九年级数学第一次月考卷01（北师大版，九上第1～2章：特殊平行四边形+一元二次方程）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：90分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．考试难度：0.65. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．由原方程变形得到：，该方程是关于的一元一次方程，故本选项不符合题意； ．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：． 2．方程中的根是　　 A．， B．， C． D． 【解答】解：方程， 所以或， 解得：，． 故选：． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【解答】解：由题意得：△且， 解得且， 故选：． 4．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为　　 A．2 B．3 C． D． 【解答】解：如图，连接， 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故选：． 5．菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为　　． A．6 B．24 C．36 D．48 【解答】解：菱形的两条对角线长分别为、， ， 故选：． 6．如图，矩形中，，，则的长是　　 A．2 B． C．4 D．8 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 故选：． 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为（） A． B． C． D． 【解答】解：依题意得， ， 故选：． 8．如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是　　 A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【解答】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， 理由是：连接、，两线交于， 根据三角形的中位线定理得：，，，， ，， 四边形一定是平行四边形， ，， ， ， ， 故选：． 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10．如图，矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 由旋转的性质可知：是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　． 【解答】解：将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是：． 故答案为：． 12．已知方程的一个根是1，则的值是 　　． 【解答】解：方程的一个根是1， 将代入方程， ， ， 故答案为． 13．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 　 　． 【解答】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：1.5． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为 　 　． 【解答】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为，则所围的羊舍与墙垂直的边长为， 根据题意得：， 解得：，． ， 不符合题意，舍去， ， 故答案为：16． 15．如图，在矩形中，是边上一点，连接，，若，，，则线段的长度是　　． 【解答】解：如图，作的外接圆，交于点，连接，， 四边形是矩形， ， 是直径， ， ， ， ， ， 设，则， 是直径， ， 在和中，根据勾股定理，得 ， 在中，， 即， 解得， 所以线段的长为：． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【解答】 解：（1）， ， ，即， ， ，；·······（4分） （2）， ， ， ，．·······（4分） 17．（8分）已知：如图，在中，，，，分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在和中，， ；·······（4分） （2）证明：， ， ， 四边形是矩形．·······（4分） 18．（8分）关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的范围； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根； （3）若，是这个方程的两个根，且，则　　． 【解答】解：（1）因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 故的取值范围是．·······（2分） （2）令方程的另一个根为， 由根与系数的关系可知， ， 解得． 所以， 解得． 所以的值为7，方程的另一个根为．·······（3分） （3）因为，是这个方程的两个根， 所以，， 又， 即， 所以， 解得． 故答案为：．·······（3分） 19．（6分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次．求今年9月30日到10月2日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 【解答】解：设烈士陵园接待游客的日平均增长率为，，·······（2分） 根据题意得：，·······（2分） 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：烈士陵园接待游客的日平均增长率为．·······（2分） 20．（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形，·······（3分） 又， 平行四边形是矩形；·······（1分） （2）解：四边形是菱形， ，，，，·······（1分） ， 是等边三角形， ， ， ， ，·······（3分） 由（1）得：四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为．·······（2分） 21．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 【解答】解：如图， 过点作于，则．·······（2分） ， ． ．·······（2分） 设经过秒后的面积等于， 则，，．·······（2分） 根据题意，． ． ，．·······（2分） 当时，，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于．·······（2分） 22．（12分）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空：　　，点的坐标是　　，　　； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止，设两个点的运动时间均为秒． ①当时，的面积是 　　． ②当点，运动至四边形为矩形时，请直接写出此时的值． 【解答】解：（1）直线经过点， ， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，5，0；·······（3分，每空1分） （2）线段平行于轴， 点的纵坐标与点一样， 又点在直线上， 当时，， 即， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形；········（3分） （3）①作于， 点在直线上， 设点的坐标为， ，， 由勾股定理，得， 即， 整理得或8（舍去）， ， ， 当时，， ， 故答案为：12；········（3分） ②由（2）知四边形是平行四边形， 与互相平分， 又点和点的运动速度相同， 与互相平分， 四边形为平行四边形， ， 当时，， 当时，， 当点，运动至四边形为矩形时，， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．········（3分） 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数表达式； （2）求点到直线的距离与运动时间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）解方程得：，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ，， 过点作于，如图1， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 代入，，，得： ， 解得：， 直线的解析式为；········（3分） （2）当时，，当时，， ，，， ，，，为的中点， 在中，， ， 是等边三角形， ， 当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图2， 则，， ； 当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图3， 则，， ； 综上所述，点到直线的距离与运动时间的函数关系式为；·······（4分） （3）存在，分情况讨论： ①如图4，当是矩形的边时，则，过点作于， ，， ，即点为与的交点， ， ， ，， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 将点向左平移向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ，， ，；········（3分） ②如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ，， ，； 存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，点的坐标是，或，．········（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：90 分钟；满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．考试难度：0.65. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是 ( ) A． 2 2 2 0x x    B． 2 2 3 ( 1)x x x x    C． 2 3 6x y  D． 2 2 3 0x x   【解答】解： A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．由原方程变形得到： 3 0x   ，该方程是关于 x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C ．方程 2 3 6x y  中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程 2 2 3 0x x   是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．方程中 ( 1) 0x x   的根是 ( ) A． 1 0x  ， 2 1x   B． 1 0x  ， 2 1x  C． 1 2 0x x  D． 1 2 1x x  【解答】解：方程 ( 1) 0x x   ， 所以 0x  或 1 0x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解得： 1 0x  ， 2 1x  ． 故选： B． 3．关于 x的一元二次方程 2( 2) 2 1 0m x x    有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( ) A． 3m B． 3m  且 2m  C． 3m 且 2m  D． 3m  【解答】解：由题意得：△ 4 4 ( 2) 4 12 0m m        且 2 0m   ， 解得 3m  且 2m  ， 故选： B． 4．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、 BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E，已知 4AB  ， DOE 的面积为 5，则 AE的长为 ( ) A．2 B．3 C． 5 D． 2 【解答】解：如图，连接 BE ， 由题意可得，OE为对角线 BD的垂直平分线， BE DE  ， 5BOE DOES S   ， 2 10BDE BOES S    ．  1 10 2 DE AB  ， 4AB  ， 5DE  ， 5BE  ， 在Rt ABE 中，由勾股定理得： 2 2 2 25 4 3AE BE AB     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选： B． 5．菱形的两条对角线长分别为 6cm、8cm，则它的面积为 ( 2)cm ． A．6 B．24 C．36 D．48 【解答】解：菱形的两条对角线长分别为 6cm、8cm，  21 6 8 24 2 S cm     菱形 ， 故选： B． 6．如图，矩形 ABCD中， 120BOC  ， 4AB  ，则 AC 的长是 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 D．8 【解答】解：四边形 ABCD是矩形， 1 2 OA AC  ， 1 2 OB BD ， AC BD ， OA OB  ， 120BOC   ， 60AOB  ， AOB 是等边三角形， 4OA AB   ， 2 8AC OA   ； 故选：D． 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的为（） A． 21000(1 ) 1000 440x   B． 21000(1 ) 440x  C． 2440(1 ) 1000x  D． 21000 1000(1 ) 1000(1 ) 1000 440x x      【解答】解：依题意得， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 21000(1 ) 1000 440x   ， 故选： A． 8．如图，E，F ，G ，H 分别是四边形 ABCD四条边的中点，要使四边形 EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件是 ( ) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【解答】解：要是四边形 EHGF 是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， 理由是：连接 AC 、 BD，两线交于O， 根据三角形的中位线定理得： / /EF AC， 1 2 EF AC ， / /GH AC， 1 2 GH AC ， / /EF GH ， EF GH ， 四边形 EFGH 一定是平行四边形， / /EF AC ， / /EH BD， BD AC ， EH EF  ， 90HEF  ， 故选：C ． 9．如图，菱形 ABCD的对角线 AC ， BD相交于点O，过点 A作 AE BC 于点 E，连接OE．若 6OB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 菱形 ABCD的面积为 54，则OE的长为 ( ) A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：四边形 ABCD是菱形， OA OC  ， 1 2 OB OD BD  ， BD AC ， 2 12BD OB   ， 1 54 2ABCD S AC BD   菱形 ， 9AC  ， AE BC ， 90AEC  ， 1 4.5 2 OE AC   ， 故选： B． 10．如图，矩形 ABCD中， 2 3AB  ， 6BC  ，P为矩形内一点，连接 PA，PB，PC，则 PA PB PC  的最小值是 ( ) A． 4 3 3 B． 2 21 C． 2 3 6 D． 4 5 【解答】解：将 BPC 绕点C 逆时针旋转 60，得到 EFC ，连接 PF 、 AE、 AC ，则 AE的长即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 由旋转的性质可知： PFC 是等边三角形， PC PF  ， PB EF ， PA PB PC PA PF EF      ， 当 A、 P、 F 、 E共线时， PA PB PC  的值最小， 四边形 ABCD是矩形， 90ABC  ， 2 2 4 3AC AB BC    ， 2AC AB  ， 30ACB  ， 2 4 3AC AB  ， 60BCE   ， 90ACE  ， 2 2(4 3) 6 2 21AE    ， 故选： B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 11．将一元二次方程 1 ( 2) 5 3 x x   化为二次项系数为“1”的一般形式是 ． 【解答】解：将一元二次方程 1 ( 2) 5 3 x x   化为二次项系数为“1”的一般形式是： 2 2 15 0x x   ． 故答案为： 2 2 15 0x x   ． 12．已知方程 2 3 0x mx   的一个根是 1，则m 的值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【解答】解：方程 2 3 0x mx   的一个根是 1， 将 1x  代入方程 2 3 0x mx   ， 1 3 0m    ， 4m   ， 故答案为 4 ． 13．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E．已知 2AB  ， DOE 的面积为 5 4 ，则 AE的长为 ． 【解答】解：连接 BE ，如图所示： 由题意可得，OE为对角线 BD的垂直平分线， BE DE  ， 5 4BOE DOE S S   ， 5 2 2BDE BOE S S    ．  1 5 2 2 DE AB   ， 2AB  ， 5 2 DE  ， 5 2 BE  ， 在Rt ABE 中，由勾股定理得： 2 2 2 2 5 ( ) 2 1.5 2 AE BE AB     ． 故答案为：1.5． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用 34m长的栅栏围成，为方 便进出，在垂直于墙的一边留一个宽 2m的木门，当羊舍的面积是 2160m 时，所围的羊舍与墙平行的边长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 m ． 【解答】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为 x m ，则所围的羊舍与墙垂直的边长为 1 (34 2 ) 2 x m  ， 根据题意得： 1 (34 2 ) 160 2 x x    ， 解得： 1 20x  ， 2 16x  ． 20 18 ， 1 20x  不符合题意，舍去， 16x  ， 故答案为：16． 15．如图，在矩形 ABCD中， P是边 BC上一点，连接 AP，DP，若 7AB  ， 6AD  ， 45APD  ，则 线段 BP的长度是 ． 【解答】解：如图，作 APD 的外接圆O，交 AB于点 E，连接DE， PE ， 四边形 ABCD是矩形， 90DAE  ， DE 是直径， 45DEA DPA     ， 45EDA  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 6AE AD   ， 2 2 6 2DE AD AE    ， 1BE AB AE    ， 设 PB x ，则 6PC BC BP x    ， DE 是直径， 90DPE  ， 在Rt PDC 和Rt DPE 中，根据勾股定理，得 2 2 2 2CD PC DE PE   ， 在Rt PEB 中， 2 2 2 2 1PE PB BE x    ， 即 2 2 2 27 (6 ) (6 2) ( 1)x x     ， 解得 3 2x   ， 所以线段 BP的长为：3 2 ． 故答案为：3 2 ． 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1） 2 6 10 0x x   ； （2） 24( 2) 9x   ． 【解答】 解：（1） 2 6 10 0x x   ， 2 6 10x x  ， 2 6 9 10 9x x    ，即 2( 3) 19x   ， 3 19x    ， 1 3 19x   ， 2 3 19x   ；·······（4 分） （2） 24( 2) 9x   ， 2 9( 2) 4 x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 3 2 2 x    ， 1 7 2 x  ， 2 1 2 x  ．·······（4 分） 17．（8 分）已知：如图，在 ABCD 中， AE BC ，CF AD ， E， F 分别为垂足． （1）求证： ABE CDF   ； （2）求证：四边形 AECF 是矩形． 【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， B D   ， AB CD ， / /AD BC ， AE BC ，CF AD ， 90AEB AEC CFD AFC        ， 在 ABE 和 CDF 中， B D AEB CFD AB CD         ， ( )ABE CDF AAS   ；·······（4 分） （2）证明： / /AD BC ， 90EAF AEB    ， 90EAF AEC AFC      ， 四边形 AECF 是矩形．·······（4 分） 18．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 6 0x x k   ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k的范围； （2）若方程的一个根是3 2 ，求 k的值和方程的另一个根； （3）若 1x ， 2x 是这个方程的两个根，且 2 2 1 2 1 23 25x x x x   ，则 k  ． 【解答】解：（1）因为方程有两个不相等的实数根， 所以 2( 6) 4 0k   ， 解得 9k  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 故 k的取值范围是 9k  ．·······（2 分） （2）令方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系可知， 3 2 6m   ， 解得 3 2m   ． 所以 (3 2) (3 2) k    ， 解得 7k  ． 所以 k的值为 7，方程的另一个根为3 2 ．·······（3 分） （3）因为 1x ， 2x 是这个方程的两个根， 所以 1 2 6x x  ， 1 2x x k ， 又 2 21 2 1 23 25x x x x   ， 即 21 2 1 2( ) 25x x x x   ， 所以 26 25k  ， 解得 11k   ． 故答案为： 11 ．·······（3 分） 19．（6 分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝 烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园 9 月 30 日接待游客 1.2 万人次，10 月 2 日接待游客 2.7 万人次．求 今年 9 月 30 日到 10 月 2 日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 【解答】解：设烈士陵园接待游客的日平均增长率为 x， 0x  ，·······（2 分） 根据题意得： 21.2(1 ) 2.7x  ，·······（2 分） 解得： 1 0.5 50%x   ， 2 2.5x   （不符合题意，舍去）． 答：烈士陵园接待游客的日平均增长率为50% ．·······（2 分） 20．（10 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，过点D作 / /DE AC ，且 1 2 DE AC ，连接 AE，CE ． （1）求证：四边形OCED为矩形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2）若菱形 ABCD的边长为 4， 60BCD  ，求 AE的长． 【解答】（1）证明：四边形 ABCD是菱形， AC BD  ， 1 2 AO OC AC  ， 90DOC  ， / /DE AC ， 1 2 DE AC ， DE OC  ， / /DE OC ， 四边形OCED是平行四边形，·······（3 分） 又 90DOC   ， 平行四边形OCED是矩形；·······（1 分） （2）解：四边形 ABCD是菱形， AC BD  ， 4BC CD  ，OB OD ， 1 2 AO OC AC  ，·······（1 分） 60BCD   ， BCD 是等边三角形， 4BD BC   ， 2OD OB   ， 2 2 2 24 2 2 3OC CD OD      ， 2 4 3AC OC   ，·······（3 分） 由（1）得：四边形OCED为矩形， 2CE OD   ， 90OCE  ， 在Rt ACE 中，由勾股定理得： 2 2 2 2(4 3) 2 2 13AE AC CE     ， 即 AE的长为 2 13 ．·······（2 分） 21．（10 分）如图，在 ABC 中， 6AB cm ， 7BC cm ， 30ABC  ，点 P从 A点出发，以1 /cm s 的速 度向 B点移动，点Q从 B点出发，以 2 /cm s的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 止运动．如果 P、Q两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 24cm ？ 【解答】解：如图， 过点Q作QE PB 于 E，则 90QEB  ．·······（2 分） 30ABC   ， 2QE QB  ． 1 2PQB S PB QE    ．·······（2 分） 设经过 t秒后 PBQ 的面积等于 24cm ， 则 (6 )PB t cm  ， 2 ( )QB t cm ， ( )QE t cm ．·······（2 分） 根据题意， 1 (6 ) 4 2 t t    ． 2 6 8 0t t   ． 1 2t  ， 2 4t  ．·······（2 分） 当 4t  时， 2 8t  ，8 7 ，不合题意舍去，取 2t  ． 答：经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 24cm ．·······（2 分） 22．（12 分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 15( 0)y kx k   经过点 (3,6)C ，与 x轴交于 点 A，与 y轴交于点 B．线段CD平行于 x轴，交直线 3 4 y x 于点D，连接OC ， AD． （1）填空： k  ，点 A的坐标是 ( ， )； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形； （3）动点 P从点O出发，沿对角线OD以每秒 1 个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同 时从点D出发，沿对角线DO 以每秒 1 个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止，设两个点的运动时 间均为 t秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ①当 1t  时， CPQ 的面积是 ． ②当点 P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时 t的值． 【解答】解：（1）直线 15( 0)y kx k   经过点 (3,6)C ， 3 15 6k   ， 解得 3k   ， 即直线的解析式为 3 15y x   ， 当 0y  时， 5x  ， (5.0)A ， 故答案为： 3 ，5，0；·······（3 分，每空 1 分） （2）线段CD平行于 x轴， D 点的纵坐标与C 点一样， 又 D 点在直线 3 4 y x 上， 当 6y  时， 8x  ， 即 (8,6)D ， 8 3 5CD    ， 5OA  ， OA CD  ， 又 / /OA CD ， 四边形OADC 是平行四边形；········（3 分） （3）①作CH OD 于H ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 H 点在直线 3 4 y x 上， 设H 点的坐标为 3 ( , ) 4 m m ， 2 2 23( 3) ( 6) 4 CH m m     ， 2 2 2 3 ( 8) ( 6) 4 DH m m    ， 由勾股定理，得 2 2 2CH DH CD  ， 即 2 2 2 2 2 3 3 ( 3) ( 6) ( 8) ( 6) 5 4 4 m m m m        ， 整理得 24 5 m  或 8（舍去）， 3CH  ， 2 28 6 10OD    ， 当 1t  时， 10 1 1 8PQ OD t t       ， 1 1 8 3 12 2 2CPQ S PQ CH       ， 故答案为：12；········（3 分） ②由（2）知四边形OADC 是平行四边形， OD 与 AC 互相平分， 又 P 点和Q点的运动速度相同， PQ 与 AC 互相平分， 四边形CPAQ为平行四边形， 10OD  ， 当 0 5t  时， 10 2PQ t  ， 当5 10t 时， 2 10PQ t  ， 当点 P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时， PQ AC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 2 2(5 3) 6 2 10AC     ， 当 0 5t  时，10 2 2 10t  ， 解得 5 10t   ， 当5 10t 时， 2 10 2 10t   ， 解得 5 10t   ， 综上，当点 P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时 t的值为5 10 或 5 10 ．········（3 分） 23．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 AOCB的边OC 在 x轴上， 60AOC  ，OC 的长是一元二 次方程 2 4 12 0x x   的根，过点C 作 x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线 AD分别交 x轴和 y轴于点 E 和点 F ，动点 N 从点 E以每秒 2 个单位长度的速度沿 EF 向终点 F 运动，设运动时间为 t秒． （1）求直线 AD的函数表达式； （2）求点 N 到直线OB的距离 h与运动时间 t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点 N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M ，使得以 A，C ，N ，M 为顶点的四边形是矩 形．若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）解方程 2 4 12 0x x   得： 1 6x  ， 2 2x   ， 6OC  ， 四边形 AOCB是菱形， 60AOC  ， 6OA OC   ， 1 30 2 BOC AOC    ， CD OC ， 90OCD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 32 3 3  OCCD ， (6D ， 2 3)， 过点 A作 AH OC 于H ，如图 1， 60AOH   ， 1 3 2 OH OA   ， 33 2 3  OAAH ， (3A ，3 3) ， 设直线 AD的解析式为 ( 0)y kx b k   ， 代入 (3A ，3 3) ， (6D ， 2 3)得： 3 3 3 6 2 3 k b k b       ， 解得： 3 3 4 3 k b       ， 直线 AD的解析式为 3 4 3 3 y x   ；········（3 分） （2）当 0x  时， 4 3y  ，当 0y  时， 12x  ， (12,0)E ， (0F ， 4 3)， 12OE  ， 4 3OF  ， (6D ， 2 3)为 EF 的中点， 在Rt EFO 中， 2 2 2 212 (4 3) 8 3EF OE OF     ， 1 4 3 2 OD ED FD EF OF      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ODF 是等边三角形， 60ODF BDE    ， 当 0 2 3t  时，即点 N 在线段 ED上运动时，过点 N 作 NK OB 于K，如图 2， 则 2EN t ， 4 3 2DN ED EN t    ， 63 2 3  tDNNKh ； 当 2 3 4 3t  时，即点 N 在线段DF上运动时，过点 N 作 NK OB 于K，如图 3， 则 2EN t ， 2 4 3DN EN ED t    ， 63 2 3  tDNNKh ； 综上所述，点 N 到直线OB的距离 h与运动时间 t的函数关系式为 3 6(0 2 3) 3 6(2 3 4 3) t t h t t         ；·······（4 分） （3）存在，分情况讨论： ①如图 4，当 AN 是矩形 AMCN 的边时，则CN EF ，过点 N 作 NT CF 于T， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 30NEC   ， 60NCT AOC    ， 90CNE  ，即点 N 为 BC与 EF 的交点， 12 6 6CE OE OC     ， 1 3 2 CN CE   ， 2 3 2 1  CNCT ， 2 33 2 3  CNNT ， 将点 N 向左平移 3 2 个单位长度，再向下平移 3 3 2 个单位长度得到点C ， 将点 A向左平移向左平移 3 2 个单位长度，再向下平移 3 3 2 个单位长度得到点M ， (3A ，3 3) ， 3 ( 2 M ， 3 3 ) 2 ；········（3 分） ②如图 5，当 AN 是矩形 ACNM 的对角线时，则 90ACN  ，过点 N 作 NL CF 于 L， OA OC ， 60AOC  ， AOC 是等边三角形， 60ACO  ， 180 60 90 30NCE NEC           ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 1 3 2 CL EL CE    ， 3 3 3  CLNL ， 将点C 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到点 N ， 将点 A向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到点M ， (3A ，3 3) ， (6M ， 4 3)； 存在一点 M ，使得以 A ， C ， N ， M 为顶点的四边形是矩形，点 M 的坐标是 3 ( 2 ， 3 3 ) 2 或 (6 ， 4 3)．········（3 分） 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B B B D A C B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13．1.5 14． 15． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 【解答】 解：（1）， ， ，即， ， ，；·······（4分） （2）， ， ， ，．·······（4分） 17．（8分） 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在和中，， ；·······（4分） （2）证明：， ， ， 四边形是矩形．·······（4分） 18．（8分） 【解答】解：（1）因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 故的取值范围是．·······（2分） （2）令方程的另一个根为， 由根与系数的关系可知， ， 解得． 所以， 解得． 所以的值为7，方程的另一个根为．·······（3分） （3）因为，是这个方程的两个根， 所以，， 又， 即， 所以， 解得． 故答案为：．·······（3分） 19．（6分） 【解答】解：设烈士陵园接待游客的日平均增长率为，，·······（2分） 根据题意得：，·······（2分） 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：烈士陵园接待游客的日平均增长率为．·······（2分） 20．（10分） 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形，·······（3分） 又， 平行四边形是矩形；·······（1分） （2）解：四边形是菱形， ，，，，·······（1分） ， 是等边三角形， ， ， ， ，·······（3分） 由（1）得：四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为．·······（2分） 21．（10分） 【解答】解：如图， 过点作于，则．·······（2分） ， ． ．·······（2分） 设经过秒后的面积等于， 则，，．·······（2分） 根据题意，． ． ，．·······（2分） 当时，，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于．·······（2分） 22．（12分） 【解答】解：（1）直线经过点， ， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，5，0；·······（3分，每空1分） （2）线段平行于轴， 点的纵坐标与点一样， 又点在直线上， 当时，， 即， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形；········（3分） （3）①作于， 点在直线上， 设点的坐标为， ，， 由勾股定理，得， 即， 整理得或8（舍去）， ， ， 当时，， ， 故答案为：12；········（3分） ②由（2）知四边形是平行四边形， 与互相平分， 又点和点的运动速度相同， 与互相平分， 四边形为平行四边形， ， 当时，， 当时，， 当点，运动至四边形为矩形时，， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．········（3分） 23．（13分） 【解答】解：（1）解方程得：，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ，， 过点作于，如图1， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 代入，，，得： ， 解得：， 直线的解析式为；········（3分） （2）当时，，当时，， ，，， ，，，为的中点， 在中，， ， 是等边三角形， ， 当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图2， 则，， ； 当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图3， 则，， ； 综上所述，点到直线的距离与运动时间的函数关系式为；·······（4分） （3）存在，分情况讨论： ①如图4，当是矩形的边时，则，过点作于， ，， ，即点为与的交点， ， ， ，， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 将点向左平移向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ，， ，；········（3分） ②如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ，， ，； 存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，点的坐标是，或，．········（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8 分） 18．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6 分） 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．方程中的根是　　 A．， B．， C． D． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 4．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为　　 A．2 B．3 C． D． 5．菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为　　． A．6 B．24 C．36 D．48 6．如图，矩形中，，，则的长是　　 A．2 B． C．4 D．8 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为（） A． B． C． D． 8．如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是　　 A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 10．如图，矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　． 12．已知方程的一个根是1，则的值是 　　． 13．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 　 　． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为 　 　． 15．如图，在矩形中，是边上一点，连接，，若，，，则线段的长度是　　． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17．（8分）已知：如图，在中，，，，分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 18．（8分）关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的范围； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根； （3）若，是这个方程的两个根，且，则　　． 19．（6分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次．求今年9月30日到10月2日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 20．（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 21．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 22．（12分）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空：　　，点的坐标是　　，　　； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止，设两个点的运动时间均为秒． ①当时，的面积是 　　． ②当点，运动至四边形为矩形时，请直接写出此时的值． 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数表达式； （2）求点到直线的距离与运动时间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是 ( ) A． 2 2 2 0x x    B． 2 2 3 ( 1)x x x x    C． 2 3 6x y  D． 2 2 3 0x x   2．方程中 ( 1) 0x x   的根是 ( ) A． 1 0x  ， 2 1x   B． 1 0x  ， 2 1x  C． 1 2 0x x  D． 1 2 1x x  3．关于 x的一元二次方程 2( 2) 2 1 0m x x    有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A． 3m B． 3m  且 2m  C． 3m 且 2m  D． 3m  4．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、 BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E，已知 4AB  ， DOE 的面积为 5，则 AE的长为 ( ) A．2 B．3 C． 5 D． 2 5．菱形的两条对角线长分别为 6cm、8cm，则它的面积为 ( 2)cm ． A．6 B．24 C．36 D．48 6．如图，矩形 ABCD中， 120BOC  ， 4AB  ，则 AC 的长是 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 D．8 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量比 第一个月多 440 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的为（） A． 21000(1 ) 1000 440x   B． 21000(1 ) 440x  C． 2440(1 ) 1000x  D． 21000 1000(1 ) 1000(1 ) 1000 440x x      8．如图，E，F ，G ，H 分别是四边形 ABCD四条边的中点，要使四边形 EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件是 ( ) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 9．如图，菱形 ABCD的对角线 AC ， BD相交于点O，过点 A作 AE BC 于点 E，连接OE．若 6OB  ， 菱形 ABCD的面积为 54，则OE的长为 ( ) A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 10．如图，矩形 ABCD中， 2 3AB  ， 6BC  ，P为矩形内一点，连接 PA，PB，PC，则 PA PB PC  的最小值是 ( ) A． 4 3 3 B． 2 21 C． 2 3 6 D． 4 5 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 11．将一元二次方程 1 ( 2) 5 3 x x   化为二次项系数为“1”的一般形式是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 12．已知方程 2 3 0x mx   的一个根是 1，则m的值是 ． 13．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E．已知 2AB  ， DOE 的面积为 5 4 ，则 AE的长为 ． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方 便进出，在垂直于墙的一边留一个宽 2m的木门，当羊舍的面积是 2160m 时，所围的羊舍与墙平行的边长为 m． 15．如图，在矩形 ABCD中，P是边 BC上一点，连接 AP，DP，若 7AB  ， 6AD  ， 45APD  ，则 线段 BP的长度是 ． 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1） 2 6 10 0x x   ； （2） 24( 2) 9x   ． 17．（8 分）已知：如图，在 ABCD 中， AE BC ，CF AD ， E， F 分别为垂足． （1）求证： ABE CDF   ； （2）求证：四边形 AECF 是矩形． 18．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 6 0x x k   ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k的范围； （2）若方程的一个根是3 2 ，求 k的值和方程的另一个根； （3）若 1x ， 2x 是这个方程的两个根，且 2 2 1 2 1 23 25x x x x   ，则 k  ． 19．（6 分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝 烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园 9 月 30 日接待游客 1.2 万人次，10 月 2 日接待游客 2.7 万人次．求 今年 9 月 30 日到 10 月 2 日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 20．（10 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、 BD相交于点O，过点D作 / /DE AC ，且 1 2 DE AC ，连 接 AE，CE ． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形 ABCD的边长为 4， 60BCD  ，求 AE的长． 21．（10 分）如图，在 ABC 中， 6AB cm ， 7BC cm ， 30ABC  ，点 P从 A点出发，以1 /cm s 的速 度向 B点移动，点Q从 B点出发，以 2 /cm s的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停 止运动．如果 P、Q两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 24cm ？ 22．（12 分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 15( 0)y kx k   经过点 (3,6)C ，与 x轴交于 点 A，与 y轴交于点 B．线段CD平行于 x轴，交直线 3 4 y x 于点D，连接OC ，AD． （1）填空： k  ，点 A的坐标是 ( ， )； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形； （3）动点 P从点O出发，沿对角线OD以每秒 1 个单位长度的速度向点D运动，直 到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O运动，直到点O为止，设两个点的运动时间均为 t秒． ①当 1t  时， CPQ 的面积是 ． ②当点 P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时 t的值． 23．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 AOCB的边OC 在 x轴上， 60AOC  ，OC 的长是一元 二次方程 2 4 12 0x x   的根，过点C 作 x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线 AD分别交 x轴和 y轴于 点 E和点 F ，动点 N 从点 E以每秒 2 个单位长度的速度沿 EF 向终点 F 运动，设运动时间为 t秒． （1）求直线 AD的函数表达式； （2）求点 N 到直线OB的距离 h与运动时间 t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点 N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M ，使得以 A，C ， N ，M 为顶点的四边形是 矩形．若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：90分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．考试难度：0.65. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．方程中的根是　　 A．， B．， C． D． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 4．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为　　 A．2 B．3 C． D． 5．菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为　　． A．6 B．24 C．36 D．48 6．如图，矩形中，，，则的长是　　 A．2 B． C．4 D．8 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为（） A． B． C． D． 8．如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是　　 A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 10．如图，矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是　 　． 12．已知方程的一个根是1，则的值是 　　． 13．如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点．已知，的面积为，则的长为 　 　． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为 　 　． 15．如图，在矩形中，是边上一点，连接，，若，，，则线段的长度是　　． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17．（8分）已知：如图，在中，，，，分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 18．（8分）关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的范围； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根； （3）若，是这个方程的两个根，且，则　　． 19．（6分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次．求今年9月30日到10月2日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 20．（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 21．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 22．（12分）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空：　　，点的坐标是　　，　　； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止，设两个点的运动时间均为秒． ①当时，的面积是 　　． ②当点，运动至四边形为矩形时，请直接写出此时的值． 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数表达式； （2）求点到直线的距离与运动时间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：90 分钟；满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程。 5．考试难度：0.65. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是 ( ) A． 2 2 2 0x x    B． 2 2 3 ( 1)x x x x    C． 2 3 6x y  D． 2 2 3 0x x   2．方程中 ( 1) 0x x   的根是 ( ) A． 1 0x  ， 2 1x   B． 1 0x  ， 2 1x  C． 1 2 0x x  D． 1 2 1x x  3．关于 x的一元二次方程 2( 2) 2 1 0m x x    有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A． 3m B． 3m  且 2m  C． 3m 且 2m  D． 3m  4．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、 BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E，已知 4AB  ， DOE 的面积为 5，则 AE的长为 ( ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．2 B．3 C． 5 D． 2 5．菱形的两条对角线长分别为 6cm、8cm，则它的面积为 ( 2)cm ． A．6 B．24 C．36 D．48 6．如图，矩形 ABCD中， 120BOC  ， 4AB  ，则 AC 的长是 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 D．8 7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单车数量 比第一个月多 440 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，则所列方程正确的为（） A． 21000(1 ) 1000 440x   B． 21000(1 ) 440x  C． 2440(1 ) 1000x  D． 21000 1000(1 ) 1000(1 ) 1000 440x x      8．如图，E，F ，G ，H 分别是四边形 ABCD四条边的中点，要使四边形 EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件是 ( ) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 9．如图，菱形 ABCD的对角线 AC ， BD相交于点O，过点 A作 AE BC 于点 E，连接OE．若 6OB  ， 菱形 ABCD的面积为 54，则OE的长为 ( ) A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 10．如图，矩形 ABCD中， 2 3AB  ， 6BC  ，P为矩形内一点，连接 PA，PB，PC，则 PA PB PC  的最小值是 ( ) A． 4 3 3 B． 2 21 C． 2 3 6 D． 4 5 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 11．将一元二次方程 1 ( 2) 5 3 x x   化为二次项系数为“1”的一般形式是 ． 12．已知方程 2 3 0x mx   的一个根是 1，则m的值是 ． 13．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，过点O作OE BD 交 AD于点 E．已知 2AB  ， DOE 的面积为 5 4 ，则 AE的长为 ． 14．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用 34m长的栅栏围成，为方 便进出，在垂直于墙的一边留一个宽 2m的木门，当羊舍的面积是 2160m 时，所围的羊舍与墙平行的边长为 m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 15．如图，在矩形 ABCD中， P是边 BC上一点，连接 AP，DP，若 7AB  ， 6AD  ， 45APD  ，则 线段 BP的长度是 ． 三、解答题：本大题共 8小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1） 2 6 10 0x x   ； （2） 24( 2) 9x   ． 17．（8 分）已知：如图，在 ABCD 中， AE BC ，CF AD ， E， F 分别为垂足． （1）求证： ABE CDF   ； （2）求证：四边形 AECF 是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 6 0x x k   ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k的范围； （2）若方程的一个根是3 2 ，求 k的值和方程的另一个根； （3）若 1x ， 2x 是这个方程的两个根，且 2 2 1 2 1 23 25x x x x   ，则 k  ． 19．（6 分）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝 烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园 9 月 30 日接待游客 1.2 万人次，10 月 2 日接待游客 2.7 万人次．求 今年 9 月 30 日到 10 月 2 日，烈士陵园接待游客的日平均增长率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（10 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，过点D作 / /DE AC ，且 1 2 DE AC ，连接 AE，CE ． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形 ABCD的边长为 4， 60BCD  ，求 AE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 21．（10 分）如图，在 ABC 中， 6AB cm ， 7BC cm ， 30ABC  ，点 P从 A点出发，以1 /cm s 的速 度向 B点移动，点Q从 B点出发，以 2 /cm s的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停 止运动．如果 P、Q两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 24cm ？ 22．（12 分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 15( 0)y kx k   经过点 (3,6)C ，与 x轴交于 点 A，与 y轴交于点 B．线段CD平行于 x轴，交直线 3 4 y x 于点D，连接OC ， AD． （1）填空： k  ，点 A的坐标是 ( ， )； （2）求证：四边形OADC 是平行四边形； （3）动点 P从点O出发，沿对角线OD以每秒 1 个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同 时从点D出发，沿对角线DO 以每秒 1 个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止，设两个点的运动时 间均为 t秒． ①当 1t  时， CPQ 的面积是 ． ②当点 P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时 t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 23．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 AOCB的边OC 在 x轴上， 60AOC  ，OC 的长是一元二 次方程 2 4 12 0x x   的根，过点C 作 x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线 AD分别交 x轴和 y轴于点 E 和点 F ，动点 N 从点 E以每秒 2 个单位长度的速度沿 EF 向终点 F 运动，设运动时间为 t秒． （1）求直线 AD的函数表达式； （2）求点 N 到直线OB的距离 h与运动时间 t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）点 N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M ，使得以 A，C ，N ，M 为顶点的四边形是矩 形．若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由．