精品解析：2023年上海市闵行区中考三模数学试题

2023年上海市闵行区中考三模数学试题 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. 2019 B. C. D. 2. 将数据米用科学记数法表示为（    ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是（） A. B. ﹣ C. D. 2 4. 下列说法:①一定是负数；:②一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；其中正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 6. 高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 一元二次方程的根是______． 8. 方程的根是__________． 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 10. 若分式的值为零，则的值为____________． 11. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 12. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为_____． 13. 2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中和的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是______．（填写序号） 序号 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 90 88 92 90 89 92 86 93 14. 如图在中，，斜边上的高交于，若，，则的长度等于_________． 15. 若菱形两对角线长分别为a、b，且满足 ，则该菱形的面积为______． 16. 若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为________． 17. 定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 18. 在边长为2正方形中，点M和点N分别在直线和上运动，连接，点O为的中点，连接，得，当时，____________________． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：（结果保留带分数形式）． 20. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 21. 半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） （1）在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； （2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 22. 阅读以下微信群聊，完成任务． 任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？ 23. 如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是等腰梯形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，点在轴上，连接且，求线段的长； （3）连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值． 25. 如图1，是的直径，点P是直径上一动点，过点P作直径的垂线交于C，D两点． （1）若的半径为2，，连接，求劣弧的长度； （2）如图2，点K是劣弧上一点，连接，交于点Q，连接，记，若恰好平分，且，求的正切值； （3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接，，交于点Q，交于点N，连接． ①求证：； ②记，的面积为，的面积为，求的值（结果用含有的三角函数值的式子进行表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年上海市闵行区中考三模数学试题 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. 2019 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据绝对值和相反数的定义可直接得出结果． 【详解】解：=2019，2019的相反数为-2019， 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值和相反数的定义，属于基础题，比较容易，掌握绝对值和相反数的定义即可解题． 2. 将数据米用科学记数法表示为（    ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值小于1数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：米用科学记数法表示为米． 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是（） A. B. ﹣ C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先令分母求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解∶分式方程有增根， 解得， 原方程化为∶ 将代入得： 解得． 故选∶B． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键． 4. 下列说法:①一定是负数；:②一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；其中正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数、相反数以及绝对值的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①-a不一定是负数，故本选项错误； ②|a|是非负数，故本选项错误； ③倒数等于它本身的数是±1，正确； ④绝对值等于它本身的数是0和1，故本选项错误； 其中正确的个数有1个． 故选A． 【点睛】本题考查了倒数、相反数和绝对值，解题时应熟练掌握倒数、相反数和绝对值的定义是本题的关键，此题难度不大，易于掌握． 5. 如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解． 【详解】解：∵分别以、为直径作圆， ∴两圆的圆心分别是、的中点， ∴两圆心的连线是梯形的中位线． ∵，， ∴两圆圆心距为， ∵，， ∴两圆的半径分别为3和2， ∵， ∴两圆外离， 故选：D． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径． 6. 高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】移项后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 8. 方程的根是__________． 【答案】4． 【解析】 【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【详解】两边平方得到：2x﹣4=4，解得：x=4，经检验：x=4是原方程的解． 故答案为4． 【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验． 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列出，求解出c的值即可解决本题． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中根据根的个数求参数，注意掌握判别式的值与个数的关系． 10. 若分式的值为零，则的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：2． 11. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 12. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与坐标轴的交点坐标，令，代入函数解析式求出y的值，即可求解 【详解】解：令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为． 故答案为： 13. 2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中和的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是______．（填写序号） 序号 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 90 88 92 90 89 92 86 93 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是求平均数和方差、利用方差做决定，分别计算出两人的平均成绩与成绩的方差，再比较即可，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：的平均成绩为：， 成绩的方差为：， 的平均成绩为：， 成绩的方差为：， ， 被选中的是， 故答案为：． 14. 如图在中，，斜边上的高交于，若，，则的长度等于_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形射影定理求解即可：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 【详解】根据直角三角形射影定理得出：将，代入求得AD=6 所以答案为6 【点睛】本题主要考查了直角三角形的射影定理，熟练掌握相关定理公式是解题关键 15. 若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足 ，则该菱形的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根据菱形性质求面积，绝对值，二次根式的非负性，先根据非负性求出a，b的值，再利用菱形的面积为两对角线相乘再乘以二分之一求面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 则该菱形的面积为， 故答案：1． 16. 若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为________． 【答案】22cm或26cm 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB，推出AB=AE=CD，分为两种情况，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE， 当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC， ∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm； 当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC， ∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm； 故答案为22cm或26cm． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是求出AB的长，注意要进行分类讨论． 17. 定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可． 【详解】 ∴ ∴解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎． 18. 在边长为2的正方形中，点M和点N分别在直线和上运动，连接，点O为的中点，连接，得，当时，____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，分两种情况讨论，由全等三角形的性质求出的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：当点M在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵，点O为中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 当点M在线段的延长线上时， 同理可得：； 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：（结果保留带分数形式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据相关运算法则化简各项后，再合并即可． 【详解】解： ＝ ＝． 20. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 【答案】，见解析． 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集为： ， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 21. 半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） （1）在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； （2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 【答案】（1）1，甲、乙在距离起点10公里处相遇 （2）丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里 【解析】 【分析】本题考查了一元一次函数的应用，分情况讨论是几天的关键； （1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，列方程，进而得出答案； （2）先求出冠军的平均配速约为3分钟/公里，则丙的平均配速分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，在分别求出，，进而得出，画图，分3中情况进行讨论即可。 【小问1详解】 设甲、乙在距离起点x公里处相遇， ， 解得：， 答：甲、乙在距离起点10公里处相遇．且共有1次相遇， 故答案为：1； 【小问2详解】 冠军用时1小时3分钟， 冠军的平均配速约为3分钟/公里， 丙的平均配速分钟/公里． （法一）设丙的平均配速为y分钟/公里， ，， ． ①如图，当S为中点时，得， 即， ， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即， ， ∴丙的平均配速为分钟/公里． ③如图，当R为中点时，得， 即 （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． （法二）设丙的平均速度为y公里/分， ，，， ，． ①如图，当S为中点时，得， 即， ，， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即 ，， ∴丙的平均配速为分钟/公里， ③如图，当R为中点时，得， 即 ， （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． 22. 阅读以下微信群聊，完成任务． 任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？ 【答案】任务一：一共有2种打车方案，5座出租车5辆，7座出租车1辆时；5座出租车2辆，7座出租车3辆；当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算；任务二：1000元；任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张 【解析】 【分析】任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆，根据题意可得，根据x、y都是非负整数可求出对应的方案，计算出每个方案的花费即可得到答案； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元，根据房间刚好住满且精选双人房花费1600元，亲子家庭房花费3000并且亲子家庭房的房价是精选双人房的倍列出方程组求解即可； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，先推出朋友家6人购买的票价只能是1880元，再根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴是非负整数， ∴当时，； 当时，； ∴一共有2种打车方案， 当5座出租车5辆，7座出租车1辆时，需要元， 当5座出租车2辆，7座出租车3辆时，需要元， ∵， ∴当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元， 由题意得，， 由①得： 得：，则， 把⑤代入④得，解得， 把代入⑤得， 把代入②得：，解得， ∴， ∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费元； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张， ∵，， ∴该旅行团的票价一定在元到元之间， ∵， ∴朋友家6人购买的票价只能是1880元， ∴， 解得， ∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 23. 如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【小问1详解】 证明：矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，点在轴上，连接且，求线段的长； （3）连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，由旋转可得，，过点作轴于点，设交轴于点，证明，得到，，进而求出，在中，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由题意得：，求出抛物线的对称轴为直线，由点与点关于直线对称，得到，分两种情况讨论：当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；根据全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，即点的横坐标为， 当时，， ， 将线段绕点顺时针旋转得线段， 则，， 如图，过点作轴于点，设交轴于点， 则， 轴， ， ，， ， ， ，， ， 在中，， ，轴轴，即，且和均为锐角， ， ， ， ； 【小问3详解】 由题意得：， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于直线对称， ， 当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图2， 则，，， 由旋转得：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 解得：； 当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图3， 则，，， 由旋转得：，，， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 25. 如图1，是的直径，点P是直径上一动点，过点P作直径的垂线交于C，D两点． （1）若的半径为2，，连接，求劣弧的长度； （2）如图2，点K是劣弧上一点，连接，交于点Q，连接，记，若恰好平分，且，求的正切值； （3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接，，交于点Q，交于点N，连接． ①求证：； ②记，的面积为，的面积为，求的值（结果用含有的三角函数值的式子进行表示）． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，，由，可得，，根据，求解作答即可； （2）同理（1）可知，由是的直径，可得，即，由平分，可得，证明，则，设，则，由勾股定理得，，设，则，由，可得，可求，根据，计算求解即可； （3）①由题意知，，由动点P移动到点O，可知为直径，则，，由，可得，进而可证；②设的半径为，则，由勾股定理得，，由，即，可求，则，，由，可得，即，可求，则，，然后计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴劣弧的长度为； 【小问2详解】 解：同理（1）可知， ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意知，， 设，则， 由勾股定理得，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴的正切值为； 【小问3详解】 ①证明：由题意知，， ∵动点P移动到点O， ∴为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：设的半径为，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，正弦，弧长，角平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，正切，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，正弦，弧长，角平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，正切，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$