2.4 用因式分解法求解一元二次方程（6大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程知识点 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、用分解因式法解一元二次方程的注意点： ①必须将方程的右边化为 0； ②方程两边不能同时除 以含有未知数的代数式． ◆3、常用的因式分解法 提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等 ◆4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型一 用因式分解法解一元二次方程 【例题1】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【变式1-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（　　） A．5和 B． C．5 D．﹣5和 【变式1-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【变式1-3】已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解 是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 【变式1-4】（2024春•拱墅区期末）解方程： （1）x2+4＝4x； （2）x（x+1）＝x+1． 【变式1-5】用提公因式法解一元二次方程： （1）x（x﹣3）＝2（x﹣3）； （2）（x+5）2＝3x+15； （3）2（x﹣4）＝x（4﹣x）． 【变式1-6】（2023春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 【变式1-7】用因式分解法解一元二次方程： （1）3x2＝2x； （2）3x（x+2）﹣5（x+2）＝0； （3）（x+3）（x﹣2）＝﹣6； （4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0． 题型二 用十字相乘法解一元二次方程 【例题2】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（　　） A．x1＝1，x2＝9 B．x1＝﹣1，x2＝9 C．x1＝1，x2＝﹣9 D．x1＝﹣1，x2＝﹣9 解题技巧提炼 ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【变式2-1】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【变式2-2】（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣3 D．3 【变式2-3】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4 【变式2-4】（2024春•淄川区期末）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个实数根分别为2和﹣1，则二次三项式x2+px+q可以因式分解为（　　） A．（x﹣2）（x+1） B．（x﹣2）（x﹣1） C．（x+2）（x+1） D．（x+2）（x﹣1） 【变式2-5】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x＝3 D．x＝﹣3 【变式2-6】用十字相乘法解下列方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0； （3）2x2﹣5x﹣3＝0； （4）2x2+15x+7＝0． 【变式2-7】阅读下列材料： （1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：？7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0． 试用上述方法和原理解下列方程： （1）x2+5x+4＝0； （2）x2﹣6x﹣7＝0； （3）x2﹣6x+8＝0； （4）2x2+x﹣6＝0． 题型三 用适当的方法解一元二次方程 【例题3】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【变式3-1】（2023秋•朝阳区校级月考）用适当方法解下列方程． （1）2x2﹣8＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 【变式3-2】（2023春•萨尔图区校级期末）用适当的方法解下列方程： （1）（3x+1）2﹣9＝0； （2）x2﹣2x+1＝0； 【变式3-3】（2023秋•永善县期末）用适当的方法解方程． （1）； （2）（x+1）2＝2x+2． 【变式3-4】用适当的方法解方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）（y﹣1）2﹣25＝0； （3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 【变式3-5】用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）． （3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0． 【变式3-6】用适当的方法解方程： （1）2x2﹣1＝4x； （2）2（x+2）2﹣8＝0； （3）2x2+2x+1＝0； （4）（x﹣3）2＝3﹣x． 【变式3-7】解方程： （1）4（x﹣1）2＝9； （2）x2+8x+15＝0； （3）3x2﹣5x+1＝0； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 题型四 用换元法解一元二次方程 【例题4】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（　　） A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【变式4-1】（2022秋•牡丹区校级期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2 【变式4-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或4 【变式4-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 ． 【变式4-4】（2023春•龙凤区期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 【变式4-5】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-6】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解 下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务： 利用换元法求方程的解 我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明： 例：解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 【变式4-7】（2023•青海一模）提出问题： 为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9． 当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0． 延伸拓展： （2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值． 【变式4-8】（2024春•利辛县月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程x4+2x2﹣8＝0时，可设y＝x2，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，先解出y，将y的值再代入y＝x2 中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上过方程中，可将x2看作一个整体，得（x2）2+2x2﹣8＝0，解出x2的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题： （1）若（2x2+2y2﹣3）（2x2+2y2+3）＝7，则x2+y2的值为 　 　； （2）解方程：（y2﹣3y）2﹣4y2+12y＝0． 题型五 因式分解中的新定义 【例题5】（2023秋•凤山县期末）对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4 首先根据题意中的新定义列出方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【变式5-1】（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 【变式5-2】（2023秋•嘉祥县期中）定义运算：a☆b＝a2+ab﹣b，例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2023 B．x1＝1，x2＝2023 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023 【变式5-3】（2023•太康县一模）定义运算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（　　） A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023 【变式5-4】（2022•桐梓县模拟）排列：从n个不同元素中任取m个按照一定的顺序排成一列，叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列．所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，一般我们记作，则n（n﹣1）…×（n﹣m+1）．例如4×3＝12．如果20，则x的值为（　　） A．x1＝5 x2＝4 B．x1＝﹣5 x2＝4 C．x1＝5 x2＝﹣4 D．x1＝﹣5 x2＝﹣4 【变式5-5】（2024•从江县校级一模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 【变式5-6】（2023春•淮北月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定min{a，b}表示a，b中较小的数，如min{1，2}＝1，若已知min{x2，x2﹣2x}＝4，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．或 C．2或 D．﹣2或 题型六 因式分解与三角形的综合应用 【例题6】（2024•满洲里市模拟）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形第三边的长是（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 先利用因式分解求出方程的解，然后根据三角形的相关知识求边长、周长或面积等． 【变式6-1】（2024•滕州市校级模拟）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 【变式6-2】（2024春•安庆期末）若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 【变式6-3】（2024春•濉溪县期末）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式6-4】（2024春•大观区校级期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【变式6-5】（2024春•凉州区月考）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程知识点 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、用分解因式法解一元二次方程的注意点： ①必须将方程的右边化为 0； ②方程两边不能同时除 以含有未知数的代数式． ◆3、常用的因式分解法 提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等 ◆4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 题型一 用因式分解法解一元二次方程 【例题1】（2023•晋城模拟）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5）， （x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0， x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0， 所以x1＝5，x2＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【变式1-1】（2023春•瓯海区期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（　　） A．5和 B． C．5 D．﹣5和 【分析】提取公因式（2x+1）即可得到（x﹣5）（2x+1）＝0，然后解两个一元一次方程即可． 【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1）， ∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0， ∴（x﹣5）（2x+1）＝0， ∴x1＝5，x2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 【变式1-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式1-3】已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解 是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 【分析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可． 【解答】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程， ∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4， ∴x+1＝2或x+1＝﹣4， 解得x＝1或x＝﹣5， ∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式1-4】（2024春•拱墅区期末）解方程： （1）x2+4＝4x； （2）x（x+1）＝x+1． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+4＝4x， 移项得：x2﹣4x+4＝0， 分解因式得：（x﹣2）2＝0， 解得：x1＝x2＝2； （2）x（x+1）＝x+1， 移项得：x（x+1）﹣（x+1）＝0， 分解因式得：（x+1）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． 【变式1-5】用提公因式法解一元二次方程： （1）x（x﹣3）＝2（x﹣3）； （2）（x+5）2＝3x+15； （3）2（x﹣4）＝x（4﹣x）． 【分析】（1）先变形为x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）先变形为（x+5）2﹣3（x+5）＝0，然后利用因式分解法解方程； （3）先变形为2（x﹣4）+x（x﹣4）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝2（x﹣3）， x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2； （2）（x+5）2＝3x+15， （x+5）2﹣3（x+5）＝0， （x+5）（x+5﹣3）＝0， ∴x+5＝0或x+2＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝﹣2； （3）2（x﹣4）＝x（4﹣x）， 2（x﹣4）+x（x﹣4）＝0， （x﹣4）（2+x）＝0， ∴x﹣4＝0或2+x＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式1-6】（2023春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程： （1）x2﹣6x+8＝0； （2）3x﹣x2＝x﹣3； （3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可； （3）先移项得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0， （x﹣4）（x﹣2）＝0， x﹣4＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝4，x2＝2； （2）3x﹣x2＝x﹣3， x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （3）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0， 所以x1＝3，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式1-7】用因式分解法解一元二次方程： （1）3x2＝2x； （2）3x（x+2）﹣5（x+2）＝0； （3）（x+3）（x﹣2）＝﹣6； （4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0． 【分析】（1）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解； （2）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解； （3）先将方程右边化为0，再将方程左边进行因式分解，进而求解； （4）提公因式因式分解即可． 【解答】解：（1）∵3x2＝2x， ∴3x2﹣2x＝0， ∴x（3x﹣2）＝0， ∴x＝0或3x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2； （2）∵3x（x+2）﹣5（x+2）＝0， ∴（x+2）（3x﹣5）＝0， ∴x+2＝0或3x﹣5＝0， ∴x1＝﹣2，x2； （3）整理，得x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1； （4）提取公因式，得（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或2x﹣4＝0， ∴x1，x2＝2． 【点评】本题主要考查了运用因式分解法求解一元二次方程，回顾一下，运用因式分解法求解一元二次方程的方法． 题型二 用十字相乘法解一元二次方程 【例题2】（2023•滨海新区二模）方程x2+10x+9＝0的两个根是（　　） A．x1＝1，x2＝9 B．x1＝﹣1，x2＝9 C．x1＝1，x2＝﹣9 D．x1＝﹣1，x2＝﹣9 【分析】根据已知方程得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：x2+10x+9＝0 ∵（x+1）（x+9）＝0， ∴x+1＝0或x+9＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣9， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 解题技巧提炼 ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【变式2-1】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式2-2】（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣3 D．3 【分析】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断． 【解答】解：（x+4）（x﹣3）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式2-3】（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4 【分析】利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：x2+7x+12＝0， （x+3）（x+4）＝0， x+3＝0或x+4＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式2-4】（2024春•淄川区期末）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个实数根分别为2和﹣1，则二次三项式x2+px+q可以因式分解为（　　） A．（x﹣2）（x+1） B．（x﹣2）（x﹣1） C．（x+2）（x+1） D．（x+2）（x﹣1） 【分析】根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝2，x2＝﹣1． ∴原方程为：（x﹣2）（x+1）＝0． ∴二次三项式x2+px+q可分解为（x﹣2）（x+1）． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【变式2-5】（2023春•谯城区校级月考）下列各数中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x＝3 D．x＝﹣3 【分析】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断． 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解． 【变式2-6】用十字相乘法解下列方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0； （3）2x2﹣5x﹣3＝0； （4）2x2+15x+7＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）∵x2+6x﹣7＝0， ∴（x﹣1）（x+7）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣7． （2）∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3． （3）∵2x2﹣5x﹣3＝0， ∴（2x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1，x2＝3． （4）∵2x2+15x+7＝0， ∴（2x+1）（x+7）＝0， ∴x1，x2＝﹣7． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2-7】阅读下列材料： （1）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项：？7x﹣5x＝2x． ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0． 试用上述方法和原理解下列方程： （1）x2+5x+4＝0； （2）x2﹣6x﹣7＝0； （3）x2﹣6x+8＝0； （4）2x2+x﹣6＝0． 【分析】根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0解答即可． 【解答】解：（1）x2+5x+4＝0 （x+1）（x+4）＝0， ∴x+1＝0或x+4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4． （2）x2﹣6x﹣7＝0 （x+1）（x﹣7）＝0， ∴x+1＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝7． （3）x2﹣6x+8＝0 （x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4． （4）2x2+x﹣6＝0 （2x﹣3）（x+2）＝0， ∴2x﹣3＝0或x+2＝0， 解得：x1，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣十字相乘法，熟练掌握解一元二次方程﹣十字相乘法是解题的关键． 题型三 用适当的方法解一元二次方程 【例题3】（2023春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可； （3）直接利用公式法求解即可； （4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0， ∴7x（x﹣3）＝0， ∴7x＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝3； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44， ∴， ∴，； （4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1）， ∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1）， 解得：x1＝8，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【变式3-1】（2023秋•朝阳区校级月考）用适当方法解下列方程． （1）2x2﹣8＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 【分析】（1）移项，方程两边除以2，再开方即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣8＝0， 2x2＝8， x2＝4， 开方，得x＝±2， 即x1＝2，x2＝﹣2； （2）整理，得5x2﹣4x﹣1＝0， （5x+1）（x﹣1）＝0， 5x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 【变式3-2】（2023春•萨尔图区校级期末）用适当的方法解下列方程： （1）（3x+1）2﹣9＝0； （2）x2﹣2x+1＝0； 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）（3x+1）2﹣9＝0， （3x+1）2＝9， ∴3x+1＝±3， ∴x1，x2． （2）x2﹣2x+1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 【变式3-3】（2023秋•永善县期末）用适当的方法解方程． （1）； （2）（x+1）2＝2x+2． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝12﹣8＝4＞0， ∴x±1， ∴x11，x21； （2）（x+1）2＝2x+2， （x+1）2＝2（x+1）， （x+1）2﹣2（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣2）＝0， （x+1）（x﹣1）＝0， x+1＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣1，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式3-4】用适当的方法解方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）（y﹣1）2﹣25＝0； （3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 则x， 即x1，x2； （2）∵（y﹣1）2﹣25＝0， ∴（y﹣1）2＝25， 则y﹣1＝±5， 解得y1＝6，y2＝﹣4； （3）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x）， ∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式3-5】用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）． （3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0． 【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可； （4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0， x2+4x＝6， 配方，得x2+4x+4＝6+4， （x+2）2＝10， 开方，得x+2， x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）（x+4）2＝5（x+4）， （x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， x+4＝0，或x+4﹣5＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1； （3）3x2﹣1＝4x， 3x2﹣4x﹣1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，x， 解得：x1，x2； （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0， （x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0， x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 【变式3-6】用适当的方法解方程： （1）2x2﹣1＝4x； （2）2（x+2）2﹣8＝0； （3）2x2+2x+1＝0； （4）（x﹣3）2＝3﹣x． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开平方法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0； ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2＝1； （2）（x+2）2＝4， ∴x+2＝±2， ∴x1＝0，x2＝﹣4； （3）2x2+2x+1＝0， ∴0， ∴x+1＝0， ∴x1＝x2； （4）（x﹣3）2+（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式3-7】解方程： （1）4（x﹣1）2＝9； （2）x2+8x+15＝0； （3）3x2﹣5x+1＝0； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵4（x﹣1）2＝9， ∴（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1，x2； （2）∵x2+8x+15＝0， ∴（x+3）（x+5）＝0， 则x+3＝0或x+5＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣5； （3）∵3x2﹣5x+1＝0， ∴a＝3，b＝﹣5，c＝1， 则Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 题型四 用换元法解一元二次方程 【例题4】（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（　　） A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对 【分析】设a2+b2＝x，则方程化为（x+3）（x﹣3）＝16，求出x的值，再得出选项即可． 【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16， 设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16， x2﹣9＝16， x2＝25， x＝±5， 当x＝5时，a2+b2＝5， 当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5， ∵不论a、b为何值，a2+b2≥0， ∴此时不行， 即a2+b2＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【变式4-1】（2022秋•牡丹区校级期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2 【分析】设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解． 【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0， ∴（z﹣4）（z+2）＝0， 解得：z1＝4，z2＝﹣2， 即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴x2+y2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【变式4-2】（2022秋•牡丹江期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为（　　） A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或4 【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣1）＝12，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可． 【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则： t（t﹣1）＝12． 整理，得（t﹣4）（t+3）＝0． 所以t﹣4＝0或t+3＝0． 所以t＝4或t＝﹣3（舍去）． 即x2+y2的值为4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【变式4-3】（2022春•龙游县校级月考）已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 ． 【分析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0，可得y1＝8，y2＝﹣2，即可求解． 【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0 ∴（y﹣8）（y+2）＝0， 解得：y1＝8，y2＝﹣2， 即 a2+b2＝8或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴a2+b2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【变式4-4】（2023春•龙凤区期中）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 【分析】根据“整体换元法”，设y＝2x﹣5，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【解答】解：设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0， ∴（y﹣2）（y+1）＝0， ∴y﹣2＝0或y+1＝0， 解得y1＝2，y2＝﹣1， 当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5； 当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2． ∴原方程的解为x1＝3.5，x2＝2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键． 【变式4-5】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解； （2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解 【解答】（1）解： 设 则 或 解得， ∴或 ∴或 解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝； （2）解： 设， 则 ， 或， 解得，， 或， 或， 解得， 【点评】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键． 【变式4-6】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解 下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务： 利用换元法求方程的解 我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明： 例：解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 【分析】（1）根据小康同学的解答过程即可判断； （2）设，用换元法求解． 【解答】（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了配方法， 故答案为：B； （2）解：设，则原方程可化为， 即， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解是． 【点评】本题考查了换元法解方程，因式分解法和配方法解一元二次方程，以及无理方程的解法，掌握换元法的解题思路是解答本题的关键． 【变式4-7】（2023•青海一模）提出问题： 为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9． 当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0． 延伸拓展： （2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解该方程得到y的值，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）设m+3n＝t，（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4可变形为t（t﹣2）＝2t﹣4，解此方程t＝2，则m+3n＝2，再将其整体代入即可求解． 【解答】解：（1）设x2＝y， 则原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0， 解得：y1＝4，y2＝﹣1， 当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2； 当y2＝﹣1，x2＝﹣1，此方程无解． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2； （2）∵（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4， ∴（m+3n）（m+3n﹣2）＝2（m+3n）﹣4， 设m+3n＝t， 则t（t﹣2）＝2t﹣4， 整理得：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2＝0， 解得：t＝2， ∴m+3n＝2， ∴4m+12n﹣3＝4（m+3n）﹣3＝4×2﹣3＝5． 【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程、代数式求值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 【变式4-8】（2024春•利辛县月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程x4+2x2﹣8＝0时，可设y＝x2，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，先解出y，将y的值再代入y＝x2 中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上过方程中，可将x2看作一个整体，得（x2）2+2x2﹣8＝0，解出x2的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题： （1）若（2x2+2y2﹣3）（2x2+2y2+3）＝7，则x2+y2的值为 　 　； （2）解方程：（y2﹣3y）2﹣4y2+12y＝0． 【分析】（1）设t＝x2+y2，则原方程可化为（2t﹣3）（2t+3）＝7，整理得t2＝4，然后利用直接开平方法解方程，从而利用非负数的性质可得到x2+y2的值； （2）把原方程看作（y2﹣3y）的一元二次方程，则（y2﹣3y）2﹣4（y2﹣3y）＝0，利用因式分解法得到y2﹣3y＝0或y2﹣3y﹣4＝0，然后分别解y2﹣3y＝0和y2﹣3y﹣4＝0即可． 【解答】解：（1）设t＝x2+y2，则t≥0， 原方程可化为（2t﹣3）（2t+3）＝7， 整理得t2＝4， 解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）， 所以x2+y2的值为2； 故答案为：2； （2）（y2﹣3y）2﹣4y2+12y＝0， （y2﹣3y）2﹣4（y2﹣3y）＝0， （y2﹣3y）（y2﹣3y﹣4）＝0， y2﹣3y＝0或y2﹣3y﹣4＝0， 解方程y2﹣3y＝0得y1＝0，y2＝3； 解方程y2﹣3y﹣4＝0得y3＝﹣1，y4＝4， 所以原方程的解为y1＝0，y2＝3，y3＝﹣1，y4＝4． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 题型五 因式分解中的新定义 【例题5】（2023秋•凤山县期末）对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4 【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由题意，可得：x+（x+1）2＝5， 整理得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程和新定义，理解新定义的运算，并能熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 首先根据题意中的新定义列出方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【变式5-1】（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x或x＝1． 故选：C． 【点评】此题考查的是解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法． 【变式5-2】（2023秋•嘉祥县期中）定义运算：a☆b＝a2+ab﹣b，例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2023 B．x1＝1，x2＝2023 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023 【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：根据题中的新定义得：x2+2022x﹣2022＝1， ∴x2+2022x﹣2023＝0， （x﹣1）（x+2023）＝0， ∴x﹣1＝0或x+2023＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2023． 故选：A． 【点评】此题考查了新定义，解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式5-3】（2023•太康县一模）定义运算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（　　） A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023 【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：根据题中的新定义得：x2+2022x﹣2022＝1， ∴x2+2022x﹣2023＝0， （x﹣1）（x+2023）＝0， ∴x﹣1＝0或x+2023＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2023． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式5-4】（2022•桐梓县模拟）排列：从n个不同元素中任取m个按照一定的顺序排成一列，叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列．所有不同排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，一般我们记作，则n（n﹣1）…×（n﹣m+1）．例如4×3＝12．如果20，则x的值为（　　） A．x1＝5 x2＝4 B．x1＝﹣5 x2＝4 C．x1＝5 x2＝﹣4 D．x1＝﹣5 x2＝﹣4 【分析】先根据新定义得到x（x﹣1）＝20，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：∵20， ∴x（x﹣1）＝20， ∴x2﹣x﹣20＝0， （x﹣5）（x+4）＝0， x﹣5＝0或x+4＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了阅读理解能力． 【变式5-5】（2024•从江县校级一模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 【分析】分两种情况：当x＞﹣x时，即x＞0时；当x＜﹣x时，即x＜0时；然后根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当x＞﹣x时，即x＞0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜﹣x时，即x＜0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴﹣x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±， x﹣1或x﹣1， x1＝1（舍去），x2＝1； 综上所述：x＝5或x＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况讨论是解题的关键． 【变式5-6】（2023春•淮北月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定min{a，b}表示a，b中较小的数，如min{1，2}＝1，若已知min{x2，x2﹣2x}＝4，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．或 C．2或 D．﹣2或 【分析】分x2＜x2﹣2x和x2＞x2﹣2x两种情况，分别计算即可． 【解答】解：当x2＜x2﹣2x，即x＜0时，x2＝4， 解得x＝﹣2， 当x2＞x2﹣2x，即x＞0时，x2﹣2x＝4， 解得x1＝1，x2＝1（舍去）， 综上，x的值为﹣2或． 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键． 题型六 因式分解与三角形的综合应用 【例题6】（2024•满洲里市模拟）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形第三边的长是（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 【分析】先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解． 【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝0， ∴x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，3+3＝6（不合题意，舍去）， ∴x＝4，即这个三角形第三边的长是4． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握． 先利用因式分解求出方程的解，然后根据三角形的相关知识求边长、周长或面积等． 【变式6-1】（2024•滕州市校级模拟）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 【分析】求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解， 【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0得，x1＝2，x2＝3， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为2和3， ∴此直角三角形的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 【变式6-2】（2024春•安庆期末）若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．8或10 【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由x2﹣6x+8＝0得， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边上， 则当2为腰时，2+2＝4，此情况舍去． 当4为腰时，4+2＞4，符合要求， 所以△ABC的周长为4+4+2＝10． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知因式分解法及三角形三边的关系是解题的关键． 【变式6-3】（2024春•濉溪县期末）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【分析】先解方程x2﹣14x+48＝0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可． 【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0， ∴（x﹣6）（x﹣8）＝0， ∴x＝6或8； ∴两直角边为6和8， ∴此三角形的斜边长10， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法． 【变式6-4】（2024春•大观区校级期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【分析】根据题意解出x2﹣6x+8＝0方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得：x＝2，x＝4， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，2+3＜6不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去， 当第三边长为4时，符合构成三角形三边关系，则周长为：3+4+6＝13， 故选：B． 【点评】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 【变式6-5】（2024春•凉州区月考）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 【分析】先解方程得到x＝6或x＝10，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8，过点A作AD⊥BC于D，则，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：解方程（x﹣6）（x﹣10）＝0得x＝6或x＝10， ∴该三角形的第三边的长为10或6， 当第三边长为10时， ∵62+82＝102， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6， ∴该三角形的面积为； 当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8， 过点A作AD⊥BC于D，则， ∴， ∴该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或24， 故选：D． 【点评】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$