第09讲 圆心角（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第09讲 圆心角（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．圆心角、弧、弦的关系 1．（2024•宁海县校级自主招生）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，，是的直径，，若，则的度数是 　　． 3．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，线段，是的两条弦，，连结，． （1）证明：． （2）若于点，且弦的弦心距为4，求的半径． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．四点共圆 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 5．（22-23九年级上·浙江·期末）如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为 ． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点． (1)求证：； (2)过作于点，当，时，求的半径． 题型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等． B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C．过三点能作一个圆． D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 8．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，连接，，则 （填“”，“ ”或“” ． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    分层练习 一、单选题 1．下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 2．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．  C．   D．   4．在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（    ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 6．下列命题：正确的是（　　） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等． ②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧． ③能够完全重合的两条圆弧是等弧． ④长度相等的弧所对的弦相等． A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，是的直径，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 10．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度． 12．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 13．如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是 填序号． 14．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 15．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ． 16．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．    三、解答题 17．如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 18．如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    19．如图，是的半径，    (1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD； (2)如果，那么_____=_____，_____； (3)如果=，那么_____，_____，_____． 20．如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 21．如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．    (1)求证：； (2)如果的半径为5，，求的长． 22．如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 23．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 24．【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆心角（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．圆心角、弧、弦的关系 1．（2024•宁海县校级自主招生）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于，于，于，根据心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：过点作于，于，于， ， ， 由题意得，， ， ，，， 平分，平分， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、角平分线的判定，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，，是的直径，，若，则的度数是 　　． 【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出，再根据对顶角相等，可推出，最后用即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 3．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，线段，是的两条弦，，连结，． （1）证明：． （2）若于点，且弦的弦心距为4，求的半径． 【分析】（1）利用得到，则，根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）连接、，过点作于点，由（1）可知，则，利用勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：连接、，过点作于点， ， 于点，， ， ， ． 即的半径为． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系． 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．四点共圆 C．二次函数的图象开口向上 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 【答案】D 【知识点】事件的分类、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查随机事件、必然事件的可能性，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为的选项即可． 【详解】解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，A选项不是必然事件，不合题意； 四点可能共圆，也可能不共圆，B选项不是必然事件，不合题意； 二次函数的图象开口向下，C选项是不可能事件，不合题意； 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中一定有红衣服，D选项是必然事件，符合题意； 故选D． 5．（22-23九年级上·浙江·期末）如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长． 【详解】解：连接， ∵ ，是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点． (1)求证：； (2)过作于点，当，时，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】（）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可； （）根据垂径定理，勾股定理求出，进而求出即可； 此题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴半径为． 题型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等． B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧． C．过三点能作一个圆． D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等． 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求证、判断确定圆的条件 【分析】根据确定圆的条件，弧、圆心角、弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧分劣弧和优弧，故不一定相等，故此选项不符合题意； B．平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的两条弧，故此选项不符合题意； C．过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故此选项不符合题意； D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等，故此选项符合题意． 故选：D． 8．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，连接，，则 （填“”，“ ”或“” ． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、三角形三边关系的应用 【分析】根据推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】解： ， ， ， ． 分层练习 一、单选题 1．下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据垂径定理、圆心角定理逐个判断即可． 【详解】同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题 垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则命题④是假命题 综上，是真命题的有①② 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理，熟记圆中的相关定理是解题关键． 2．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 3．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 4．在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：取的中点，连接，， 则， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键． 5．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（    ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，则＝2 ＝2根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得到． 【详解】如图，取弧的中点，连接，， 则＝2 ＝2 ∵＝2 ∴ ＝= ． 在中，， ，即． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出是解题的关键． 6．下列命题：正确的是（　　） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等． ②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧． ③能够完全重合的两条圆弧是等弧． ④长度相等的弧所对的弦相等． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了命题和定理，圆的有关概念，逐项判断即可． 【详解】解：A．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意； B．②平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，本选项不符合题意； C．③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意； D．④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，是的直径，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，计算，根据，计算，选择答案即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键． 8．下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识，根据确定圆的条件，垂径定理、弧圆心角的关系，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：（1）不共线三点确定一个圆，故错误； （2）平分弦（非直径）的直径必定垂直于这条弦，故错误； （3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故错误； 故选：D． 9．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接OC，如图，利用圆心角、弧的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，可判断△OAC和△OCB都是等边三角形，所以OA＝AC＝OB＝BC，于是可判断四边形OACB为菱形． 【详解】解：连接OC，如图， ∵C是的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°， ∵OA＝OC，OC＝OB， ∴△OAC和△OCB都是等边三角形， ∴OA＝AC＝OB＝BC， ∴四边形OACB为菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定． 10．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故选：C． 二、填空题 11．如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可． 【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ， ∴PQ=PO=OQ， ∴△POQ是等边三角形， ∴∠POQ=60°， ∴的度数为60度 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键． 12．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：∵C是的中点， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 13．如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是 填序号． 【答案】①②③④ 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 14．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，    ∵为半圆上靠近点的三等分点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧和圆心角的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，求得是解答的关键． 15．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是 ． 【答案】1﹣≤CM＜ 【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME； 【详解】解：如图，连接OD、OC， ∵AB为直径， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵D、E分别是、的中点， ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∵M是弦DE的中点， ∴OM＝DE＝， ∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°， △OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长， ∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长； ∴CM≥1﹣， 当C点在A点或B点时，CM＝， ∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜． 【点睛】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键． 16．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．    【答案】 【分析】 过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：过D作于E，则，    ∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径， ∴， ∴， ∵点D是弧的三等分点（弧＜弧）， ∴， ∴， ∴,, ∴, ∴, 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键． 三、解答题 17．如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，    ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 18．如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    【答案】，见解析 【分析】连接，易得， ，推出，进而得出，则，即可求证． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆心角和弧的关系，解题的关键是掌握在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等；全等三角形对应角相等． 19．如图，是的半径，    (1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD； (2)如果，那么_____=_____，_____； (3)如果=，那么_____，_____，_____． 【答案】(1)，，，= (2)，， (3)，，= 【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； 故答案为：，，，= （2）解：∵， ∴，； 故答案为：，，； （3）解：∵， ∴，，． 故答案为：，，=． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握相关性质的解题的关键． 20．如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； 故答案为：60°； （2）解：设， ∵点D恰好为的中点， ∴， 在中，， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∵圆O半径为，则， ∴， 解得（舍去 ）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题． 21．如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．    (1)求证：； (2)如果的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）根据，可得，再证明，即可； （2）过O作与F，于G，连接，则，根据垂径定理可得，证明，可得，从而得到四边形是正方形，可得，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：过O作与F，于G，连接，则，    ∴四边形是矩形， 根据垂径定理得：， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据即可证明； （2）作于点H，求出，再根据得,从而可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）作于点H，    ∵， ∴. ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 23．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可； （2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）AB=， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角． 24．【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 【答案】[教材呈现]：面积相等，理由见解析；[基础巩固]：；[尝试应用]：；[拓展提高]：6 【分析】 [教材呈现]根据平行线与三角形的面积公式解答即可； [基础巩固]连接，设的半径为，利用正方形的性质得，根据三角形面积公式得，同理，，可得即可求出阴影面积与圆面积的比； [尝试应用]连接，过点O作于点H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，从而可得，利用勾股定理求出，最后求得结果； [拓展提高]连接，先由垂径定理得出，，从而可得，设，则，由勾股定理求出的长，最后求得结果． 【详解】∵，，，同底等高 ∴ [基础巩固] 连接 ∵ ∴ 同理， ∴ ∴阴影面积与圆面积的比为； [尝试应用] 连接，过点O作于点H ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ，， ∴ [拓展提高] 连接 ∵为直径，于点P ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 在中，， 设半径为r， 则 解得 ∴的半径为6 【点睛】 此题考查的是平行线的性质及三角形的面积公式，垂径定理、弧、弦、圆心角的关系及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等. 学科网（北京）股份有限公司 $$