专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角并证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十一 作等腰三角形 题型十二 等腰三角形的性质与判定 题型十三 三角形边角的不等关系 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 1．如果过等腰三角形顶点的一条直线能将它分为两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的底角可以是（　　） A． B． C． D．或或 2．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）． (1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形； (2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形； (3)在图③中以为边画一个面积为4的． 【经典例题二 等边对等角并证明】 【例2】如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 3．如图，已知中，，，点D为的中点 (1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次相遇？并求出相遇的具体位置？ 【经典例题三 三线合一】 【例3】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 1．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【经典例题四 根据三线合一证明】 【例4】如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（　　） A． B． C． D． 1．如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 3．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【经典例题五 格点图中画等腰三角形】 【例5】如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是 ． 3．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【经典例题六 找出图中的等腰三角形】 【例6】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 3．如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【经典例题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例7】已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 1．求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 3．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【经典例题八 根据等角对等边证明边相等】 【例8】如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的中点且，平分，交于点．若，则的长为 ． 3．如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【经典例题九 根据等角对等边求边长】 【例9】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 1．如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 2．如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 3．如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例10】如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 1．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    3．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【经典例题十一 作等腰三角形】 【例11】以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A．只有① B．只有② C．①② D．①②③ 1．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；    (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 【经典例题十二 等腰三角形的性质与判定】 【例12】如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 3．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【经典例题十三 三角形边角的不等关系】 【例13】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 2．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【经典例题十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 1．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题十五 等边三角形的判定】 【例15】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 1．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 3．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【经典例题十六 等边三角形的判定和性质综合】 【例16】如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 1．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 3．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 2．（2024年安徽省合肥市多校联考中考夺魁考试（三模）数学试题）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 6．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ． 8．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 10．（21-22八年级下·江西赣州·期末）如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，点在边上，点F在的延长线上，连接，点是与的交点，且交的延长线于点． 【问题探究】（1）与相等吗？说明理由； （2）试说明：； 【衍生拓展】（3）试说明：． 13．（22-23八年级上·山东德州·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 14．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 15．（2024·广东惠州·模拟预测）综合实践 【提出问题】在一个等腰三角形中，过其中一个顶点作一条直线，把原三角形分为两个等腰三角形，原等腰三角形的顶角的度数是多少？能确定吗？ 【探究问题】如图，是锐角三角形，过点B作交于点D，使得，且． （1）求的度数． （2）当等腰三角形是锐角三角形时，还存在其他的情况吗？若存在，画出大致图象，根据图象求出的度数；若不存在，请说明理由． 【再次探究】（3）除“探究问题”的情况之外，还存在其他类型的等腰三角形吗？若存在，请画出大致图象并求出它的顶角度数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形的轴对称性重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角并证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十一 作等腰三角形 题型十二 等腰三角形的性质与判定 题型十三 三角形边角的不等关系 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、∵， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、∵， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、∵，， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 1．如果过等腰三角形顶点的一条直线能将它分为两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的底角可以是（　　） A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，充分掌握等腰三角形内部角度的计算是解决本题的关键． 因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状，因此应该分四种情况进行分析，从而得到答案； 【详解】解：分类讨论如下： ①如图，在中，， 又 ， 又 ②如图，在中，， 又 ③如图，在中，， 又 又 ， ， ， ④如图，在中，， 设， 又 又 解得： 综上所述：等腰三角形的底角可以是：； 故选D． 2．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”．熟练掌握新定义，等腰三角形定义，分类讨论，是解决问题的关键． 记为等腰三角形，周长为13，，当为腰时，则底边为，“优美比”；当为底边时，则腰为，“优美比”． 【详解】如图，记为等腰三角形，周长为13，， 当为腰时， 则底边为， ，符合， 此时，“优美比”； 当为底边时， 则腰为， ，符合， 此时，“优美比”． ∴k为或． 故答案为：或． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）． (1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形； (2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形； (3)在图③中以为边画一个面积为4的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可； （2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可； （3）利用分割法作出一个面积为4的即可． 【详解】（1）解：如图①， 要使等腰三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的等腰三角形； （2）解：如图②， 要使钝角三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的钝角三角形； （3）解：如图③， 图③左图中，， 图③右图中，， 以上两种情况即为所作出的面积为4的． 【经典例题二 等边对等角并证明】 【例2】如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点与交于点E．以下结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由，，可得，则，即可判断选项A；再利用证，即可判断选项D；根据得，则，再利用证，得，，进而可得，即可判断选项C；在中，，即可判断选项B． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，则， ∴，则，故A正确； ∴， ∴，故D正确； ∵，则， ∴，则， 在和中， ∴， ∴，， ∴，则，故C正确； 在中，，故B错误； 故选：B． 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键．连接与交于点P，则此时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N， ∴A，C关于对称， 连接与交于点P，则此时的周长取到最小值， ∵，点D是的中点， ∴， ∵垂直平分，点P是上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 2．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知中，，，点D为的中点 (1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次相遇？并求出相遇的具体位置？ 【答案】(1)①全等，见解析；② (2)经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇，且点P在距离C点处 【分析】本题考查了三角形上的动点问题，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握相关判定和性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据路程等于速度乘以时间可得，，结合已知可得，，然后根据边角边即可证明结论；②设点Q的运动速度为，点P的运动速度为，当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等时，若与全等，且，则可得，，由此根据已知点P的运动速度可求得两点的运动时间，进而求出点Q的运动速度； （2）由于，故只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程，设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，根据路程之间的关系列方程，求出第一次相遇的时间，进而求得点P一共运动了，结合的周长为，即可确定相遇的具体位置． 【详解】（1）解：① 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， 则，， ，，点D为的中点 ，， ， ， ， ② 设点Q的运动速度为，点P的运动速度为， 若与全等， ， ， 与全等，且， ，， 点Q、P的运动时间为， ． （2）解： ， 只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程， 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意得，， 解得：， 点P一共运动了， 又 的周长为， ， 经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇，且点P在距离C点处． 【经典例题三 三线合一】 【例3】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 1．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键． 连接，，由等腰三角形三线合一的性质得，，，则有，要使的周长为最小值，只需、、三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：   ，点是的中点，， ，， 面积是16， ， ， ∵点A与点C关于直线对称， ， ， 要使的周长为最小值，只需、、三点共线，即， 的周长为最小值为． 故选：B． 2．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质， （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点 ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在三角形中，， ， ∴． 【经典例题四 根据三线合一证明】 【例4】如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交于点N，证明三角形全等，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点N， ， 为的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 1．如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案． 【解答】解：是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，是的平分线， ∴，故A结论正确； ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ，故C结论正确； ，故B结论正确； ∴D结论不一定正确． 故选：D． 2．如图，等边和等腰，，点，分别为边，的中点，若的面积为16，，点是上的动点，则的周长的最小值为 . 【答案】10 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，以及利用轴对称解决三角形的周长问题． 连接交于点，根据三线合一，得到关于对称，根据的周长等于，当三点共线时，的周长最短，再根据的面积为16，求出的长，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】解：连接交于点，连接 ∵是等边三角形，点E为边的中点， ∴关于对称， ∴， ∴， 即：当三点共线时，的周长最短， ∵是等腰三角形，F为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：10． 3．在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明得出，即可得证； （2）由角平分线的性质定理得出，即可证明，，由等腰三角形的性质得出，即可证明，． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴，即， ∴平分； （2）解：由（1）可得：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴； ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 【经典例题五 格点图中画等腰三角形】 【例5】如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有8个， 故答案为：8． 3．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    【经典例题六 找出图中的等腰三角形】 【例6】如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【经典例题七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例7】已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定；A选项，可证是的垂直平分线，可证是等腰三角形；B，由可证，可得，可证是等腰三角形；D,根据三角形的面积公式可得，即可证明是等腰三角形；C选项无法证明是等腰三角形，据此分析，即可求解． 【详解】解：如图所示，    解：A、，， 是的垂直平分线， ∴， 是等腰三角形， 故A不符合题意； B、，，， ， 是等腰三角形， 故B不符合题意； C、无法判断是等腰三角形，故C符合题意； D、，是边上的高， 是的垂直平分线， 是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 1．求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 2．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，注意充分利用所学知识求解． 可根据全等三角形的性质和判定判断①②③是否正确； 【详解】解：①当时，且是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②当时， 过点作，， ∴， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ③∵，是的边上的中线， ∴， ∴不能证明和全等，无法判定； 故答案为：①②． 3．已知：，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等： （1）只需要证明，即可证明； （2）由平角的定义得到，则可证明都是等腰直角三角形，由全等三角形的性质得到，则，进而可得，则可证明都是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴都是等腰三角形． 综上所述，，，，都是等腰三角形． 【经典例题八 根据等角对等边证明边相等】 【例8】如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得． 本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：B 1．如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，得到，，然后利用等边对等角和等角对等边性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴，故A正确； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确； ∵ ∴ ∴，故B正确； 由题意无法证明出． ∴不一定成立． 故选：C． 2．如图，在中，为的中点且，平分，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质是解题的关键． 首先根据，求出，根据角平分线的定义推知，则，所以由等角对等边可得到． 【详解】解：如图， ， ， 又平分， ， ， ， ∵点D是的中点， ． 故答案为：． 3．如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题； （2）在射线上截取，连接，证明，得到，再证明即可； （3）作于点E证明，即可． 【详解】（1）如图，设交于点． ，， 又，， （2）结论：是等腰三角形． 理由：在射线上截取，连接． 平分， ． 在和中， ∵， ， ，． ， ， ， ，即为等腰三角形； （3）如图，作于点G． 平分，，， ． 在和中， ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【经典例题九 根据等角对等边求边长】 【例9】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出． 根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 1．如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，因此，同理：，即可求出．关键是由以上知识点推出，． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：A． 2．如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解：∵为，的中点， ∴,，又， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴，解得， ∴， 故答案为：2． 3．如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换可证结论成立； （2）由等角对等边得，根据证明得，进而可求出的长． 【详解】（1）是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 【经典例题十 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例10】如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 1．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【详解】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 2．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 3．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】（1）秒． （2）秒或秒． （3）秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）过点作，从而可得在≌，在中再根据勾股定理即可求出答案． （2）分别讨论P在AB，BC，AC三种情况，明显是BC边上不可能，只要讨论AB，AC两种情况即可． （3）讨论P在AB边上时每一条边都可能是底的情况，讨论P在AC边上时每一条边都可能是底的情况，解出即可． 【详解】（1）如图所示，过点作于点，    在的角平分线上，，， ， 在和中 ， ， ， 又，，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 秒． （2）①当点在上时， ， ， 秒， ②当点在上时，如图所示，    过点作于点， ， 代入可得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 秒， 综上，当的值为秒或秒时，． （3）①当时， ，则， 秒， ②当时，过作，如图所示，    ，， 为的中线， 又， ， 为的中位线， 为的中点， ， ， 秒， ③当，点在上时， ， 秒， 点在上时，如图所示，过作于，    由（2）可得：，， ，， 为的中线， 点是的中点， ，则， 秒． 综上，当的值为秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形，勾股定理等知识点，孰练记住它们的性质和会分类讨论思想是解决问题的关键. 【经典例题十一 作等腰三角形】 【例11】以下尺规作图能得到平分的是（    ）    A．只有① B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】根据尺规作图的几何意义，结合三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了角的平分线尺规作图，三角形全等的判定和性质，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握掌握尺规作图，平行线的性质，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】如图，根据作图，得到， ∴， ∴， 即平分， 故①正确；   ； 如图，根据作图，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故②正确；    如图，根据作图，得到， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故③正确； 故选D． 1．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 3 取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．    故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题． 3．已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；    (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，作等腰三角形，明确作图的目的是解本题的关键． （1）以为圆心，大于M到的距离为半径画弧，交直线与两点，再分别以为圆心，大于一半为半径画弧，两弧交于点G，再作直线，交直线于即可； （2）以M为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，再以N为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，作线段的垂直平分线，得到垂线与直线的一个交点，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的垂线；    （2）如图，即为所求作的点；    【经典例题十二 等腰三角形的性质与判定】 【例12】如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 3．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）根据三角形的内角和可得，由为公共边，，即可得出结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图中，在上取一点，使得， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ， 为公共边，， 与是友谊三角形． 【经典例题十三 三角形边角的不等关系】 【例13】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【分析】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 1．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可． 【详解】∵|AC-BC|=2cm， ∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm， ∵BC=8cm， ∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 3．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 【经典例题十四 等边三角形的性质】 【例14】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 1．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 在中，， ∴， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 2．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题十五 等边三角形的判定】 【例15】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 1．有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 2．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． ①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形； ②当时，， ∴， ∴为等边三角形； ③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形； ④当是等腰三角形时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 综上，正确的说法是①②④． 故答案为：①②④． 3．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等边三角形的判定等知识；利用完全平方公式凑成和或差的平方是解题的关键．由完全平方公式，条件可化为，利用非负数的性质即可求得a、b、c的值，从而可判定的形状． 【详解】解：∵， ， ， ，是等边三角形． 【经典例题十六 等边三角形的判定和性质综合】 【例16】如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 1．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，， ， ， 故①正确； 和的大小不确定， 点的位置不确定， 又是定值， 不一定平分， 故②错误； ， ， 又，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故③正确； 过作于，于， ， ， ，， ， ， ，， ， 故④正确； 故正确的有个， 故选：C． 2．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 3．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 2．（2024年安徽省合肥市多校联考中考夺魁考试（三模）数学试题）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确； ②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确； ③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确； ④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本选项正确； ③∵， ∴， ∴， 则，本选项正确； ④∵， ∴，故此选项正确， 故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先由等边三角形的性质得到，再证明得到，即可判断①；进一步证明得到，，即可判断②；再证明是等边三角形，得到，即可判断③；根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断④． 【详解】证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得， 继而求得的度数， 则可求得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一得到，进而求出，再根据等角对等边即可得出结果． 【详解】解：， 是等边三角形， ． 是边上的中线， ． 是等腰三角形， ， 故答案为：． 8．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 10．（21-22八年级下·江西赣州·期末）如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判断，线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）先根据中线的定义得，再根据证明； （2）先证明是线段的垂直平分线，根据三角形内角和定理求得的度数，再根据，得出答案． 【详解】（1）证明：是边上的中线（已知）． （三角形中线的定义）， 在和中，， ； （2）解：，是边上的中线， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， . 又， . 12．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，点在边上，点F在的延长线上，连接，点是与的交点，且交的延长线于点． 【问题探究】（1）与相等吗？说明理由； （2）试说明：； 【衍生拓展】（3）试说明：． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据等边对等角得，，再根据三角形外角的性质得，可得答案； 对于（2），根据可得答案； 对于（3），先根据证明，可得，再根据，得，进而得出答案． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 13．（22-23八年级上·山东德州·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 14．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， °， °． (2)若，试说明． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；65 (2)详见解析 (3)可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）解：，， ． ∴ ， ∵． ， ． 在和中， ， ； （3）解： 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 15．（2024·广东惠州·模拟预测）综合实践 【提出问题】在一个等腰三角形中，过其中一个顶点作一条直线，把原三角形分为两个等腰三角形，原等腰三角形的顶角的度数是多少？能确定吗？ 【探究问题】如图，是锐角三角形，过点B作交于点D，使得，且． （1）求的度数． （2）当等腰三角形是锐角三角形时，还存在其他的情况吗？若存在，画出大致图象，根据图象求出的度数；若不存在，请说明理由． 【再次探究】（3）除“探究问题”的情况之外，还存在其他类型的等腰三角形吗？若存在，请画出大致图象并求出它的顶角度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2），图见解析（3）见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角性质以及三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由得出，又因为则，运用三角形内角和性质得，即可作答． （2）先作图，再在上取一点D，使得，与（1）同理，运用三角形内角和性质以及角的运算，即可作答； （3）进行分类讨论：①当顶角为直角时，该三角形为等腰直角三角形，并作图；②当顶角为钝角时，并作图，与前面解题过程同理，运用三角形内角和性质以及角的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：存在．如图， 在上取一点D， 使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）解：存在． ①当顶角为直角时，该三角形为等腰直角三角形，如图， 易知等腰直角三角形斜边上的中线把该等腰直角三角形分为两个等腰三角形．此时 ②当顶角为钝角时，如图，在上取一点D，使得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$