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形. 故答案为：； 方程表示圆的条件 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 故选：D 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可. 【详解】由表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故选：B 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程的特征分析求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 4．（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 5．（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程、双曲线方程以及圆的方程的概念求解. 【详解】 对A,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形不是一个圆，故A错误； 对B,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对C,当时，曲线方程为，即，所以曲线表示的图形是一个圆，故C正确； 对D，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故D正确； 故选:BCD. 6．（多选）（23-24高二上·山西大同·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【分析】分别将值代入方程，化简即可判断A、B、C，举例即可说明D. 【详解】对于A项，当时，曲线C可化为是圆，A正确； 对于B项，当时，曲线C可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确； 对于D项，当时，曲线不是椭圆，故D错误. 故选：AC. 7．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则 ． 【答案】 / 【分析】第一空，利用方程表示椭圆，列出限制条件，可得实数的取值范围；第二空，利用椭圆的定义，结合余弦定理和三角形的面积公式，即可得解. 【详解】第一空，因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，所以. 第二空，由椭圆的标准方程可得，，    设，则，又， 由余弦定理可得， 而，故，故， 故. 故答案为：；. 8．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据曲线方程表示的曲线类型列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，解得， 故答案为： 求椭圆的方程 1．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 4．（多选）（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 5．（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 【答案】CD 【分析】先根据两个圆内切得到圆心间的距离为半径之差，再得到该值为定值得到轨迹为椭圆，考虑特殊情况椭圆，两焦点重合情况，此时为圆即可. 【详解】如图，设已知圆的圆心为，半径为，圆内的定点为，动圆的半径为．若点与点不重合，由于两圆相内切，则，由于，    因为，即， 所以动点C到两个定点，的距离和为常数， 又因为为圆内的定点，所以． 所以此时动点C的轨迹为椭圆； 若，重合为一点，则此时动点C的轨迹为以为直径的圆． 故选：CD 6．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】本题有两种方法：法一是设共焦点的椭圆方程系，直接代入(3，2)即可求得；法二是求出椭圆的焦点，利用定义求出长轴长，进而求出椭圆标准方程． 【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 故答案为：． 7．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意得出，得到点满足，根据椭圆的定义，求得点表示为焦点的椭圆，即可求解. 将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可. 【详解】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 8．（23-24高二上·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设动圆的圆心，半径为，根据两圆的位置关系列式整理可得动圆圆心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程. 【详解】设动圆的圆心，半径为， 又由圆得，圆心，半径， 由圆得，圆心，半径， 由已知得，两式相加消去可得， 根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为 其中， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·天津·期中）写出适合下列条件的椭圆的标准方程， (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； (3)经过点，焦点坐标分别为； (4)焦点在轴上，经过点，焦距为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】利用椭圆的定义及待定系数法计算即可. 【详解】（1）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可知； （2）不妨设椭圆方程为， 将两点代入得，即椭圆方程为； （3）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 由题意可设，则有， 故椭圆方程； （4）设椭圆焦距为，长轴长为，短轴长为， 则， 由题意可设，则有， 故椭圆方程. 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 2．（23-24高二上·辽宁·期中）椭圆的焦距是（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】直接根据椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆中，，故， 所以椭圆的焦距是. 故选：A. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质判断. 【详解】椭圆中，， 故长轴长为，焦距，离心率为，左顶点的坐标为，故只有B正确. 故选：B 4．（23-24高二上·河南周口·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且， 解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A 5．（23-24高二上·河北邢台·期中）椭圆的短轴长是（    ） A．7 B．14 C．9 D．18 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程确定，即可求得答案. 【详解】由于椭圆方程为，设椭圆短半轴长为b， 而，所以，则， 故椭圆的短轴长是， 故选：B 6．（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 【答案】AC 【分析】根据椭圆中焦距的定义即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 7．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且 【答案】BC 【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；根据向量数量积判断B；由四边形的内切圆过焦点，，结合面积公式求出判断C；由轴求出的坐标，结合斜率公式计算离心率判断D. 【详解】由可知：，，，，，， 对于A，若，则， 所以，即， 所以，与已知不符，故A错误； 对于B，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，四边形的内切圆过焦点，， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得（舍去）或 所以，故C正确； 对于D，当轴，时，则， ，， 所以，所以，整理得， 所以，所以，与已知不符，故D错误. 故选：BC 8．（多选）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ） A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 【答案】16 【分析】利用椭圆的标准方程及焦距的定义即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上， ， ， 故答案为：16． 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆：的焦距为4，则的长轴长为 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，由题意有，，即可得出． 【详解】设椭圆的长轴长为，由椭圆的焦距为4，可得． 因此椭圆的焦点只能在轴上，可得，解得． 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：． 11．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）椭圆的短半轴长为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的标准方程可得解. 【详解】由，可得，， 所以椭圆的短半轴长为. 故答案为：. 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 2．（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据定点判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故选:B. 3．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【详解】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆：过点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设的斜率为，得到的方程为，的方程为，根据题意，得到，联立方程组，结合，得到，将代入上式，得出的不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆过点，且离心率为， 可得，解得，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1， 设的斜率为，则的斜率为， 则直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 因为与圆相切于点，所以，化简得， 由，整理得， 所以，化简得，， 由，可得， 代入上式化简得，，解得， 又因为，可得，得， 所以的取值范围是． 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 7．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点 (2)证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式，消去参数，即可得证． 【详解】（1）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 即，即， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （2）由（1）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出椭圆的一般方程式，分别将、点代入从而求解. （2）设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用判别式即可求解. 【详解】（1）由题意设椭圆方程为， 因为，在椭圆上， 则，解得，所以椭圆的方程式为：， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意得直线的斜率存在且设为，则直线的方程为， 与椭圆方程联立得，化简得：， 因为直线与椭圆相切，所以， 解得：,所以或. 所以直线的斜率为或. 弦长及中点弦问题 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果. 【详解】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以， 故选：D. 2．（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】作图，用对称性即可求解. 【详解】如图所示，BCD三项的直线均和对称 而椭圆关于原点对称，故弦长都相同 故选：BCD 3．（23-24高二上·浙江·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出欧拉线的方程，联立方程，表示出弦长，求出最值即可. 【详解】因为，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点, 当斜率不存在时，被椭圆截得的弦长为2； 当斜率存在时，设方程为，直线与椭圆的交点为, 与椭圆方程联立可得， 则，； 令，则，且； ， 因为，所以，所以当时，即，取到最大值，最大值为. 故选：C 4．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】求出交点得纵坐标即可得解. 【详解】令，得，解得， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故选：C. 5．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 6．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距. 【详解】如图所示， 依题意，直线的斜率为，设， 则，且 ， 由 两式相减得：， 于是，解得， 此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的焦距为. 故选：B. 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出弦中点坐标，再根据点差法求出的值，最后结合焦距求出即可. 【详解】设椭圆方程为， 因为弦的中点的横坐标为，代入直线方程可得中点， 不妨设直线与椭圆的两个交点为， 所以，即， 而中点为，所以，而， 代入可得，而椭圆焦距为4，所以，结合，求得， 所以短轴长为， 故选：B 8．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 9．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【答案】BD 【分析】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D. 【详解】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD 10．（多选）（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断D. 【详解】对于A，设椭圆的方程为，则由题意得， 离心率为，即， 即椭圆的方程为，A错误； 对于B，由，可得椭圆的焦距为2，B正确； 对于C，不设椭圆的焦点，将代入中，    可得，故，C正确； 对于D，的周长为，D错误； 故选：BC 11．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    12．（23-24高二上·山东临沂·期中）椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则 ． 【答案】 【分析】设，则，利用点差法，结合，，化简即可求解. 【详解】设， 则，， 由点M是AB的中点，得，① 又，两式相减，得，② 将①代入②，得， 整理，得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率.    14．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 15．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的一般式方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交． （2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得． 【详解】（1）因为弦被点平分，所以 设交点坐标， 则， 两式相减得：）， 所以直线的斜率， 故直线的一般式方程为 联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意． 所以直线方程为， （2）由（1）知：， 由（1）得， ， 所以． 16．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆E：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：被椭圆E所截得的线段为AB，求线段AB的中点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求解，即可求解椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）由已知，， ∴，， 所以， 所以椭圆方程为． （2）由题意可得消去x，得， ， 设，，，则，是方程的根，即， 所以，又，所以， 综上 椭圆的应用 1．（23-24高二上·河南开封·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义求出，结合平分，故. 【详解】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 【答案】A 【分析】根据给定的信息，结合椭圆的特征列式计算即得. 【详解】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点， 所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）. 故选：A    3．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出的周长和的周长，进而根据题意得到方程，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为， 由图①可得， 其中，故上面两式相减得， 由图②可得， 故， 由题意得，即， 即，解得， 故的长轴长与的实轴长之比为. 故选：C 4．（23-24高二上·河北保定·期中）开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A． B． C．34 D．88 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的方程和几何性质，求得近日点距离和远日点距离之和距离之积，联立方程组，即可求解. 【详解】由曲线的方程为椭圆，可得长半轴， 则半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，，则． 故选：C 5．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆或的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．矩形的四边均与椭圆相切，若为正方形，则的边长为 C．若是椭圆的蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为 D．若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或 【答案】ABD 【分析】利用新定义即可直接求出相关量，判断选项AB，表示出三角形的面积，结合基本不等式即可判断选项C，结合题意分析出当为直角时，点与点或重合，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，由椭圆的方程知，， 故蒙日圆半径为，则蒙日圆的方程为，A正确； 对于B选项，设椭圆的蒙日圆为圆， 由题意知，矩形为圆的内接矩形， 当为正方形时，由圆的半径为得的边长为，B正确； 对于C选项，椭圆的蒙日圆的半径为， 因为，即为蒙日圆的直径，所以， 所以， 又因为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，C错误； 对于D选项，设直线与椭圆的蒙日圆交于，两点， 联立解得或， 不妨令，， 所以当点与点或重合时，为直角， 且，， 所以直线的斜率为或，D正确. 故选：ABD 6．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 C．轨迹上的点到点的距离的最小值为2 D．轨迹与轨迹有两个不同的交点 【答案】ACD 【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断A； 根据题意列式判断轨迹的对称性即可判断B； 根据已知条件进行转化即可求得最小值进而判断C； 根据题意转化得到即可判断两个轨迹的交点个数进而判断D. 【详解】对于A，因为，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆为，则， 得，所以轨迹方程为， 所以轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确； 对于B，因为满足条件的动点的轨迹为， 所以设，则， 将代入原式，即， 则轨迹关于轴对称，故B错误； 对于C，由，得， 当且仅当三点共线时等号成立，故C正确； 对于D，轨迹与轨迹有两个不同的交点，即点和点重合的点， 则，解得， 由于， 所以轨迹与轨迹在第一象限和第四象限各有一个交点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 7．（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）如图，赛马场的形状是长100m，宽50m的椭圆.则距离顶点10m的宽度是 .    【答案】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到椭圆的方程为，令，求得的值，即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆的方程为， 根据题意，得到，所以椭圆的方程为， 又由，可得点， 令，可得，解得，所以， 即距离顶点10m的宽度是. 故答案为：.    8．（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 【答案】(1)百米 (2)百米 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆的基本量即可得到答案； （2）将题意转化为求圆上一点到定点距离的最小值即可求解. 【详解】（1）以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    设椭圆标准方程为， 由题意得，离心率，，所以， 又因为，解得， 所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米 （2）设线段的中点为，由知， 由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上. 则点运动轨迹为， 所以线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为百米 9．（22-23高二下·上海松江·期中）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，即可得出椭圆标准方程； （2）设变轨时，地球位于，根据到原点距离及在椭圆上可得点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离建立不等式求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知，，， 解得，， 所以， 故所求椭圆的方程为：. （2）由（1）知， 设变轨时，地球位于， 则， 又， 解得， 设过点P的直线方程为， 即， 由， 化简可得 解得 若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是. 离心率问题 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及椭圆中三者的关系，利用椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：A． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 3．（23-24高二上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，根据平行关系得到方程，得到，从而求出离心率. 【详解】由已知得：， 将代入椭圆中，，解得， 因为A，B分别是椭圆的右、上顶点，且，所以， 其中， 由得：， 解得， 由得：， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C. 4．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，      因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以， 故选：B. 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据已知结合图形，得出，然后求出，即可得出答案. 【详解】设，，由题，则， 当滑动到位置时，在上顶点或下顶点，则， 又当在右顶点时，恰好在位置，则， 所以， 故离心率为. 故选：C. 6．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆与坐标轴的公共点，再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 在中， 令，则，令，则或， 故圆与坐标轴的公共点为，，， 又椭圆的焦点在轴上， ①若椭圆的上顶点为，左焦点为或，即，或， 则或，离心率或； ②若椭圆的左顶点为，左焦点为，则，，离心率， 综上所述，该椭圆的离心率为或或. 故选：C. 7．（23-24高二上·江苏·期中）下列椭圆的形状更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 8．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，可得， 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得. 综上所述，或. 故选：BC. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程可证：对于椭圆上任一点，均有，设，联立方程利用韦达定理可证，进而根据直线的交点整理可得，即可求离心率. 【详解】对于椭圆上任一点， 则，可得， 可知， 所以， 由题意可知：直线的斜率不为0，但可以不存在， 设， 联立方程，消去x得， 则， 可得 ， 可知直线，直线， 联立方程，消去可得， 则，整理得，即， 又因为焦距为4，可得， 所以椭圆离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：1.根据椭圆方程可证：对于椭圆上任一点，均有； 2.设，联立方程利用韦达定理可证. 10．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 11．（23-24高二上·河南·期中）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据得到，确定，得到离心率范围. 【详解】设，，，则，即， 故，即， ，故，，解得， ，离心率的取值范围为， 故答案为：. 12．（23-24高二上·湖南·期中）如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是 .    【答案】 【分析】将表示为三角函数的形式，然后根据三角恒等变换以及三角函数最值的知识求得的最大值. 【详解】由图知， 则，设， 则， 则 ， 由于， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆的离心率，方法有很多，如根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得的齐次式，先求得，然后利用求得椭圆的离心率. 13．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当为椭圆短轴顶点时，最大，求出的最小值为，结合余弦函数的单调性可得出，求出的取值范围，可得出椭圆的离心率的取值范围，即可得解. 【详解】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；      (1)求平面与平面所成角（用表示）； (2)如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用表示）. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量求面面角，列式求解即得. （2）利用圆的切线性质，求出椭圆长半轴长与半焦距的表示式即可求出离心率. 【详解】（1）观察图形知，为平面的法向量，设平面的法向量为， 光线与地面夹角为，依题意，，， 而，所以. （2）设篮球半径为R，显然平面⊥平面，连接，平面， 过作交于，则，于是椭圆长轴， 在四边形中，，令椭圆半焦距为，而， 则，解得，      所以该椭圆的离心率为. 范围和最值问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆上的点到右焦点与右准线距离之比为求出，再求出最小值即可. 【详解】如图所示， , 易知，则，则， 所以，所以， 所以， 所以当且仅当与重合的时候，此时， 此时， 故选：C 2．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆C：的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点斜率公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】由题意，不妨设，，不妨设，， 则，所以 则，， ，故，同号， 故，当且仅当时取等号， 即的最小值为， 故选：C    3．（多选）（23-24高二上·河南安阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为 【答案】AB 【分析】根据点在椭圆内得到，计算离心率得到A正确，确定焦点坐标，变换，计算得到B正确，确定轨迹方程，根据得到C错误，根据距离公式消元结合二次函数性质得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：点在椭圆内部，则，且，解得， ，正确； 对选项B：，故，椭圆方程为，，， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立，正确； 对选项C：设，则， 即，，，故， 椭圆与圆没有交点，错误； 对选项D：设，上顶点， ， 二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减， ，故，错误； 故选：AB 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件得，将的最大值转化为的最大值，设，结合消去化简，结合的范围求解答案. 【详解】设圆的圆心为，半径， 则，在延长线上时取等号， 设，则，得，， 所以， 当时，取最大值， 所以的最大值. 故答案为：. 5．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值. 【详解】依题意，设， 根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设， ，则，即， 所以 由于，所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 故答案为：    【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解. 6．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【答案】(1)椭圆C的方程为，焦距2 (2) 【分析】 （1）根据给定条件，求出，写出椭圆的方程并计算焦距作答. （2）设出坐标，求线段中垂线方程得点，求圆在点处的切线方程得点，再借助均值不等式求解作答. 【详解】（1） 由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． （2） 由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为．    7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为． (1)求的值； (2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设点，利用坐标表示斜率，利用点在椭圆上，即可化简求值； （2）首先利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求点的坐标，并求的中点，利用和，求得，并代入点的坐标，即可求的取值范围. 【详解】（1）设，，， ； （2）由题意知直线的方程为，则， 由，得， 则，则，， 则，又 所以的中点的坐标为， 当直线的斜率存在时，由题意知，，又， 所以， 即，得，， ， 当直线的斜率不存在时，， 综上：的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由圆的几何性质可知，，则可得到，才能代入坐标运算，化简得到与的关系. 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解. （2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的方程为， 设， 而过点且斜率为1的直线的方程为，即， 将其与椭圆方程联立得，消去并整理得， 所以， 所以弦的长为 . （2） 由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为， 由题意动点在椭圆上，不妨设点， 所以点到直线的距离 ， 而， 所以， 所以， 所以点到直线的距离有最大值， 所以， 即的最大值为. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆长短半轴长、半焦距即得. （2）设出点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆E的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆E的标准方程为. （2）设，显然，由（1）知，即， 由，得，由，得， 于是，即有，整理得 ， 而，则，又，因此， 故实数t的取值范围为． 10．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C上任意一点，利用该点与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值，列式求得，结合c的值，即可求得的值，即得答案. （2）设直线l方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，进而求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意知椭圆C：焦距为6，即， 设椭圆C上任意一点（异于长轴端点），则， 长轴的两顶点坐标为，由题意得， 即，则， 即，结合，解得， 故曲线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率不为0，，设直线l方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 则，， 故 ， 当且仅当，即时取等号， 故S的最大值为. 11．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知椭圆的焦距为4，短轴长为2． (1)求的长轴长： (2)若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）基本量运算得出a得出长轴长即可； （2）先联立方程组得出韦达定理，再应用弦长公式计算，最后结合最值求解即得. 【详解】（1）由题意得得 所以的长轴长． （2）   由（1）可知的方程为． 设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得 则． 当时，取得最大值，且最大值为． 12．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的长轴长为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：是直角三角形； (3)求面积的最大值. 【答案】【小题1】； 【小题2】证明见解析； 【小题3】 【分析】（1）根据长轴长求出a，结合求出b，即可求得椭圆的标准方程； （2）分别求出，并得到，进而得到即可得证； （3）分别求出，写出面积后利用均值不等式求解. 【详解】（1）， 设椭圆的标准方程为，， 则 ，则， 所以椭圆的标准方程为： （2）设，所以，， ，所以，所以是直角三角形 （3）直线，代入， 得：，所以 又，所以， 则 因为在上，所以 又，故 令，所以，当且仅当时取等. 所以面积的最大值为. 定点问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 【答案】 【分析】 设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点 【详解】 因为，，， 则：，：． 设，． 联立椭圆方程与得： 得， ∴， 因为， ∴，∴， 联立椭圆方程与得：， 得， ∴，∴， 因为，， 所以：，即， 当时，即时方程恒成立，故直线过定点． 故答案为： 3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    【点睛】思路点睛：过圆锥曲线上的动点的直线过定点问题，借助圆锥曲线方程设出动点坐标，求出相关的直线方程，并与圆锥曲线方程联立，求出另一交点坐标，再与已知结合推理求解即可. 4．（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知； （2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点. 【详解】（1）因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程：； （2）设， 当直线的斜率不存在时，则， 由， 解得，此时，故重合，不符合题意， 所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：， 由得， 且，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 化简可得：， 因为，所以， 所以， 所以直线必过定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 5．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）利用椭圆的几何性质求得，从而得解； （2）根据题意得到，再联立直线与椭圆的方程得到，从而推得直线必过定点. 【详解】（1）由题意知，，则，，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，则，， 由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上， 由题意，设， 联立，得，易知， 所以，，则 对于， 令，化简得 ， 所以直线必过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，，由两点斜率公式结合直线，的斜率之积为列式解出，再将点代入椭圆方程在代入解出，即可得出椭圆方程； （2）由题意设点，根据（1）得出的方程得出，，根据直线的两点式方程得出直线，直线，设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点，将直线，直线与椭圆方程分别联立求出与，即可根据直线点斜式方程得出直线的方程，化简得出，即可根据直线点斜式证明直线过定点. 【详解】（1）   由题意得，， 直线，的斜率之积为， ，解得：， 为椭圆上的点， ，解得：， 椭圆的方程为：； （2）   直线与相交于点，若点在直线上， 设点， ，， 则直线：，即， 直线：，即， 设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点， 联立，消去，得， 解得或，则，则， 联立，消去，得， 解得或，则，则， 即，， 则直线即直线的斜率为， ， ， ， 直线的方程为：， ， ， ， ， ， ， ， 即， 则直线过定点. 7．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过的点，列出方程，求得，即得答案； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，求得的纵坐标的表达式，结合化简可得之间的关系，代入中，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，且过点， 故，且， 解得， 故椭圆C的方程为. （2）由于，可知在x的同侧，则l的斜率不为0， 故设，联立， 得，设， 需满足，即有解； 则， 直线的方程为，令，得， 同理可得， 则，即， 整理得， 即， 即，即， 即得或，均满足有解， 当时，直线l为，此时直线过定点，不合题意； 当时，直线l为，此时直线过定点. 【点睛】方法点睛：本题考差了椭圆方程的球法以及直线和椭圆位置关系中的直线过定点问题，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，结合题设化简；解答的难点在计算过程复杂，计算量较大. 8．（23-24高二上·辽宁·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为． (1)求椭圆M的标准方程； (2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，由此结合离心率、平方关系列出方程，即可求解. （2）由题意共线，所以，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入即可得证. 【详解】（1）    由题意知，，，解得，，． 所以椭圆的标准方程是． （2）    设，，，直线：． 将，代入得． 则， ，． 因为共线，所以，即． 整理得， 所以， 即， 即，解得． 所以直线：，与轴交于定点． 【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，第二问的关键是由共线，得出，由此即可顺利得解. 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，求得，结合离心率及的关系求得，即得答案； （2）考虑直线斜率是否存在，是否为0．当直线的斜率存在且不为0时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，写出的方程，联立化简整理即可证明结论. 【详解】（1）圆与圆的圆心分别为，半径分别为1和3， 由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上， 可知：，得， 又，，解得，， 所以椭圆的方程为：． （2）设与轴交于点，则， 当的斜率为0时，显然不适合题意； 当的斜率不存在时，直线为， 四边形为矩形，，交于线段的中点， 当直线的斜率存在且不为0时， 设，，直线为， 联立，得， ， ，， 设，， 则，， 联立，的方程，得， 将，代入整理得． 将代入的方程，得 ， 综上，直线、交于定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 定值问题 1．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点P的参数形式，再结合直线的斜率公式，以及椭圆的性质，即可求解. 【详解】点P为椭圆C上的动点，则可设， 又， 则. 故选：D. 2．（多选）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 【答案】ABD 【分析】由椭圆离心率的计算公式即可判断A，由椭圆的定义以及基本不等式即可判断B，由椭圆的标准方程代入计算即可判断C，由椭圆的定义以及三角形的周长公式即可判断D. 【详解】 由椭圆的方程可得，则， 则椭圆离心率为，故A正确； 由椭圆的定义可知，，又， 所以，即，当且仅当时， 等号成立，所以最大值为25，故B正确； 设，，则，所以， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，故C错误； 由椭圆的定义可知，， 且的周长为，故D正确； 故选：ABD 3．（多选）（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 【答案】BCD 【分析】A：先判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B：利用椭圆的定义以及的范围求解出周长的最小值； C：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果； D：将点设为，然后表示出的周长，结合三角形函数确定出周长最小时的值，从而可求面积. 【详解】对于A：因为点平分，所以四边形是平行四边形， 又因为，且，所以， 所以，所以有可能成立，故A不正确； 对于B：因为四边形是平行四边形，所以， 所以周长为，故B正确； 对于C：因为，设，所以， 所以，故C正确； 对于D：由题意可知，设，， 所以， 所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解. 4．（多选）（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（    ） A．的周长为20 B．若，则的面积为9 C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值 【答案】BCD 【分析】由椭圆的性质，结合平面向量数量积的运算求解. 【详解】已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点， 则 对于选项 的周长为即选项 A 错误； 对于选项 B， 若 ，则 , 又 ，则 ， 则 ，则 的面积为 9 ，即选项 B 正确; 对于选项 C， 设 , 则 即选项 C 正确； 对于选项 D，设 ，则 , 即 ，则，故D正确； 故选：BCD. 5．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 【答案】 【分析】作出图形，结合平面几何的知识推得是的中点，从而利用中位线定理与椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，， 如图，延长交于， 因为是的外角平分线，， 所以由平面几何的知识易得， 则，即是的中点，且， 又是的中点， 所以. 故答案为：. 6．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，，及可求得，； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为 （2）证明如下： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以， 即，故得证． （3）由知， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 得，即时，， 此时取得最大值为． 7．（23-24高二上·安徽黄山·期中）椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、． 若四边形为正方形，且．    (1)求椭圆标准方程； (2)若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）； (3)在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）依题可得且，即可求出、、，从而得解； （2）设方程为，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由，可得、、三点共线，即可得到点坐标，由，可得，即，从而求出点坐标，即可求出的值. （3）设，表示出，，根据斜率之积为求出即可. 【详解】（1）依题可得且，又，，， 故椭圆方程为. （2）依题意的斜率存在，设方程为， 联立方程组可得， 解得、， 即，， ，、、三点共线． ， 又由，，即， 所以，所以， ∴联立方程组解得，所以， 所以，， 所以（为定值）.   . （3）设， 则，， ，得，故， 即存在一点满足条件．   . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由推得、、三点共线，由推得，从而得解. 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求得，从而可得椭圆方程； （2）分直线斜率存在与不存在，当直线斜率不存在时，求出直线方程，与椭圆方程联立直接求出的坐标，从而求出结果；当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为△OFP的面积为，则有，解得， 又因为在椭圆C上，则，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，， 又因为，所以，， 所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立方程，消去y得：， 则， 由韦达定理得，， 所以， ， 综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为． 【点睛】易错点点睛：第（2）问求解时易忽视直线斜率不存在的情况.一般知道一个点求直线方程时，利用点斜式方程，设直线方程时，要分斜率存在与不存在两种情况求解. 9．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知椭圆C：过点，且焦距为． (1)求C的方程； (2)已知点，，E为线段上一点，且直线交C于G，H两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题得出焦点坐标，再由椭圆定义可求得，由，，关系可求得结果； （2）当直线与x轴重合时，易证；当直线与x轴不重合时，设：，与椭圆联立可得根与系数关系，要证明，即证，根与系数关系代入可得证. 【详解】（1）由已知得焦点坐标为，， 由椭圆定义知 ，， 则，所以C的方程为． （2）①当直线与x轴重合时，不妨设，， 易得，，，满足． ②当直线与x轴不重合时，设：，，， 由，得， ，，， 要证明，等价于证明， 即证（*），又， 又， 所以（*）式成立，即． 10．（23-24高二上·浙江湖州·期中）椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，己知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义，得到，再由点在椭圆上，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意得到，代入化简，即可求解. 【详解】（1）解：因为的周长为，由椭圆的定义，可得，解得， 又由椭圆过点，可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点， 由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 可得， 又因为，且， 可得， 所以， 所以. 定直线问题 1．（多选）（21-22高二上·浙江嘉兴·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B．椭圆上不存在点，使得 C．直线与椭圆恒有公共点 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义判断A正确；结合向量的数量积的坐标运算判断B错误；根据直线恒过定点以及点和椭圆的位置关系可知点在椭圆内，由此可判断C正确；结合两点间的距离公式可判断D正确. 【详解】解： 对于A选项：由椭圆的定义： 的周长为：，故A正确； 对于B选项：设，则，， ， ，解得 椭圆上存在点，使得，故B错误； 对于C选项：直线恒过定点 ，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确； 对于D选项：设，则P点到圆的圆心的距离 ，故 ，故D正确. 故选：ACD 2．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为 . 【答案】（） 【分析】由题意，设直线MN的方程为，联立椭圆方程并由韦达定理得，，再由点斜式写出直线AM、AN的方程，联立得，结合韦达公式化简，即可得轨迹方程. 【详解】由题知，MN不与x轴重合，设直线MN的方程为， 联立，消x整理得，， 设、，则，. 因为AM的方程为，AN的方程为 两直线方程联立得：， 因为. 所以，解得. 所以动点T的轨迹方程为（）. 故答案为：（） 【点睛】关键点点睛：设直线，并联立椭圆得到一元二次方程，应用韦达定理写出，，再由AM、AN的方程得到为关键. 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值； (3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据双曲线的焦距，结合代入法进行求解即可； （2）根据直线斜率公式进行运算证明即可； （3）设出动直线方程与椭圆方程联立，结合直线斜率公式、椭圆上的点到椭圆两长轴顶点连线斜率的关系进行求解即可. 【详解】（1）由双曲线可知该双曲线的焦距为， 由题意可知该椭圆的焦距为， 因为椭圆经过点， ； （2）由（1）可知：， 把代入中，得， 由题意可知， ， 所以为定值； （3）由题意可知过的动直线的斜率不为零， 所以设该动直线方程为，与该椭圆方程联立， 得， ， 设， 则有， ，直线， 同理可知， ， 由 ，把代入，得 ， 因此直线的交点的横坐标为定值，即直线的交点在一条定直线上运动. 【点睛】关键点睛：本题的关系是利用由，进而利用转化的思想进行求解. 4．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆C：（，）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程； （2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，解得， 可得，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上．    5．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点 (2)证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式，消去参数，即可得证． 【详解】（1）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 即，即， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （2）由（1）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 6．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且． (1)求，的值； (2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求即可； （2）设直线的方程为，设，由直线与直线的方程整理可得，再联立椭圆与直线的方程，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由已知，得，，， 因为，所以， 解得． （2）由（1）可知：椭圆的方程为， 因为在椭圆内部，则直线与必相交，    由题意可知：直线的斜率不为0，设直线的方程为， 与的方程联立得，消去可得， 设，则，， 即， 直线，直线， 联立上述两方程消去可得， 整理得， 即， 可得， 由，得， 即， 若，则由，可得得，， 又因为，则，即，不成立； 故，由，解得， 综上所述，动点在定直线上． 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 7．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D在直线上． 【分析】 （1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可； （2）由题意先确定M、N位置，设直线与、坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出、纵坐标关系式，再利用点、坐标表示直线、，法一、求出D点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线、方程作比计算为定值，计算即可. 【详解】（1）设，，， 则， 则，解得（舍去）， 则，① 代入点得，② 联立①②，解得，， 故椭圆C的标准方程为； （2） 依题意，，， 设直线，联立， 整理得， ； 设，， 则，， 所以. 可设直线，直线， 法一：联立 得 ， 故点D在直线上． 法二：故， 解得， 故点D在直线上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 8．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点． (1)若，求的值； (2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，联立直线与椭圆方程，求出点坐标，再由两点间的距离公式求出； （2）由点坐标可求得斜率，进而得到方程，与圆的方程联立可得点坐标；设，利用向量数量积坐标运算表示出，可知若为定值，则，知；当直线斜率不存在时，验证可知满足题意，由此可得定直线方程. 【详解】（1）依题意可得，可设，， 由，消去整理得， ，， ，， ， 所以，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）知，， 若直线斜率存在，则，直线， 由得，又点在线段上， 所以，即，又， ， 设，则， ； 当时，为定值，此时，则，此时在定直线上； 当时，不为定值，不合题意； 若直线斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设，从而有，， 此时，则直线， 设，则，，， 则时，，满足题意； 综上所述：当为定值，点在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本题求解点所在定直线的关键是能够根据点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简，将化为关于点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到点坐标的特征. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$