专题03 角平分线的判定与性质重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 角平分线的判定与性质重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 根据角平分线的性质求角度 题型二 根据角平分线的性质求长度 题型三 根据角平分线的性质求面积 题型四 角平分线的判定定理 题型五 角平分线的性质定理 题型六 尺规作角平分线 题型七 角平分线的判定与性质综合 题型八 角平分线的判定与性质应用 题型九 角平分线的判定与性质多结论问题 题型十 角平分线的常见辅助线添加 知识点一：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 1．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 2．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 3．探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度； （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度． 探究二： （3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系?并证明你的结论． （4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由） 【经典例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例2】如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 1．如图，平分，于点M，点P是射线上一点，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，D为中点，，，交 于F，，，那么 ． 3．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 【经典例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例3】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧并于点，作射线交边于点，点为线段上一点，若，，则当最小时，的面积为 ． 3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【经典例题四 角平分线的判定定理】 【例4】如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 1．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ． 3．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例5】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 1．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题六 尺规作角平分线】 【例6】在中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 3．学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 ． 【经典例题七 角平分线的判定与性质综合】 【例7】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 3、（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【经典例题八 角平分线的判定与性质应用】 【例8】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 1．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（    ）处． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为 3．电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【经典例题九 角平分线的判定与性质多结论问题】 【例9】如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 3．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【经典例题十 角平分线的常见辅助线添加】 【例10】如图，在中，D是的中点，，，于点，若，，求的长．    1．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 2．爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 3．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 1．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，中，，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，是的角平分线，，则 ． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 8．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 12．（23-24七年级下·山东烟台·期末） 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 15．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 角平分线的判定与性质重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 根据角平分线的性质求角度 题型二 根据角平分线的性质求长度 题型三 根据角平分线的性质求面积 题型四 角平分线的判定定理 题型五 角平分线的性质定理 题型六 尺规作角平分线 题型七 角平分线的判定与性质综合 题型八 角平分线的判定与性质应用 题型九 角平分线的判定与性质多结论问题 题型十 角平分线的常见辅助线添加 知识点一：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 1．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 【答案】C 【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∵过点作交于点，作交于点，作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质． 过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，利用“”证明和，再根据题意得出方程，解方程即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ 设， ∴， 解得：， ∴的面积为6． 故答案为：6 3．探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度； （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度． 探究二： （3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系?并证明你的结论． （4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由） 【答案】探究一：（1）；（2）；探究二：（3），证明见解析；（4） 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解； 探究一: (1 )根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案； (2)根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案； 探究二： （3）根据在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，推出，，根据三角形外角性质求解即可； （4）根据四边形的内角和定理表示出，再表示出，然后根据角平分线的定义可得，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得: ，然后整理即可得解； 【详解】解：探究一：（1）在中，， ， ，分别是两个内角，的角平分线， ，， ； （2）在中，， ， ， ，分别是两个外角，的角平分线， ， ， ； 探究二： （3），证明如下： 在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， ， ， ， ， （4）由四边形内角和定理得， ， 由三角形的外角性质得：， 是内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， 【经典例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例2】如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出，再由角平分线的性质定理即可得出，再证明即可得出，即可得解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和， ， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 1．如图，平分，于点M，点P是射线上一点，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段的性质，根据垂线段最短可得当时，的长最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，求出的最小值，即可求解． 【详解】解：当时，的长最小， ∵平分，于点M， ∴， ∴的最小值是2， ∴的长度不可能是1． 故选：D． 2．如图，在中，D为中点，，，交 于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ， 解得：， ， 故答案：． 3．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)与有什么样的位置关系？并证明． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)垂直平分，证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答； （2）由，代入计算即可． 【详解】（1）解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分； （2）解：， ， ， ． 【经典例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例3】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 1．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作于， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， 同理，， 设的面积为，由题意得， ， 解得， 即的面积为11， 故选：A 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧并于点，作射线交边于点，点为线段上一点，若，，则当最小时，的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等性质，垂线段最短的性质可得当时，DE最短，根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再证明，得到，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：∵点E为线段上的一个动点， ∴当时，最短， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：30． 3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)32 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【经典例题四 角平分线的判定定理】 【例4】如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∵；故②不正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④不正确． 本题正确的有：①③， 故选：D． 1．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图： ∵平分，平分， ∴，， ∴，又，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：过点D作于H，于E，于F， ∵的平分线与的外角平分线交于点， ∴，， ∴平分， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由，，又，，可得 （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论． 【详解】（1）， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， 又，， ， ． （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，    ∵， ∴， ∴， ∴B点在的平分线上， 即平分． 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例5】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键． 过点作，交于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，， ， 是的平分线，，， ， 是的平分线， ，， ， 点到的距离与到的距离之和为． 故选：C． 1．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 2．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 【经典例题六 尺规作角平分线】 【例6】在中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图，三角形内角和定理，与角平分线相关的角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ， ， ， ， 故选：B． 1．如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键． 延长交于，依据，即可得到，进可得到，据此可得． 【详解】解：如图所示，延长交于， 由作图可得，平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 3．学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 ． 【答案】（1）见解析； （2）①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据尺规作图，作已知角的平分线的方法和步骤画出的平分线即可；再以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则可得； （2）根据角平分线性质得，①，由此可依据“”判定和全等，则，．再根据，可得③，然后根据，可依据“”判定和全等，从而得，再根据，，可得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：①以点D为圆心，以适当的长为半径画弧交，于H，T， ②分别以H，T为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P， ③连接并延长交于E，则为的平分线， ④以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则，如图所示： （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ， 平分，， ，，， ， 故答案为：①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直． 【经典例题七 角平分线的判定与性质综合】 【例7】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，角平分线判定与性质，三角形内角和与外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 1．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到． 【分析】解：∵平分，，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，故正确； 在中，，故错误； 综上，正确，共个． 故选：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 2．如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3、（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 角平分线的判定与性质应用】 【例8】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 1．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（    ）处． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为 【答案】4 【分析】过点作的垂线交于点，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点， 由题意可得：平分， ∵， ∴， ∵，的面积为， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线性质的应用、角平分线性质的应用，分别作出线段的垂直平分线，的角平分线交于点D即可求解，掌握相关尺规作图方法是关键． 【详解】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条高速公路、的距离也必须相等， ∴发射塔应建在的角平分线上， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线和的角平分线的交点上， ∴连接，作的垂直平分线，作的角平分线交于点， 则点即为发射塔修建位置，如图所示： 【经典例题九 角平分线的判定与性质多结论问题】 【例9】如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 1．如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图所示， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∴，故①不符合题意； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④符合题意； 故选B． 2．如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点P作，，，由角平分线的性质定理可得出即可判断①②， 利用全等三角形的判定以及性质可判断③，利用角平分线的定义可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D，    ①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的角平分线上，点P到三边所在直线的距离相等， 故①，②正确； ③在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故③正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∴， 故④正确． 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 3．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 【经典例题十 角平分线的常见辅助线添加】 【例10】如图，在中，D是的中点，，，于点，若，，求的长．    【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，，过作于，   是的中点，， 垂直平分， ， ，， ， 又，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 1．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 2．爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 【答案】【类比探究】见解析；【直接应用】20；【拓展应用】． 【分析】本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识 类比探究：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P．根据角平分线的性质得，再利用面积法可得结论； 直接应用：作于H，由角平分线的性质得，由勾股定理得，，可得答案； （4）由（1）可得，从而得出的面积，同理可求：，进而解决问题． 【详解】证明：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P． ∵平分， ∴. ∴， ， ∴； 直接应用：由（1）得， 设 在中，由勾股定理得， ， 解得 ∴. 拓展应用：∵， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴. 3．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 1．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故②符合题意； ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，中，，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：在中，、分别平分、， ， ， 、分别平分、， ， ，故①正确． ， ， ， ， ，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ， ， ．故③正确， 故其中正确的有3个， 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 4．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【详解】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，是的角平分线，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得出，推出，由角平分线的定义得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：由作法可得：垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·山东烟台·期末） 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵的平分线与的垂直平分线相交于点，，， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明即可； （2）如图②中，作于，于，只要证明即可； 【详解】解：（1）结论：． 理由：，， ， ，， ． ． 故答案为：． （2）结论成立． 理由：如图②中，作于，于． 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． （）作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可； （）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，，再利用三角形内角和定理便可求出的度数； 【详解】（1）证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：∵为两外角的平分线，， ∴，， 由三角形内角和定理得： ． 15．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)的周长为10 (2)点到的距离为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和角平分线的性质， （1）根据垂直平分的性质得，则的周长为即可； （2）过点分别作于点，于点，角平分线的性质得，利用三角形面积求得，结合比例得，即可求得，由即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长 ， ∵，， ∴的周长， 的周长为10． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， 平分， ．   ，， ， ．   ， ， ， 解得， ， 即点到的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $$