八年级数学第一次月考卷（鲁教版，八上第1章～2.3：因式分解+分式）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4. 如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 6. 当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 7. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 8. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9. 已知的三边a、b、c满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10. 已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 分解因式a3+4a2b+4ab2 ． 12. 如果分式的值为零，那么m的值是 ． 13. 若，则 ． 14. 分式，的最简公分母是 ． 15.如果代数式，那么的值为 ． 16. 观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 分解因式： (1) (2) 18．（6分）计算： （1）； （2）÷． 19．（6分）利用因式分解计算∶ (1)； (2)． 20．（8分）若，求的值． 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）观察下列等式： ①；②；③；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 23．（10分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)，．求的值． 24．（10分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：=2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：=1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 25．（12分）阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 26．（12分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（的正方形A，的正方形B，的长方形C）． (1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； B、属于整式的除法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C、属于因式分解，选项说法正确，符合题意； D、结果不是整式的积形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．在，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：，的分母不含字母，是整式； ，，的分母含字母，是分式． 故选：C． 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 4. 如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【详解】解：∵a2+mab+9b2是一个完全平方式， ∴， 即， 故选：D． 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、变形正确，不符合题意； B、，变形正确，不符合题意； C、变形正确，不符合题意； D、，故变形不正确，符合题意； 故选：D． 6. 当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当时，，结论正确，符合题意； C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当时，，结论正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 【答案】A 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选：A． 8. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 已知的三边a、b、c满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】解：， ， a、b、c是的三边， ，， ， 的形状为等腰三角形， 故选：A． 10. 已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【答案】D 【详解】 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选D. 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 分解因式a3+4a2b+4ab2 ． 【答案】a（a+2b）2 【详解】原式=a（a2+4ab+4b2） =a（a+2b）2． 故答案为a（a+2b）2． 12. 如果分式的值为零，那么m的值是 ． 【答案】 【详解】解：， 则，解得：， 故答案为：． 13. 若，则 ． 【答案】35 【详解】 故答案为：35． 14. 分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【详解】解：，， 所以最简公分母为， 故答案为： 15.如果代数式，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴的值为． 故答案为：． 16. 观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 分解因式： (1) (2) 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（3分） 18．（6分）计算： （1）； （2）÷． 【详解】解：（1） （2分） ＝；（1分） （2）÷． =．（2分） =．（1分） 19．（6分）利用因式分解计算∶ (1)； (2)． 【详解】（1） （2分） ．（1分） （2） （2分） ．（1分） 20．（8分）若，求的值． 【详解】解：原式，（5分） 当时， 原式．（3分） 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ＝ （2分） （2分） ，（2分） ， ， 原式．（2分） 22．（8分）观察下列等式： ①；②；③；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 【详解】解：（1）∵①；②；③；… ∴第④个等式：， 故答案为：；（2分） （2）第n个等式为：， 故答案为：；（3分） （3）证明：∵ ，（2分） ∴成立．（1分） 23．（10分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)，．求的值． 【详解】（1）解： （3分） ．（2分） （2）解： （2分） ，（2分） 把，代入， 原式．（1分） 24．（10分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：=2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：=1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 【详解】（1）原式＝；（4分） （2）由（1）得：= 要使为整数，则必为整数，（2分） ∴x−1为3的因数， ∴x−1＝±1或±3，（3分） 解得：x＝0，2，−2，4；（1分） 25．（12分）阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【详解】（1）∵，，， ∴，，（2分） ∴， ∴，（2分） ∵取倒数得：， ∴．（2分） （2）∵，知， ， 即．（2分） ∴，（3分） ∴．（1分） 26．（12分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（的正方形A，的正方形B，的长方形C）． (1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果． 【详解】（1）在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以提取公因式分解为． 故答案为：；（2分） （2）， （2分） 故答案为：；（2分） （3），（2分） （1分） ，（2分） （1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第Ⅰ卷 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A．    21 1 1x x x    B． 2a b ab a  C． 2 2 1 1 4 2 x x x        D．  23 6 4 3 2 4x x x x     【答案】C 【详解】解：A、    21 1 1x x x    属于整式的乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； B、 2a b ab a  属于整式的除法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C、 2 2 1 1 4 2 x x x        属于因式分解，选项说法正确，符合题意； D、  23 6 4 3 2 4x x x x     结果不是整式的积形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．在 2 x ， 3 x y ， π π 3 ， 5 a x ， 2x y x  中，分式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解： 3 x y ， π π 3 的分母不含字母，是整式； 2 x ， 5 a x ， 2x y x  的分母含字母，是分式． 故选：C． 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A．  22a b  B． 25 20m mn C． 2 2x y D． 2 9x  【答案】D 【详解】解：A、  22 2 2a b a b    ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、  25 20 5 4m mn m m n  ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、 2 2x y ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、   2 29 9 3 3x x x x       ，符合题意； 故选：D． 4. 如果 a2+mab+9b2是一个完全平方式，则 m 应是（ ） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【详解】解：∵a2+mab+9b2是一个完全平方式， ∴ 2 3 6mab a b ab     ， 即 6m   ， 故选：D． 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（ ） A． am a bm b  B． y y x x    C． y y x x    D． 1 1 a a b b    【答案】D 【详解】解：A、 am a bm b  变形正确，不符合题意； B、 y y x x    ，变形正确，不符合题意； C、 y y x x    变形正确，不符合题意； D、 1 1 a a b b    ，故变形不正确，符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：D． 6. 当 3x  时，下列分式中，值为 0 的是（ ） A． 2 3 9 x x   B． 2 6 2 x x   C． 1 3x  D． 3 1 x x   【答案】B 【详解】解：A.当 3x  时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当 3x  时， 2 6 2 3 6 0 2 3 2 x x        ，结论正确，符合题意； C.当 3x  时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当 3x  时， 3 3 3 0 3 1 2 3 1 x x        ，结论正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如果把分式 2y x y 中的 x和 y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ） A．不变 B．缩小 1 2 C．扩大 2 倍 D．扩大 4 倍 【答案】A 【详解】解：把分式 2y x y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍， 即   2 2 4 2 = 2 2 2 y y y x y x y x y      ， 故分式的值不变． 故选：A． 8. 下列运算正确的是（ ） A． 2 3 2 4 9 6 b a b a b   B． 2 31 2 3 3 2 b b ab a   C． 1 1 2 2 3a a a   D． 2 1 1 2 1 1 1a a a      【答案】D 【详解】解：A、 2 3 2 1 4 9 6 b a a b b   ，故此选项错误，不符合题意； B、 2 3 31 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 b b b ab a ab ab ab      ，故此选项错误，不符合题意； C、 1 1 1 2 3 2 2 2 2a a a a a     ，故此选项错误，不符合题意； D、 2 1 1 1 ( 1) 1 1 2 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 a a a a a a a a a a a                  ，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9. 已知△ 𝐴𝐵𝐶的三边 a、b、c 满足   0a a c bc ab    ，则△ 𝐴𝐵𝐶的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】解：   0a a c bc ab    ，            0a a c bc ab a a c b a c a b a c            ， a、b、c 是△𝐴𝐵𝐶的三边， 0a b   ， 0a c  ， a b  ， ABC 的形状为等腰三角形， 故选：A． 10. 已知 324 1 可以被 10 到 20 之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【答案】D 【详解】 324 1   16 164 1 4 1      16 8 8 4 1 4 1 4 1        16 8 4 414 41 1 14 4           16 8 4 2 24 4 14 1 1 41 4 1         16 8 4 1 1 1 17 154 4 4      ∴可以被 10 至 20 之间的 17 和 15 两个整数整除. 故选 D. 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 分解因式 a3+4a2b+4ab2 ． 【答案】a（a+2b）2 【详解】原式=a（a2+4ab+4b2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 =a（a+2b）2． 故答案为 a（a+2b）2． 12. 如果分式 2 4 4 m m   的值为零，那么 m 的值是 ． 【答案】 2 【详解】解： 2 4 0 4 m m    ， 则 2 4 0 4 0 m m       ，解得： 2m   ， 故答案为： 2 ． 13. 若 7, 5m n mn   ，则 2 2m n mn  ． 【答案】35 【详解】 2 2 ( ) 5 7 35m n mn mn m n      故答案为：35． 14. 分式 2 4 1a  ， 2 2 a a 的最简公分母是 ． 【答案】   +1 1a a a  【详解】解：    2 4 4 = 1 +1 1a a a  ，  2 2 2 = 1a a a a  ， 所以最简公分母为   +1 1a a a  ， 故答案为：   +1 1a a a  15.如果代数式 2 2 1m m  ，那么 2 2 4 4 2m m m m m     的值为 ． 【答案】1 【详解】解： 2 2 4 4 2m m m m m      2 22 2 m m m m      2m m  2 2m m  ， ∵ 2 2 1m m  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ 2 2 4 4 2m m m m m     的值为1． 故答案为：1． 16. 观察下列等式 1a x ， 2 1 1 1a a   ， 3 2 1 1a a   ， 4 3 1 1a a   …根据其中的规律，猜想 2022a  （用含 x 的代数式表示）． 【答案】 1 1x   【详解】解：∵ 1a x ， ∴ 2 1 1 1 1 1 1 x a a x x       ， 3 2 1 1 1 1 1 1 x a a x x         ， 4 3 1 1 1 1a x x a       ， …… ∴每 3 个数为一周期循环， ∵2022 3 674  ， ∴ 2022 3 1 1x a a     ， 故答案为： 1 1x   ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 分解因式： (1) 2( 2 )( 3 ) ( 2 )x y x y x y    (2)  22 2 2 24x y x y  【详解】（1）解：原式     2 3 2 5 2x y x y x y y x y       ；（3 分） （2）解：原式       2 22 2 2 22 2x y xy x y xy x y x y        ．（3 分） 18．（6 分）计算： （1） 2 2 2 2 9 5 5 3 ab a b a b a b    ； （2） 2 2 24 12 x y x xy   ÷ 3 x y x y   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：（1） 2 2 2 2 9 5 5 3 ab a b a b a b        2 2 59 3 a bab a b a b a b      （2 分） ＝   15b a a b ；（1 分） （2） 2 2 24 12 x y x xy   ÷ 3 x y x y   ． =      3 4 3 x y x y x y x x y x y       ．（2 分） = 4 x y x  ．（1 分） 19．（6 分）利用因式分解计算∶ (1) 2 2201 199 ； (2) 2 2202 202 196 98+ + ． 【详解】（1） 2 2201 199    201 199 201 199   （2 分） 400 2  800 ．（1 分） （2） 2 2202 202 196 98+ + 2 2202 2 202 98 98      2202 98  （2 分） 2300 90000 ．（1 分） 20．（8 分）若 2 33,x y x y    ，求 2 2 2 2 2 2 2 x y x xy y    的值． 【详解】解：原式        2 2 2x y x y x y x yx y       ，（5 分） 当 2 33,x y x y    时， 原式  2 2 33 33 2 x y x y       ．（3 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 21．（8 分）先化简，再求值： 1 1 2 1 1 1 x x x x x          ，其中𝑥 + 𝑥 − 2024 = 0． 【详解】解： 1 1 2 (1 ) 1 1 x x x x x        ＝ 1 1 2 1 1 x x x x x x        （2 分） 1 2 1 x x x x      2( 1) ( 2) ( 1) x x x x x      （2 分） 2 22 1 2 ( 1) x x x x x x       2 1 x x   ，（2 分）  𝑥 + 𝑥 − 2024 = 0， ∴ 𝑥 + 𝑥 = 2024， 原式= ．（2 分） 22．（8 分）观察下列等式： ① 1 1 1 1 1 2 2 1    ；② 1 1 1 1 3 4 12 2    ；③ 1 1 1 1 5 6 30 3    ；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第n 个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 【详解】解：（1）∵① 1 1 1 1 1 2 2 1    ；② 1 1 1 1 3 4 12 2    ；③ 1 1 1 1 5 6 30 3    ；… ∴第④个等式： 1 1 1 1 7 8 56 4    ， 故答案为： 1 1 1 1 7 8 56 4    ；（2 分） （2）第 n 个等式为：   1 1 1 1 2 1 2 2 2 1n n n n n      ， 故答案为：   1 1 1 1 2 1 2 2 2 1n n n n n      ；（3 分） （3）证明：∵   1 1 1 2 1 2 2 2 1n n n n         2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 n n n n n n         4 1 1 2 2 1 n n n     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9     2 2 1 2 2 1 n n n    1 n  ，（2 分） ∴   1 1 1 1 2 1 2 2 2 1n n n n n      成立．（1 分） 23．（10 分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方 法就无法分解，如 2 24 2 4x y x y   ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可 提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式 了．过程如下： 2 24 2 4x y x y       2 2 2 2x y x y x y       2 2 2x y x y    ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： 2 22 16x xy y   (2) 7x y  ， 5x y  ．求 2 2 2 2x y y x   的值． 【详解】（1）解： 2 22 16x xy y   2( ) 16x y   （3 分） ( 4)( 4)x y x y     ．（2 分） （2）解： 2 2 2 2x y y x   ( )( ) 2( )x y x y x y     （2 分） ( )( 2)x y x y    ，（2 分） 把 7x y  ， 5x y  代入， 原式 ( )( 2) 5 (7 2) 45x y x y        ．（1 分） 24．（10 分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大 于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如： 1 1 x x   ， 2 1 x x  ；当分子的次数小于分母的次数时，我 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 们称之为“真分式”，例如： 1 1x  ， 2 2 1 1 x x   ．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： 12 10 2 5 5   =2+ 2 5 =2 2 5 ， 类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： 1 1 2 1 1 x x x x       =1+ 2 1x  ． （1）将分式 2 1 1 x x   化为带分式； （2）当 x 取哪些整数值时，分式 2 1 1 x x   的值也是整数？ 【详解】（1）原式＝ 2( 1) 3 1 x x     3 2 1x   ；（4 分） （2）由（1）得： 2 1 1 x x   = 3 2 1x   要使 2 1 1 x x   为整数，则 3 1x  必为整数，（2 分） ∴x−1 为 3 的因数， ∴x−1＝±1 或±3，（3 分） 解得：x＝0，2，−2，4；（1 分） 25．（12 分）阅读下列解题过程： 已知 2 1 1 3 x x   ，求 2 4 1 x x  的值. 解：由 2 1 1 3 x x   ，知 0x  ， 2 1 3 x x    ，即 1 3x x   . 24 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 7 x x x x x x               ， 2 4 1 1 7 x x    . 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒 数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知 2 xy x y   ， 4 3 yz y z   ， 4 3 zx z x   ，求 xyz xy yz zx  的值； (2)已知 2 1 1 7 x x x    ，求 2 4 2 1 x x x  的值． 【详解】（1）∵ 2 xy x y   ， 4 3 yz y z   ， 4 3 zx z x   ， ∴ 1 1 1 2x y   ， 1 1 3 4z y   ， 1 1 3 4z x   （2 分） ∴ 1 1 1 1 3 3 2 2 2 4 4x y z            ， ∴ 1 1 1 1 x y z    ，（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵ xyz xy yz zx  取倒数得： 1 1 1 x y z   ， ∴ 1 xyz xy yz zx    ．（2 分） （2）∵ 2 1 1 7 x x x    ，知 0x  ， 2 1 7 x x x     ， 即 1 8x x   ．（2 分） ∴ 24 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 8 1 63 x x x x x x x                 ，（3 分） ∴ 2 4 2 1 1 63 x x x    ．（1 分） 26．（12 分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（a a 的正方形 A，b b 的正方形 B， a b 的长方形 C）． (1)在探究中，小明用 1 张 A 和 1 张 C 组成如图 1 所示的长方形可以说明 2b ab 可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用 1 张 A，2 张 B 和 3 张 C 再次拼得一个长方形，请在框 1 中画出示意图，并将长方 形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用 1 张 A，4 张 B 和若干张 C 拼成一个长方形或者正方 形，请你设计两种不同的拼法，在框 2 和框 3 中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面 积表达式及因式分解的结果． 【详解】（1）在探究中，小明用 1 张 A 和 1 张 C 组成如图 1 所示的长方形可以说明 2a ab 可以提取公因式 分解为 ( )a a b ． 故答案为： ( )a a b ；（2 分） （2）   2 23 2 2a ab b a b a b     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2 分） 故答案为：   2a b a b  ；（2 分） （3）  22 24 4 2a b ab a b    ，（2 分） （1 分）   2 24 5 4a b ab a b a b     ，（2 分） （1 分） 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D D B A D A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．a（a+2b）2 12． 13．35 14． 15．1 16． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（3分） 18．（6分） 【详解】解：（1） （2分） ＝；（1分） （2）÷． =．（2分） =．（1分） 19．（6分） 【详解】（1） （2分） ．（1分） （2） （2分） ．（1分） 20．（8分） 【详解】解：原式，（5分） 当时， 原式．（3分） 21．（8分） 【详解】解： ＝ （2分） （2分） ，（2分） ， ， 原式．（2分） 22．（8分） 【详解】解：（1）∵①；②；③；… ∴第④个等式：， 故答案为：；（2分） （2）第n个等式为：， 故答案为：；（3分） （3）证明：∵ ，（2分） ∴成立．（1分） 23．（10分） 【详解】（1）解： （3分） ．（2分） （2）解： （2分） ，（2分） 把，代入， 原式．（1分） 24．（10分） 【详解】（1）原式＝；（4分） （2）由（1）得：= 要使为整数，则必为整数，（2分） ∴x−1为3的因数， ∴x−1＝±1或±3，（3分） 解得：x＝0，2，−2，4；（1分） 25．（12分） 【详解】（1）∵，，， ∴，，（2分） ∴， ∴，（2分） ∵取倒数得：， ∴．（2分） （2）∵，知， ， 即．（2分） ∴，（3分） ∴．（1分） 26．（12分） 【详解】（1）在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以提取公因式分解为． 故答案为：；（2分） （2）， （2分） 故答案为：；（2分） （3），（2分） （1分） ，（2分） （1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6 分） 19．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4. 如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 6. 当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 7. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 8. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9. 已知的三边a、b、c满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10. 已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 分解因式a3+4a2b+4ab2 ． 12. 如果分式的值为零，那么m的值是 ． 13. 若，则 ． 14. 分式，的最简公分母是 ． 15.如果代数式，那么的值为 ． 16. 观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 分解因式： (1) (2) 18．（6分）计算： （1）； （2）÷． 19．（6分）利用因式分解计算∶ (1)； (2)． 20．（8分）若，求的值． 21．（8分）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）观察下列等式： ①；②；③；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 23．（10分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)，．求的值． 24．（10分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：=2+=2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：=1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 25．（12分）阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 26．（12分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（的正方形A，的正方形B，的长方形C）． (1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A．    21 1 1x x x    B． 2a b ab a  C． 2 2 1 1 4 2 x x x        D．  23 6 4 3 2 4x x x x     2．在 2 x ， 3 x y ， π π 3 ， 5 a x ， 2x y x  中，分式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A．  22a b  B． 25 20m mn C． 2 2x y D． 2 9x  4. 如果 a2+mab+9b2是一个完全平方式，则 m应是（ ） A．3 B．±3 C．6 D．±6 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（ ） A． am a bm b  B． y y x x    C． y y x x    D． 1 1 a a b b    6. 当 3x  时，下列分式中，值为 0 的是（ ） A． 2 3 9 x x   B． 2 6 2 x x   C． 1 3x  D． 3 1 x x   7. 如果把分式 2y x y 中的 x和 y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ） A．不变 B．缩小 1 2 C．扩大 2 倍 D．扩大 4 倍 8. 下列运算正确的是（ ） A． 2 3 2 4 9 6 b a b a b   B． 2 31 2 3 3 2 b b ab a   C． 1 1 2 2 3a a a   D． 2 1 1 2 1 1 1a a a      9. 已知△ 𝐴𝐵𝐶的三边 a、b、c 满足   0a a c bc ab    ，则△ 𝐴𝐵𝐶的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10. 已知 324 1 可以被 10 到 20 之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 分解因式 a3+4a2b+4ab2 ． 12. 如果分式 2 4 4 m m   的值为零，那么 m的值是 ． 13. 若 7, 5m n mn   ，则 2 2m n mn  ． 14. 分式 2 4 1a  ， 2 2 a a 的最简公分母是 ． 15.如果代数式 2 2 1m m  ，那么 2 2 4 4 2m m m m m     的值为 ． 16. 观察下列等式 1a x ， 2 1 1 1a a   ， 3 2 1 1a a   ， 4 3 1 1a a   …根据其中的规律，猜想 2022a  （用含 x的代数式表示）． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 分解因式： (1) 2( 2 )( 3 ) ( 2 )x y x y x y    (2)  22 2 2 24x y x y  18．（6分）计算： （1） 2 2 2 2 9 5 5 3 ab a b a b a b    ； （2） 2 2 24 12 x y x xy   ÷ 3 x y x y   ． 19．（6分）利用因式分解计算∶ (1) 2 2201 199 ； (2) 2 2202 202 196 98+ + ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 20．（8分）若 2 33,x y x y    ，求 2 2 2 2 2 2 2 x y x xy y    的值． 21．（8分）先化简，再求值： 1 1 2 1 1 1 x x x x x          ，其中𝑥 + 𝑥 − 2024 = 0． 22．（8分）观察下列等式： ① 1 1 1 1 1 2 2 1    ；② 1 1 1 1 3 4 12 2    ；③ 1 1 1 1 5 6 30 3    ；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第n个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 23．（10 分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述 方法就无法分解，如 2 24 2 4x y x y   ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两 项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解 因式了．过程如下： 2 24 2 4x y x y       2 2 2 2x y x y x y       2 2 2x y x y    ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： 2 22 16x xy y   (2) 7x y  ， 5x y  ．求 2 2 2 2x y y x   的值． 24．（10 分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数 大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如： 1 1 x x   ， 2 1 x x  ；当分子的次数小于分母的次数时， 我们称之为“真分式”，例如： 1 1x  ， 2 2 1 1 x x   ．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： 12 10 2 5 5   =2+ 2 5 =2 2 5 ，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： 1 1 2 1 1 x x x x       =1+ 2 1x  ． （1）将分式 2 1 1 x x   化为带分式； （2）当 x取哪些整数值时，分式 2 1 1 x x   的值也是整数？ 25．（12 分）阅读下列解题过程： 已知 2 1 1 3 x x   ，求 2 4 1 x x  的值. 解：由 2 1 1 3 x x   ，知 0x  ， 2 1 3 x x    ，即 1 3x x   . 24 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 7 x x x x x x               ， 2 4 1 1 7 x x    . 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒 数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知 2 xy x y   ， 4 3 yz y z   ， 4 3 zx z x   ，求 xyz xy yz zx  的值； (2)已知 2 1 1 7 x x x    ，求 2 4 2 1 x x x  的值． 26．（12 分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（a a 的正方形 A，b b 的正方形 B，a b 的长方形 C）． (1)在探究中，小明用 1 张 A和 1 张 C组成如图 1 所示的长方形可以说明 2b ab 可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用 1 张 A，2 张 B和 3 张 C再次拼得一个长方形，请在框 1 中画出示意图，并将长方 形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用 1 张 A，4 张 B和若干张 C拼成一个长方形或者正方 形，请你设计两种不同的拼法，在框 2 和框 3 中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面 积表达式及因式分解的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章因式分解+第二章分式。 5．难度系数：0.72。 第Ⅰ卷 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A．    21 1 1x x x    B． 2a b ab a  C． 2 2 1 1 4 2 x x x        D．  23 6 4 3 2 4x x x x     2．在 2 x ， 3 x y ， π π 3 ， 5 a x ， 2x y x  中，分式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A．  22a b  B． 25 20m mn C． 2 2x y D． 2 9x  4. 如果 a2+mab+9b2是一个完全平方式，则 m应是（ ） A．3 B．±3 C．6 D．±6 5.下列式子从左到右的变形不正确的是（ ） A． am a bm b  B． y y x x    C． y y x x    D． 1 1 a a b b    6. 当 3x  时，下列分式中，值为 0 的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 2 3 9 x x   B． 2 6 2 x x   C． 1 3x  D． 3 1 x x   7. 如果把分式 2y x y 中的 x和 y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ） A．不变 B．缩小 1 2 C．扩大 2 倍 D．扩大 4 倍 8. 下列运算正确的是（ ） A． 2 3 2 4 9 6 b a b a b   B． 2 31 2 3 3 2 b b ab a   C． 1 1 2 2 3a a a   D． 2 1 1 2 1 1 1a a a      9. 已知△ 𝐴𝐵𝐶的三边 a、b、c 满足   0a a c bc ab    ，则△ 𝐴𝐵𝐶的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10. 已知 324 1 可以被 10 到 20 之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11. 分解因式 a3+4a2b+4ab2 ． 12. 如果分式 2 4 4 m m   的值为零，那么 m的值是 ． 13. 若 7, 5m n mn   ，则 2 2m n mn  ． 14. 分式 2 4 1a  ， 2 2 a a 的最简公分母是 ． 15.如果代数式 2 2 1m m  ，那么 2 2 4 4 2m m m m m     的值为 ． 16. 观察下列等式 1a x ， 2 1 1 1a a   ， 3 2 1 1a a   ， 4 3 1 1a a   …根据其中的规律，猜想 2022a  （用含 x 的代数式表示）． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 分解因式： (1) 2( 2 )( 3 ) ( 2 )x y x y x y    (2)  22 2 2 24x y x y  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 18．（6 分）计算： （1） 2 2 2 2 9 5 5 3 ab a b a b a b    ； （2） 2 2 24 12 x y x xy   ÷ 3 x y x y   ． 19．（6 分）利用因式分解计算∶ (1) 2 2201 199 ； (2) 2 2202 202 196 98+ + ． 20．（8 分）若 2 33,x y x y    ，求 2 2 2 2 2 2 2 x y x xy y    的值． 21．（8 分）先化简，再求值： 1 1 2 1 1 1 x x x x x          ，其中𝑥 + 𝑥 − 2024 = 0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 22．（8 分）观察下列等式： ① 1 1 1 1 1 2 2 1    ；② 1 1 1 1 3 4 12 2    ；③ 1 1 1 1 5 6 30 3    ；…… （1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________； （2）猜想并写出第n个等式：_____________________； （3）请证明猜想的正确性． 23．（10 分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方 法就无法分解，如 2 24 2 4x y x y   ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可 提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式 了．过程如下： 2 24 2 4x y x y       2 2 2 2x y x y x y       2 2 2x y x y    ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： 2 22 16x xy y   (2) 7x y  ， 5x y  ．求 2 2 2 2x y y x   的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 24．（10 分）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大 于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如： 1 1 x x   ， 2 1 x x  ；当分子的次数小于分母的次数时，我 们称之为“真分式”，例如： 1 1x  ， 2 2 1 1 x x   ．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： 12 10 2 5 5   =2+ 2 5 =2 2 5 ， 类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： 1 1 2 1 1 x x x x       =1+ 2 1x  ． （1）将分式 2 1 1 x x   化为带分式； （2）当 x取哪些整数值时，分式 2 1 1 x x   的值也是整数？ 25．（12 分）阅读下列解题过程： 已知 2 1 1 3 x x   ，求 2 4 1 x x  的值. 解：由 2 1 1 3 x x   ，知 0x  ， 2 1 3 x x    ，即 1 3x x   . 24 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 7 x x x x x x               ， 2 4 1 1 7 x x    . 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒 数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知 2 xy x y   ， 4 3 yz y z   ， 4 3 zx z x   ，求 xyz xy yz zx  的值； (2)已知 2 1 1 7 x x x    ，求 2 4 2 1 x x x  的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 26．（12 分）在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（a a 的正方形 A，b b 的正方形 B， a b 的长方形 C）． (1)在探究中，小明用 1 张 A和 1 张 C组成如图 1 所示的长方形可以说明 2b ab 可以分解为 ； (2)继续探究中，小明用 1 张 A，2 张 B和 3 张 C再次拼得一个长方形，请在框 1 中画出示意图，并将长方 形面积表达式的因式分解结果写在横线上； (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用 1 张 A，4 张 B和若干张 C拼成一个长方形或者正方 形，请你设计两种不同的拼法，在框 2 和框 3 中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面 积表达式及因式分解的结果．