2.3 用公式法求解一元二次方程（5大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.3 用公式法求解一元二次方程 一元二次方程的概念知识点一 ◆1、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式：Δ＝b2－4ac． ◆2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 上面结论反过来也成立.即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0. ◆3、利用判别式判断方程根的情况的一般步骤： 一化：化一般式，确保二次项系数为正； 二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号； 三算：算b2-4ac的值，判断符号； 四判：判断方程根的情况. 公式法解一元二次方程知识点二 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 题型一 利用根的判别式判断根的情况 【例题1】（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 先计算出 “Δ”的值，然后即可判断根的情况. 【变式1-1】（2024•河南二模）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式1-2】（2024•固始县二模）一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-3】（2023•镇平县三模）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【变式1-4】（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【变式1-5】（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式1-6】（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式1-7】（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式1-8】（2023•桑植县模拟）对于4个实数a、b、c、d给出一种新的运算，定义ad﹣bc． 例如：8×5﹣9×3＝40﹣27＝13，则方程9的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 【例题2】（2024•增城区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m C．m D．m 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0.先根据题意列出方程或不等式然后求解即可解答. 【变式2-1】（2023•瓯海区模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的取值为（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝4 D．a＝﹣4 【变式2-2】（2024•乌鲁木齐模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-3】（2024•金平区校级一模）若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c B．c C．c D．c 【变式2-4】（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 【变式2-5】（2023•榆阳区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）当k＝1时，求原方程的解． 【变式2-6】（2023春•西城区校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【变式2-7】（2024春•北京期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【变式2-8】（2023秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围． 【变式2-9】（2024春•花山区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 【例题3】（2023秋•永修县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 先通过计算或化简“Δ”，然后根据“Δ”的情况判断根的情况，对于式子有时要用到配方法,写成一个完全平方式和某个常数的和的形式. 【变式3-1】（2023秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）． 求证：此方程一定有实数根． 【变式3-2】（2024•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【变式3-3】（2023春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【变式3-4】（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【变式3-5】（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【变式3-6】（2024春•乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【变式3-7】（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 题型四 利用求根公式写出对应的一元二次方程 【例题4】（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C． ﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 根据求根公式x（b2﹣4ac≥0）先确定出a,b，c的值，然后再写出一元二次方程的一般式即可解答. 【变式4-1】（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时，a，b，c的值是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1 【变式4-2】（2023秋•绥阳县期末）若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【变式4-3】（2024春•仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【变式4-4】（2024•石家庄一模）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【变式4-5】（2023秋•确山县校级月考）下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0 【变式4-6】（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 【变式4-7】（2023秋•永城市校级月考）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 题型五 用公式法解一元二次方程 【例题3】（2022春•吴川市校级期末）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【变式3-3】方程x2+3x﹣14＝0的解是（　　） A．x B．x C．x D．x 【变式3-4】（2023春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（　　） A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11 C．x1＝2，x2 D．x1＝﹣2，x2 【变式3-5】（2023秋•福鼎市期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围 是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【变式3-6】（2023秋•湘潭期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2﹣3的解为 　 　． 【变式3-7】用公式法解方程（x+1）（x﹣2）＝1，化为一般形式为 　 　，其中b2﹣4ac＝　 　，方程的解为 　 　． 【变式3-8】用公式法解方程： （1）x2﹣5x﹣1＝0； （2）3x2﹣1＝4x． 【变式3-9】（2023•邢台开学）嘉淇在用公式法解方程2x2﹣4x＝5时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程2x2﹣4x＝5 解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0（第二步） ∴原方程无实数根（第三步） （1）嘉淇的解答过程从第 　 　步开始出错的，其错误的原因是 　 ； （2）请你写出此题的正确的求解过程． 【变式3-10】用公式法解方程： （1）2x2﹣x﹣5＝0； （2）4x2+x﹣3＝0． 【变式3-11】用公式法解方程： （1）5x2﹣2x﹣1＝0； （2）13y+6＝﹣6y2． 【变式3-12】用公式法解方程． （1）x2﹣5x+2＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0； （3）x2﹣2x+3＝0； （4）x﹣2＝2x2． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.3 用公式法求解一元二次方程 一元二次方程的概念知识点一 ◆1、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式：Δ＝b2－4ac． ◆2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 上面结论反过来也成立.即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0. ◆3、利用判别式判断方程根的情况的一般步骤： 一化：化一般式，确保二次项系数为正； 二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号； 三算：算b2-4ac的值，判断符号； 四判：判断方程根的情况. 公式法解一元二次方程知识点二 ◆1、把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 题型一 利用根的判别式判断根的情况 【例题1】（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【解答】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 先计算出 “Δ”的值，然后即可判断根的情况. 【变式1-1】（2024•河南二模）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】求出△的值，再判断即可． 【解答】解：x2﹣2x+3＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＜0， 所以方程没有实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 【变式1-2】（2024•固始县二模）一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】先计算出Δ，然后根据Δ的值即可判断方程根的情况． 【解答】解：x2+x+1＝0， ∵Δ＝12﹣4＝﹣3＜0， ∴一元二次方程x2+x+1＝0没有实数根， 故选：D． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况． 【变式1-3】（2023•镇平县三模）关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式1-4】（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【分析】先计算根的判别式得到Δ＝（k﹣2）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1） ＝k2﹣4k+4 ＝（k﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式1-5】（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况 为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵b+c＝1， ∴c＝1﹣b， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0， ∴方程有两个实数解． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式1-6】（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案． 【解答】解：∵2k﹣5＞0， ∴k， ∵x2+2x+k＝0， ∴Δ＝22﹣4k＝4（1﹣k）， ∵k， ∴1﹣k＜0， ∴Δ＜0， ∴该方程没有实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【变式1-7】（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（m﹣2）⊗x＝m转化为一般式，由根的判别式Δ＝m2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵（m﹣2）⊗x＝m， ∴x2﹣（m﹣2）x＝m， ∴x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0， ∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0， ∴关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键． 【变式1-8】（2023•桑植县模拟）对于4个实数a、b、c、d给出一种新的运算，定义ad﹣bc． 例如：8×5﹣9×3＝40﹣27＝13，则方程9的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据题意，可以将方程9转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况． 【解答】解：∵9， ∴x2﹣6x＝﹣9，即x2﹣6x+9＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况． 题型二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 【例题2】（2024•增城区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m C．m D．m 【分析】由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0， 解得：m， 故选：B． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0.先根据题意列出方程或不等式然后求解即可解答. 【变式2-1】（2023•瓯海区模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的取值为（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝4 D．a＝﹣4 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可推出根的判别式b2﹣4ac＝0，代入相应的系数即可解得a的取值． 【解答】解：∵x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根∴22﹣4×1×（﹣a）＝0， 解得：a＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能根据方程有两个相等的实数根推出根的判别式等于零是解题的关键． 【变式2-2】（2024•乌鲁木齐模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案． 【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0， 解得c＜4， 故选：D． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式2-3】（2024•金平区校级一模）若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c B．c C．c D．c 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：Δ＝9﹣4c＜0， ∴c， 故选：D． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 【变式2-4】（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D． 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键． 【变式2-5】（2023•榆阳区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）当k＝1时，求原方程的解． 【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可； （2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）方程化为一般式为x2+3x+k﹣1＝0， 根据题意得Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0， 解得k， 所以k的取值范围为k； （2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0， x（x+3）＝0， x＝0或x+3＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式2-6】（2023春•西城区校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＞0，且m﹣4≠0，求出m的取值范围； （2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＝12m+1＞0，且m﹣4≠0， ∴m且m≠4； （2）m满足条件的最小值为m＝0， 此时方程为﹣4x2+x＝0， 解得x1＝0，x2． 【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 【变式2-7】（2024春•北京期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据（1）中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后用分解因式法求出方程的根即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 22﹣4（m﹣1）＞0， 4﹣4m+4＞0， 8﹣4m＞0， ﹣4m＞﹣8， m＜2； （2）∵m为满足条件的最大整数，m＜2， ∴m＝1， ∴原方程为：x2+2x＝0， x（x+2）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程解的情况和解一元二次方程的一般步骤． 【变式2-8】（2023秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0． （1）若该方程的一个根为，求实数m的值； （2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围． 【分析】（1）先把x代入原方程得到m的一元一次方程，求出m的值； （1）根据一元二次方程根的判别式可知△≥0，Δ＝（﹣2）2﹣4m2≥0，然后不等式的解集即可． 【解答】解：（1）把x代入x2﹣2x+m2＝0得：2m2＝0，即1+m2＝0， 解得：m＝±； （2）∵该方程有实数根， ∴△≥0，即Δ＝（﹣2）2﹣4m2≥0， 解得﹣1≤m≤1． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【变式2-9】（2024春•花山区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＞0，且m﹣4≠0，求出m的取值范围； （2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＝12m+1＞0，且m﹣4≠0， ∴m且m≠4； （2）m满足条件的最小值为m＝1， 此时方程为﹣3x2﹣x+1＝0， 解得x1，x2． 【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 题型三 利用根的判别式证明方程一定有根或无根 【例题3】（2023秋•永修县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把x＝4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根． 【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1， ∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0， 解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0， 设另一根为m，根据题意得：4m＝6， 解得：m＝1.5． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先通过计算或化简“Δ”，然后根据“Δ”的情况判断根的情况，对于式子有时要用到配方法,写成一个完全平方式和某个常数的和的形式. 【变式3-1】（2023秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）． 求证：此方程一定有实数根． 【分析】计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论． 【解答】证明：∵m≠0， Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2） ＝m2﹣4m+4+8m ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2≥0， ∴方程一定有实数根； 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了有理数的整除性． 【变式3-2】（2024•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0． （1）当m＝2，n＝﹣5时，求方程的根； （2）当m＝n+2时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【分析】（1）当n＝2时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0，然后利用配方法解方程即可；（2）计算根的判别式的值，再利用根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】（1）解：当m＝2，n＝﹣5时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0， x2+2x＝5， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， x+1＝±， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）证明：当m＝n+2时， 原方程可化为x2+（n+2）x+n＝0， Δ＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根.. 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式3-3】（2023春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0． （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1） ＝4a2+4a+1﹣8a+8 ＝4a2﹣4a+1+8 ＝（2a﹣1）2+8， ∵（2a﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0， ∴此方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9， ∴（2a﹣1）2＝1， 解得：a1＝0，a2＝1， ∵a≠1， ∴a＝0． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键． 【变式3-4】（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4， 即△≥4， ∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0， 解得，m＝2， 则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3； ①当该直角三角形的直角边为为1、3时，斜边为， ∴周长为：4； ②当该直角三角形的斜边为3、直角边为1时，另一条直角边为2， 直角三角形的周长＝1+3+24+2． 【点评】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【变式3-5】（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【分析】（1）根据判别式即可求出答案； （2）根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围． 【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣kx+k﹣1＝0， ∴（x﹣k+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝k﹣1或x＝1， ∵方程有一个根小于0， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1． 【点评】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式3-6】（2024春•乳山市期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出m． 【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3） ＝m2﹣8m+16+12m﹣12 ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0， ∴x1＝﹣1，， ∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝3， ∴m＝2或m＝4． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【变式3-7】（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m+1）2+5，结合偶次方的非负性，可得出Δ＞0，进而可证出：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）将m＝﹣2代入原方程，利用因式分解法解之可得出方程的两根，结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，可得出三角形的三边为1，，，再将其相加即可求出结论． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×m×（﹣5）＝4m2﹣12m+9+20m＝4m2+8m+9＝4（m+1）2+5． ∵（m+1）2≥0， ∴4（m+1）2+5＞0，即Δ＞0， ∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝﹣2时，原方程为2x2﹣7x+5＝0，即（2x﹣5）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2， ∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1＝2， ∴等腰三角形的三边只能为1，，， ∴等腰三角形的周长为16． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、因式分解法解一元二次方程以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，找出等腰三角形三条边的长度． 题型四 利用求根公式写出对应的一元二次方程 【例题4】（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值． 根据求根公式x（b2﹣4ac≥0）先确定出a,b，c的值，然后再写出一元二次方程的一般式即可解答. 【变式4-1】（2023秋•霞浦县期中）一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时，a，b，c的值是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：2x2﹣3x＝1， 整理得：2x2﹣3x﹣1＝0， 用求根公式求解时，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 【变式4-2】（2023秋•绥阳县期末）若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】由x是某个一元二次方程的根知此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1． 【解答】解：∵x是某个一元二次方程的根， ∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 【变式4-3】（2024春•仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可． 【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是记住公式法解方程． 【变式4-4】（2024•石家庄一模）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【分析】利用求根公式判断即可． 【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值． 【变式4-5】（2023秋•确山县校级月考）下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：利用公式法可知： A．x，故不符合题意． B．x，故不符合题意． C．x，故不符合题意． D．x，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是求根公式x． 【变式4-6】（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 【变式4-7】（2023秋•永城市校级月考）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 【分析】用公式法写出方程的解，再与题中x的值加以对比，即可得到答案． 【解答】解：设一元二次方程为：ax2+bx+c＝0， 则两根为：， 与对比， ∴a＝4，b＝6，c＝1， 故答案为：4x2+6x+1＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的公式求解法，关键运用求根公式来解答． 题型五 用公式法解一元二次方程 【例题3】（2022春•吴川市校级期末）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（　　） A． B． C． D． 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：x2+x﹣1＝0 由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键． 解题技巧提炼 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【变式3-1】（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q， ∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解， 故选：A． 【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式3-2】（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2 【分析】先将方程化为一般形式，然后即可写出a、b、c，本题得以解决． 【解答】解：∵3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 【变式3-3】方程x2+3x﹣14＝0的解是（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：x2+3x﹣14＝0， ∵a＝1，b＝3，c＝﹣14， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣14）＝65＞0， 则x， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式3-4】（2023春•琅琊区校级月考）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（　　） A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11 C．x1＝2，x2 D．x1＝﹣2，x2 【分析】利用定义的新运算可得（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，整理得：2x2﹣7x﹣22＝0，然后利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答． 【解答】解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28， x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28， x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28， 2x2﹣7x+6＝28， 2x2﹣7x﹣22＝0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0， ∴x， ∴x1，x22， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 【变式3-5】（2023秋•福鼎市期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围 是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.22.4，依此即可求出一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围． 【解答】解：x2﹣x＝1.1， x2﹣x﹣1.1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x， x1，x2， ∵2.22.4， ∴3.2＜13.4， ∴1.61.7， 即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7． 故选：B． 【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【变式3-6】（2023秋•湘潭期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2﹣3的解为 　 　． 【分析】当x＜1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝1；当x＞1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝x，分别解方程即可． 【解答】解：当x＜1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝1， 即x2＝4， 解得x1＝2（不合题意，舍去），x2＝﹣2， 当x＞1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝x， 即x2﹣x﹣3＝0， 解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式3-7】用公式法解方程（x+1）（x﹣2）＝1，化为一般形式为 　 　，其中b2﹣4ac＝　 　，方程的解为 　 　． 【分析】先将方程转化为一元二次方程的一般形式，然后计算b2﹣4ac，再根据公式法解方程即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝1， 则x2﹣2x+x﹣2＝1， 整理，得一般形式为：x2﹣x﹣3＝0． ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，熟练掌握用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式3-8】用公式法解方程： （1）x2﹣5x﹣1＝0； （2）3x2﹣1＝4x． 【分析】（1）直接利用公式法求方程有根即可； （2）把方程化为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴Δ＝25+4＝29， ∴x， ∴x1，x2． （2）3x2﹣1＝4x， 原方程可化为：3x2﹣4a﹣1＝0， ∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝16+12＝28， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查用公式法解一元二次方程，熟知用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0是解题的关键． 【变式3-9】（2023•邢台开学）嘉淇在用公式法解方程2x2﹣4x＝5时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程2x2﹣4x＝5 解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝5（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0（第二步） ∴原方程无实数根（第三步） （1）嘉淇的解答过程从第 　 　步开始出错的，其错误的原因是 　 ； （2）请你写出此题的正确的求解过程． 【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式； （2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解． 【解答】解：（1）确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：一；原方程没有化成一般形式； （2）原方程化成一般形式是：2x2﹣4x﹣5＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查利用公式法求解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 【变式3-10】用公式法解方程： （1）2x2﹣x﹣5＝0； （2）4x2+x﹣3＝0． 【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． （2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）这里a＝4，b＝1，c＝﹣3， ∵Δ＝12﹣4×4×（﹣3）＝49＞0， ∴x， ∴x1，x2＝﹣1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【变式3-11】用公式法解方程： （1）5x2﹣2x﹣1＝0； （2）13y+6＝﹣6y2． 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可． 【解答】解：（1）5x2﹣2x﹣1＝0， 这里a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）13y+6＝﹣6y2， 6y2+13y+6＝0， 这里a＝6，b＝13，c＝6， ∵Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×6×6＝25＞0， ∴y， ∴y1，y2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式（已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0，那么当b2﹣4ac≥0时，方程的解是x）是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 【变式3-12】用公式法解方程． （1）x2﹣5x+2＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0； （3）x2﹣2x+3＝0； （4）x﹣2＝2x2． 【分析】先求出各方程的判别式，再求出x的值即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x+2＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17＞0， ∴x， 即x1，x2； （2）∵2x2﹣3x﹣5＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝9+40＝49＞0， ∴x，即x1＝﹣1，x2； （3）x2﹣2x+3＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝12﹣12＝0， ∴x1＝x2； （4）x﹣2＝2x2， 方程整理得2x2x+2＝0， ∵Δ＝（）2﹣4×2×2＝2﹣16＝﹣14＜0， ∴方程无实数根． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知利用公式法解一元二次方程是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$