专题4.2 指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题4.2 指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 2 考点一：指数函数的概念 2 考点二：指数函数解析式 4 考点三：指数函数的图象 5 考点四：指数不等式 8 考点五：比较幂的大小 10 【考纲要求】 1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质. 2．会解简单的指数方程、不等式． 3．了解指数函数在实际问题中的简单应用． 【考向预测】 1．指数函数的图象和性质的简单应用． 2．解简单的指数方程、不等式． 3．幂式大小的比较 【知识导图】 【知识清单】 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：指数函数的概念 例1．若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解. 【详解】因为是指数函数， 所以，解得. 故选：C． 例2．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 【方法规律】　1.指数函数的解析式必须具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)指数位置是自变量x； (3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 【变式探究】1. 已知函数和都是指数函数，则（    ） A．不确定 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，得到，，即可求出结果. 【详解】因为函数是指数函数，所以， 由是指数函数，得，所以. 故选：C. 2．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 考点二：指数函数解析式 例1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 例2．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 【变式探究】1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．已知（为常数）的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．8 【答案】C 【解析】将点代入解析式，求出，进而得出的值. 【详解】，即 故选：C 考点三：指数函数的图象 例1．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案. 【详解】解：由指数函数的性质可知： ①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象. 故选：B. 例2．已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为， 所以函数的图象经过一、二象限， 又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到， 所以函数的图象经过二、三、四象限，如图， 故选：B 例3．函数的图像必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质，令，求得，即可求解. 【详解】由函数，令，即，可得， 所以函数的图象必经过点. 故选：D. 【方法规律】指数函数图象的变化规律 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 【变式探究】1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 2．指数函数与的图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据指数函数的图象特征和底数范围的关系，即可容易判断选择. 【详解】指数函数，当时函数是增函数，时函数是减函数， 由函数的图象可知：，． 故选：D． 3．图像过点的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，，符合题意； 对于B中，当时，，不符合题意； 对于C中，当时，，不符合题意； 对于D中，当时，无意义，不符合题意. 故选：A. 考点四：指数不等式 例1．满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用指数不等式的解法求解即可． 【详解】解：不等式，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故答案为：． 例2．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意知，， 又指数函数在R上单调递增， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故答案为： 【变式探究】1．不等式的解集为______. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解. 【详解】因为函数为上的增函数，由可得， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得，所以，解得． 故选：D. 考点五：比较幂的大小 例1．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质比较大小即可. 【详解】由在R上单调递减， 知， 而， 所以, 故选：B. 例2．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出即可求解. 【详解】， 所以 故选：A. 【方法规律】比较幂值大小的三种类型及处理方法 【变式探究】1．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的单调性比较 【详解】，，所以，而， 所以 故选：D 2．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数的运算性质判断 【详解】因为 所以 故选：B 考点六：指数方程 例1．解方程：. 解：把指数式化为对数式，可得，. 例2．指数方程的解是__________. 【答案】 【分析】由方程看成关于的二次方程，解得（舍或，从而得到方程的解． 【详解】：， （舍或，解得． 故答案为：． 【变式探究】1．解方程：. 解：虽然底数不相同，但可以化为相同的底数2. 原方程可化为. 2. 解方程：. 解：原方程可化为. 设,代入上述方程，得.解得. 由.所以原方程的解为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 2 考点一：指数函数的概念 2 考点二：指数函数解析式 3 考点三：指数函数的图象 4 考点四：指数不等式 5 考点五：比较幂的大小 6 【考纲要求】 1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质. 2．会解简单的指数方程、不等式． 3．了解指数函数在实际问题中的简单应用． 【考向预测】 1．指数函数的图象和性质的简单应用． 2．解简单的指数方程、不等式． 3．幂式大小的比较 【知识导图】 【知识清单】 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：指数函数的概念 例1．若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 例2．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】　1.指数函数的解析式必须具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)指数位置是自变量x； (3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 【变式探究】1. 已知函数和都是指数函数，则（    ） A．不确定 B． C．1 D． 2．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 考点二：指数函数解析式 例1．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 例2．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式探究】1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知（为常数）的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．8 考点三：指数函数的图象 例1．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 例2．已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 例3．函数的图像必经过点（    ） A． B． C． D． 【方法规律】指数函数图象的变化规律 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 【变式探究】1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．指数函数与的图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．图像过点的函数是（    ） A． B． C． D． 考点四：指数不等式 例1．满足的的取值范围为 ． 例2．不等式的解集是 . 【变式探究】1．不等式的解集为______. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点五：比较幂的大小 例1．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 例2．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】比较幂值大小的三种类型及处理方法 【变式探究】1．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六：指数方程 例1．解方程：. 例2．指数方程的解是__________. 【变式探究】1．解方程：. 2. 解方程：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$