精品解析：湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校20224-2025学年八年级上学期数学开学考试试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数：中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 5. 若一个关于x的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 6. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 即将发射的气象卫星的零部件质量 C. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 7. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 9，6，13 B. 6，8，16 C. 18，9，8 D. 3，5，9 9. 在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣3，7） C. （1，﹣1） D. （1，7） 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 12. 若，则______． 13. 已知不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 14. 如图，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是_______，若火车站的位置用表示，则仓库的位置表示为______． 15. 如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则∠BOD=_____°． 16. 如图，在中，，角平分线，交于点，于点．下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确的结论是________（只填序号）． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组： ； （4）解不等式组：． 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19. 若关于x的不等式与的解集相同，求a的值． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 21. 黄桥初中用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）． （1）此次共调查了名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若黄桥初中九年级共有1200名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数． 22. 如图，点E在边AC上，已知，，． 求证： （1）； （2）． 23. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 24. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 25. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； （2）如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； （3）如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校20224-2025学年八年级上学期数学开学考试试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选C． 2. 在实数：中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 故无理数有：、、，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； B、，原不等式不成立，不符合题意，选项错误； C、，所以，原不等式一定成立，符合题意，选项正确； D、当时，，原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 4. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程①减去方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键． 5. 若一个关于x的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 6. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 即将发射的气象卫星的零部件质量 C. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A、中央电视台《开学第一课》的收视率，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、即将发射的气象卫星的零部件质量，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； C、城市居民6月份人均网上购物的次数，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； D、某品牌新能源汽车的最大续航里程，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 8. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 9，6，13 B. 6，8，16 C. 18，9，8 D. 3，5，9 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、，能摆成三角形，符合题意，选项正确； B、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； C、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； D、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 9. 在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣3，7） C. （1，﹣1） D. （1，7） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（﹣1+2，3﹣4），即（1，﹣1）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“甜果苦果买一千”可得甜果个数+苦果个数=1000，可列出一个方程；又根据“甜果九个十一文，苦果七个四文钱”可得甜果和苦果的单价，根据共花费“九百九十九文钱”可得买甜果的钱数+买苦果的钱数=999．据此可得另一个方程．联立组成方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组解集的取法．先解一元一次不等式得到含参数的解集，然后根据不等式组的解集为，即可得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由不等式①，得：， 由不等式②，得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是_______，若火车站的位置用表示，则仓库的位置表示为______． 【答案】 ①. 北偏东方向，处 ②. 【解析】 【分析】根据上北下南左西右东及角度关系即可得到答空1，结合平面直角坐标系的坐标关系找到上下距离及左右距离即可得到答空2答案； 【详解】解：由图像可得， 火车站位于仓库的北偏东方向，处， ∵火车站的位置用表示， 仓库在其下方2个单位，左侧5个单位， ∴仓库的位置表示为：， 故答空1为：北偏东方向，处，答空2为：； 【点睛】本题考查平面直角坐标系中方位问题及坐标问题，解题的关键是熟练掌握上北下南左西右东及坐标关系． 15. 如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则∠BOD=_____°． 【答案】95 【解析】 【详解】试题解析： OD平分， 故答案为95. 16. 如图，在中，，角平分线，交于点，于点．下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确的结论是________（只填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 过作于，得到，得出，①正确；根据角平分线定义得到，继而得到，②错误；在上截取，连接，可证明，得到，，，得到，③正确；，，得到，④正确；即可得到答案． 【详解】解：如图1，过作于， 平分，， ， ， ， 故①正确； ， ， 角平分线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故③正确； ，， ，， ， ， 故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组： ； （4）解不等式组：． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据立方根定义，算术平方根定义，进行计算即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （4）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边同除以36得：， 开平方得：， ∴，； （3）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． （4）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，平方根的应用，解方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算． 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键． （1）利用立方根的定义、算术平方根的定义求出a、b的值，利用无理数的估算方法求出c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 ∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵，即，c是的整数部分， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 19. 若关于x的不等式与的解集相同，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式，得出的解集，再解得，使两个解集相等即可求解． 【详解】由不等式，得， ∴的解集也为， 解不等式，得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 【答案】（1），；， （2） 三角形即为所求： ； （3），，； （4）5 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）根据平移的性质可直接得出答案； （3）根据平面直角坐标系可直接得出答案； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据图形可得、； 故答案为：，；，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据平面直角坐标系可得，，； 【小问4详解】 解：三角形的面积为：． 21. 黄桥初中用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）． （1）此次共调查了名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若黄桥初中九年级共有1200名学生，请你估计其中“非常喜欢”网课的人数． 【答案】（1）50；（2）补全图形如图：；（3）624人． 【解析】 【分析】（1）由不喜欢的人数及其所占百分比可求得总人数； （2）先求出喜欢的人数，在补全图即可； （3）先求出非常喜欢的人所占百分比，在求解即可； 【详解】（1）此次共调查了（人）； （2）喜欢的人数为（人）， （3）由图可知，非常喜欢的人所占百分比为：， ∴1200名学生中非常喜欢的人数为：（人）． 22. 如图，点E在边AC上，已知，，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ∴（） （2） 证明：由（1）可知， ∴， 又∵ ∴ 【解析】 【分析】（1）由“”可证． （2）根据全等三角形的性质可得，，根据线段的和差即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键证明． 23. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】（1）每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）至少要购进A型早餐机5台． 【解析】 【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； 【小问2详解】 解：设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解． 24. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 25. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； （2）如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； （3）如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】（1） 全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）， 平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3） 证明：如图，设与交于点， ，， ； 如图所示，延长到G，，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是友谊三角形． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及友谊三角形的定义即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $