2.2 用配方法求解一元二次方程（7大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.2 用配方法求解一元二次方程 直接开平方法知识点一 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ◎◎◎注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 配方法知识点二 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【变式1-1】（2024•耒阳市一模）一元二次方程x2＝3的根为（　　） A．x B．x1，x2＝0 C．x1＝x2 D．x1，x2 【变式1-2】（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【变式1-3】（2024•广阳区校级开学）一元二次方程x2+m＝0（m＜0）的解是（　　） A．， B． C． D．无解 【变式1-4】（2023春•淮北月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 【变式1-5】（2023春•抚顺月考）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【变式1-6】（2024春•岫岩县月考）（1）9x2﹣25＝0． （2）24（x﹣1）2﹣6＝0． 【变式1-7】（2023秋•香洲区校级月考）解方程： （1）3x2＝9； （2）9（y+4）2﹣49＝0． 题型二 利用配方变形求字母的值 【例题2】（2023春•瑞安市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣4，14 B．4，14 C．2，2 D．﹣2，2 利用配方变形求字母的值‌是一种数学技巧，主要用于解决一元二次方程或代数式的问题.通过将给定的表达式通过配方变形为标准形式，可以更方便地求解未知数的值. 【变式2-1】（2023•泉州一模）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．6 【变式2-2】（2023•海门市一模）用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．8 B． C． D． 【变式2-3】（2024•德化县模拟）用配方法将方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a﹣b的值 是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7 【变式2-4】（2023春•鹿城区校级期中）若用配方法解方程x2+4x+1＝0时，将其配方为（x+b）2＝c的形式，则c＝　 　． 【变式2-5】（2024春•丽水期末）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　． 【变式2-6】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝　 　． 【变式2-7】（2023春•金安区校级期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　 ． 题型三 由解的情况求字母的取值范围 【例题3】（2023秋•武侯区期末）若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1 对于x2＝p或（nx+m）2＝p形式的一元二次方程，当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，当p=0时，方程有两个相等的实数根，当p＜0时，方程无实数根，反之根据实数根的情况可以列出不等式求出代求的字母的取值范围. 【变式3-1】（2023秋•临高县期中）若方程（x-4）2 =a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 【变式3-2】（2023春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【变式3-3】（2023秋•衡山县期末）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件 是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1 【变式3-4】（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　 　． 【变式3-5】（2023秋•庄浪县期末）若方程（x﹣m）2＝b有解，那么b的取值范围是　 　． 题型四 用配方法解一元二次方程 【例题4】（2023秋•江阳区校级月考）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝12 D．（x+2）2＝1 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【变式4-1】（2023•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝17 B． C．（x﹣3）2＝17 D． 【变式4-2】（2024•沅江市校级开学）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x+4）2＝16 C．（x﹣4）2＝16 D．（x﹣3）2＝14 【变式4-3】（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023秋•峨山县期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7 【变式4-5】（2024春•淮北月考）用配方法解方程3x2﹣4x﹣3＝0，应把它先变形为（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】用配方法解方程： （1）x2+5x﹣4＝0； （2）x2+8x﹣5＝0． 【变式4-7】用配方法解方程． （1）4x2+8x+3＝0； （2）； （3）； （4）（2y﹣3）2＝（y﹣2）（y﹣3）． 题型五 利用整体思想解一元二次方程 【例题5】（2023秋•武胜县期末）若方程ax2+c＝0的解是x＝1，则方程a（x﹣1）2+c＝0的解是x＝　 　． 本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 【变式3-1】（2024春•顺义区校级月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．无法求解 【变式3-2】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【变式3-3】（2023秋•镜湖区校级期中）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，则方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．2，﹣5 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．﹣2，5 【变式3-4】（2024春•嘉兴期末）关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是　 　． 【变式3-5】（2024春•崇川区校级月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是 　 　． 题型六 利用配方法比较代数式的大小 【例题6】（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A． x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 作差法是一种常用的比较两个数或代数式大小的方法，其基本原理是通过作差来比较两个数或代数式的大小.在得到差之后，可能需要对差进行变形，以便更容易地确定其符号.变形的方法包括配方、因式分解等恒等变形手段结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 【变式6-1】（2023春•即墨区期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的 是（　　） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 【变式6-2】（2023春•秦淮区期中）已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定 【变式6-3】（2023秋•黔江区期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 【变式6-4】（2023秋•江北区校级期末）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【变式6-5】（2023秋•遂平县期末）已知实数a、b满足等式x＝a2+b2+20，y＝a（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y 【变式6-6】（2023春•屏南县期中）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 题型七 利用配方法解决二次三项式的最值问题 【例题7】（2023春•拱墅区校级期中）已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 求二次三项式的最值问题，应先把这个二次三项式配成完全平方式的形式，加上某一个常数的形式，然后再根据二次项的系数a的符号来判定这个式子有最大值和最小值，求出这个最大值和最小值即可. 【变式7-1】（2023春•杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　） A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数 【变式7-2】（2023秋•宁远县校级月考）二次三项式x2﹣8x+22的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】（2023•天门三模）已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 【变式7-4】（2023秋•龙岩期中）已知实数m，n满足m2+n2＝2+3mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 【变式7-6】（2024春•鹿城区校级期中）先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值，解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． 问题： （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 【变式7-7】（2024春•碑林区校级月考）（1）当x＝　 　时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 　 ． （2）当x＝　 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 　 　． （3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.2 用配方法求解一元二次方程 直接开平方法知识点一 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ◎◎◎注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 配方法知识点二 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 题型一 用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【解答】解：∵（x+1）2＝16， ∴x+1＝±4， ∴x+1＝4或x+1＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【变式1-1】（2024•耒阳市一模）一元二次方程x2＝3的根为（　　） A．x B．x1，x2＝0 C．x1＝x2 D．x1，x2 【分析】运用直接开平方法即可解决问题． 【解答】解：因为x2＝3， 所以x是3的平方根， 则． 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法是解题的关键． 【变式1-2】（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-3】（2024•广阳区校级开学）一元二次方程x2+m＝0（m＜0）的解是（　　） A．， B． C． D．无解 【分析】原方程整理后利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：x2+m＝0（m＜0）， 整理得：x2＝﹣m， 直接开平方得：x＝±， 即x1，x2， 故选：C． 【点评】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【变式1-4】（2023春•淮北月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以m﹣1+2m+3＝0，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13， 且， ∴m﹣1+2m+3＝0， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方，灵活运用一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数是解题关键． 【变式1-5】（2023春•抚顺月考）解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， ∴x＝±9， ∴x1＝9，x2＝﹣9； （2）4（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1，x2． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征正确寻找解方程的方法． 【变式1-6】（2024春•岫岩县月考）（1）9x2﹣25＝0． （2）24（x﹣1）2﹣6＝0． 【分析】（1）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； （2）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； 【解答】解：（1）9x2﹣25＝0， ∴9x2＝25， ∴， 解得：； （2）24（x﹣1）2﹣6＝0， ∴24（x﹣1）2＝6， ∴， ∴， 解得：或； 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，掌握平方根的定义是解题的关键； 【变式1-7】（2023秋•香洲区校级月考）解方程： （1）3x2＝9； （2）9（y+4）2﹣49＝0． 【分析】（1）用直接开平方法求解即可； （2）用直接开平方法求解即可． 【解答】解：3x2＝9， 两边同时除以3得：x2＝3， 开平方得：； （2）9（y+4）2﹣49＝0， 移项得：9（y+4）2＝49， 两边同时除以9得：， 开方得：， 解得：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 题型二 利用配方变形求字母的值 【例题2】（2023春•瑞安市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣4，14 B．4，14 C．2，2 D．﹣2，2 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a、b的值． 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， 所以a＝﹣2，b＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 利用配方变形求字母的值‌是一种数学技巧，主要用于解决一元二次方程或代数式的问题.通过将给定的表达式通过配方变形为标准形式，可以更方便地求解未知数的值. 【变式2-1】（2023•泉州一模）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．6 【分析】羡慕ab常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m的值． 【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0， x2﹣6x＝1， x2﹣6x+9＝10， （x﹣3）2＝10， 所以m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【变式2-2】（2023•海门市一模）用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．8 B． C． D． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上1，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到a、b的值，最后计算它们的和即可． 【解答】解：2x2+4x﹣5＝0， 2x2+4x＝5， x2+2x， x2+2x+1， （x+1）2， 所以a＝1，b， 所以a+b． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【变式2-3】（2024•德化县模拟）用配方法将方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a﹣b的值 是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣7 【分析】把已知方程配方，求出a，b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣2）2＝1， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 【变式2-4】（2023春•鹿城区校级期中）若用配方法解方程x2+4x+1＝0时，将其配方为（x+b）2＝c的形式，则c＝　 　． 【分析】根据配方法进行计算即可得到c的值． 【解答】解：∵x2+4x+1＝0， ∴x2+4x+4＝3， 即（x+2）2＝3， ∴c＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【变式2-5】（2024春•丽水期末）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　． 【分析】利用完全平方公式把（x﹣3）2＝0变形为一般式，从而得到m的值． 【解答】解：∵（x﹣3）2＝0， ∴x2﹣6x+9＝0， ∴m＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键． 【变式2-6】（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝　 　． 【分析】先移项，再两边都配上16，然后写成完全平方公式即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16， 即（x﹣4）2＝21， ∴b＝21， ∴a＝﹣4， ∴ab＝﹣84， 故答案为：﹣84． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式2-7】（2023春•金安区校级期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值． 【解答】解：x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6． 所以m＝2，n＝6， 所以mn＝12． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 题型三 由解的情况求字母的取值范围 【例题3】（2023秋•武侯区期末）若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1 【分析】根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根， ∴m+1≥0， 解得：m≥﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法﹣直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 对于x2＝p或（nx+m）2＝p形式的一元二次方程，当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，当p=0时，方程有两个相等的实数根，当p＜0时，方程无实数根，反之根据实数根的情况可以列出不等式求出代求的字母的取值范围. 【变式3-1】（2023秋•临高县期中）若方程（x-4）2 =a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然 后求得a的取值范围． 【解答】解：∵方程（x-4）2 =a有实数解， ∴x-4 =±， ∴a ≥0； 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 【变式3-2】（2023春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）2＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 【变式3-3】（2023秋•衡山县期末）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件 是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1 【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可． 【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解． 即m＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数． 【变式3-4】（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　 　． 【分析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（x+1）⊕（3m）＝0， ∴（x+1）2﹣6m＝0， ∴（x+1）2＝6m， ∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根， ∴6m＜0， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 【变式3-5】（2023秋•庄浪县期末）若方程（x﹣m）2＝b有解，那么b的取值范围是　 　． 【分析】因为方程为（x+a）2＝b形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于0，所以在有解的情况下要求b≥0． 【解答】解：在方程（x﹣m）2＝b中，（x﹣m）2≥0，故b≥0． 【点评】本题需要将（x﹣m）看作一个整体，还需熟知在实数范围内任何数的平方均为非负数． 题型四 用配方法解一元二次方程 【例题4】（2023秋•江阳区校级月考）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝12 D．（x+2）2＝1 【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， 移项得x2﹣4x＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+4＝﹣3+4， 即（x﹣2）2＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，根据配方法，将常数项移到等式右边，在等式两边加上一次项系数的一半的平方，将等式左边配方完全平方形式，即可解答． 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【变式4-1】（2023•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝17 B． C．（x﹣3）2＝17 D． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：2x2﹣12x+1＝0， x2﹣6x， x2﹣6x+99， （x﹣3）2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【变式4-2】（2024•沅江市校级开学）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x+4）2＝16 C．（x﹣4）2＝16 D．（x﹣3）2＝14 【分析】利用配方法对所给方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2﹣6x﹣5＝x2﹣6x+9﹣9﹣5＝（x﹣3）2﹣14， 所以一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可化为（x﹣3）2﹣14＝0， 即（x﹣3）2＝14． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 【变式4-3】（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用配方法判断即可． 【解答】解：x2﹣x0， x2﹣x， x2﹣x， （x）2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 【变式4-4】（2023秋•峨山县期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7 【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可． 【解答】解：∵x2﹣6x+2＝0， ∴x2﹣6x＝﹣2， 则x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【变式4-5】（2024春•淮北月考）用配方法解方程3x2﹣4x﹣3＝0，应把它先变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案． 【解答】解：3x2﹣4x﹣3＝0， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ∴，即， 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【变式4-6】用配方法解方程： （1）x2+5x﹣4＝0； （2）x2+8x﹣5＝0． 【分析】（1）先把方程变形为 x2+5x4，即（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形为x2+8x+16＝5+16，即（x+4）2＝21，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）x2+5x﹣4＝0， x2+5x＝4， x2+5x4，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2）x2+8x﹣5＝0， x2+8x＝5， x2+8x+16＝5+16，即（x+4）2＝21， ∴x+4＝±， ∴x1＝4，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式4-7】用配方法解方程． （1）4x2+8x+3＝0； （2）； （3）； （4）（2y﹣3）2＝（y﹣2）（y﹣3）． 【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到（y）2，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用配方法得到（x﹣6）2＝32，然后利用直接开平方法解方程； （4）利用配方法得到（y）2，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）4x2+8x+3＝0， 4x2+8x＝﹣3， x2+2x， ， （x+1）2， x+1， ∴，； （2）， ， ， ， ， （y）2， ， ∴，； （3）， x2﹣12x+4＝0， x2﹣12x＝﹣4， x2﹣12x+36＝32， （x﹣6）2＝32， x﹣6， ∴，； （4）（2y﹣3）2＝（y﹣2）（y﹣3）， 4y2﹣12y+9＝y2﹣5y+6， 3y2﹣7y＝﹣3， ， ， （y）2， ， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 题型五 利用整体思想解一元二次方程 【例题5】（2023秋•武胜县期末）若方程ax2+c＝0的解是x＝1，则方程a（x﹣1）2+c＝0的解是x＝　 　． 【分析】由题意可知x21，即可得出（x﹣1）21，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：∵方程ax2+c＝0的解是x＝1， ∴x21， ∴方程a（x﹣1）2+c＝0中，（x﹣1）21， ∴x﹣1＝±1， ∴x1＝2，x2＝0， 故答案为：x1＝2，x2＝0． 【点评】此题主要考查了直接开平方法法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 【变式3-1】（2024春•顺义区校级月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．无法求解 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣3或x+2＝2， 解得x＝﹣5或x＝0． 故方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x1＝﹣5，x2＝0． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【变式3-2】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为：a[（x+2）+m]2+b＝0， 即x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得：x1＝0或x2＝﹣3， 故选：D． 【点评】此题主要考查了方程解的定义，掌握直接开平方是关键． 【变式3-3】（2023秋•镜湖区校级期中）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，则方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．2，﹣5 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．﹣2，5 【分析】根据已知方程的解得出x﹣1＝﹣4或x﹣1＝3，求出x的值即可 【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3， ∴方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）中x﹣1＝﹣4或x﹣1＝3， 解得：x＝﹣3或4， 即方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和4， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出x﹣1＝﹣4或x﹣1＝3是解此题的关键． 【变式3-4】（2024春•嘉兴期末）关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是　 　． 【分析】仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2， ∴（x+h﹣3）2+k＝0的解是x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，即x1＝0，x2＝5． 故答案为：x1＝0，x2＝5． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 【变式3-5】（2024春•崇川区校级月考）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是 　 　． 【分析】已知方程a（x+m）2+b＝0的解，对比所求方程a（2x+m+1）2+b＝0，两者在结构上是一致的，因此只需要把2x+1看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 【解答】解：∵x1＝﹣3，x2＝2，是方程a（x+m）2+b＝0的解， ∴令2x+1＝x1，2x+1＝x2，满足方程a（x+m）2+b＝0，即a（2x+1+m）2+b＝0． ∴x′12，x′2， ∴方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是：x′1＝﹣2，x′2． 故答案为：x′1＝﹣2，x′2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 题型六 利用配方法比较代数式的大小 【例题6】（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2， ∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 作差法是一种常用的比较两个数或代数式大小的方法，其基本原理是通过作差来比较两个数或代数式的大小.在得到差之后，可能需要对差进行变形，以便更容易地确定其符号.变形的方法包括配方、因式分解等恒等变形手段结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 【变式6-1】（2023春•即墨区期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的 是（　　） A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 【分析】首先求得m﹣n＝2b﹣b2﹣1，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可． 【解答】解：∵m＝2b+2022，n＝b2+2023， ∴m﹣n＝2b﹣b2﹣1＝﹣（b﹣1）2≤0， ∴m≤n． 故选：D． 【点评】此题考查完全平方公式的运用，以及非负数的性质，作差比较大小是一种常用的方法． 【变式6-2】（2023春•秦淮区期中）已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定 【分析】利用作差法比较A与B的大小即可． 【解答】解：∵A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1， ∴A﹣B＝a2﹣a+4﹣3a+1＝a2﹣4a+4+1＝（a﹣2）2+1≥1＞0， 则A＞B， 故选：A． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式6-3】（2023秋•黔江区期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 【分析】利用作差法和配方法作答即可． 【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣10） ＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+10 ＝x2﹣2x+y2﹣6y+10 ＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9 ＝（x﹣1）2+（y﹣3）2， ∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y﹣3）2≥0， 即A﹣B≥0， ∴A≥B． 故选：C． 【点评】本题考查了配方法的应用，能够运用作差法比较两个数的大小，结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键． 【变式6-4】（2023秋•江北区校级期末）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　） A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2， ∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0， ∴x≥y． 故选：D． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式6-5】（2023秋•遂平县期末）已知实数a、b满足等式x＝a2+b2+20，y＝a（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y 【分析】计算x﹣y的值，利用配方和非负数的和不小于0，综合得结论． 【解答】解：∵x﹣y ＝a2+b2+20﹣a（2b﹣a） ＝a2+b2+20﹣2ab+a2 ＝（a﹣b）2+a2+20． 又∵（a﹣b）2≥0，a2≥0， ∴（a﹣b）2+a2+20＞0． 即x＞y． 故选：D． 【点评】本题考查了实数大小的比较、配方法和非负数和的应用等知识点．计算x﹣y的值并判断结果的正负是解决本题的关键．比较两个数的大小可以通过减法．当两个数相减大于0时，被减数大于减数；当两个数相减等于0时，被减数等于减数；当两个数相减小于0时，被减数小于减数． 【变式6-6】（2023春•屏南县期中）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 【分析】（1）根据题意得到x2y+4y﹣4xy＞0，因式分解得到y（x﹣2）2＞0，进而得到y的符号即可； （2）将a2+c2和2ac+b2作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【解答】解：（1）∵A＞B， ∴A﹣B＞0， 即x2y+4y﹣4xy＞0， ∴y（x2+4﹣4x）＝y（x﹣2）2＞0， ∴（x﹣2）2＞0，y＞0； （2）∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+b＞c，a＜b+c， ∵a2﹣b2+c2﹣2ac＝a2+c2﹣2ac﹣b2＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）， ∴（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0， 所以a2﹣b2+c2﹣2ac的符号为负． ∴a2+c2＜2ac+b2． 【点评】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法． 题型七 利用配方法解决二次三项式的最值问题 【例题7】（2023春•拱墅区校级期中）已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】将代数式配方后讨论最值即可． 【解答】解：x2+4x+5 ＝x2+4x+4+1 ＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴（x+2）2+1的最小值是1， 即x2+4x+5的最小值为1． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式配方的应用，判断实数a2的取值是解题关键． 求二次三项式的最值问题，应先把这个二次三项式配成完全平方式的形式，加上某一个常数的形式，然后再根据二次项的系数a的符号来判定这个式子有最大值和最小值，求出这个最大值和最小值即可. 【变式7-1】（2023春•杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　） A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数 【分析】先根据题意把原式子配成（x+1）2+（y﹣2）2+2的形式，再根据偶次方的非负性即可得出结果． 【解答】解：原式＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2， ∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2， 故选：A． 【点评】本题考查的主要是配方法的应用和偶次方的非负性，解题关键是把原代数式配成（x+1）2+（y﹣2）2+2的形式． 【变式7-2】（2023秋•宁远县校级月考）二次三项式x2﹣8x+22的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】将x2﹣8x+22配方成（x﹣4）2+6的形式后即可确定最值． 【解答】解：∵x2﹣8x+22＝x2﹣8x+16﹣16+22＝（x﹣4）2+6， ∴最小值为6， 故选：B． 【点评】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式7-3】（2023•天门三模）已知实数m，n满足 m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，则 （m+1）2+（n+1）2 的最小值是（　　） A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14 【分析】根据一元二次方程判别式的意义得出a≥2，利用根与系数关系得到m+n和mn的值，代入（m﹣1）2+（n﹣1）2变形后的代数式，再利用配方法以及二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：∵m、n满足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0， ∴m、n是方程x2﹣2ax+a2﹣2a+4＝0的两个实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+4）＝8a﹣16≥0，且m+n＝2a，mn＝a2﹣2a+4， ∴a≥2， ∴（m+1）2+（n+1）2 ＝m2+2m+1+n2+2n+1 ＝m2+n2+2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn+2（m+n）+2 ＝4a2﹣2（a2﹣2a+4）+4a+2 ＝2a2+8a﹣6 ＝2（a+2）2﹣14， ∴a≥2， ∴当a＝2时，（m+1）2+（n+1）2的最小值是18， 故选：A． 【点评】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键． 【变式7-4】（2023秋•龙岩期中）已知实数m，n满足m2+n2＝2+3mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10+3mn，再判断出mn，即可求出答案． 【解答】解：∵m2+n2＝2+3mn， ∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n） ＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2 ＝5m2+5n2﹣12mn ＝5（2+3mn）﹣12mn ＝10+3mn， ∵m2+n2＝2+3mn， ∴（m+n）2＝2+5mn≥0（当m+n＝0时，取等号）， ∴mn， ∴（m﹣n）2＝2+mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号）， ∴mn≥﹣2， ∴mn， ∴3mn， ∴10+3mn， 即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了配方法，完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是解本题的关键． 【变式7-5】（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 【分析】本题先将W转化为2xy+2，把已知方程x2﹣xy+y2＝2，化成x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，根据配方法的应用，确定其最大值和最小值，从而得到M，m的大小即可得解． 【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝2， ∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2， ∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2， ∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最小值为，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m． ∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6， ∴M+m6＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了配方法的应用，关键是将W转化为2xy+2，再确定xy的最值． 【变式7-6】（2024春•鹿城区校级期中）先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值，解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． 问题： （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值． （2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0左边分组配方，根据偶次方的非负性可得x与y的值，则问题可解； （2）将5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028分组配方，写成两个完全平方式加2019的形式，根据偶次方的非负性可得x与y的值，可得答案． 【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+2＝0， x＝y＝﹣2； （2）∵5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028 ＝（4x2+y2﹣4xy）+（x2﹣6x+9）+2019 ＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2019． ∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0， ∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2019≥2019． ∴当2x﹣y＝0，x﹣3＝0时， 即当x＝3，y＝6时，代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028有最小值2019． 【点评】本题考查了完全平方式在代数式求值中的应用，熟练运用配方法并根据偶次方的非负性得出未知数的值是解题的关键． 【变式7-7】（2024春•碑林区校级月考）（1）当x＝　 　时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 　 ． （2）当x＝　 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 　 　． （3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）由配方可知x2﹣6 x+12＝（x﹣3）2+3，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10，然后根据非负数的性质，判断出x和y的取值，然后进行计算即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x＝3时，多项式x2﹣6 x+12取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3． （2）﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，多项式﹣x2+2x﹣3取最大值，且最大值为﹣2； 故答案为：1，﹣2； （3）2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9 ＝2（x2﹣2xy+y2）+（4y2﹣12y+9）+10 ＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10， ∵（x﹣y）2≥0，（2y﹣3）2≥0， ∴当x﹣y＝0且2y﹣3＝0，即时，多项式2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9取最小值，并且最小值为10． ，，最小值是10． 【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$