精品解析：山东省淄博市张店区铁山学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年 铁山学校 初四开学测验 数学试卷 （满分150分） 一．单项选择题（每题4分，共10小题，40分） 1. 下列选项中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与直线平行 B. 随的增大而增大 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 3. 若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 两建筑物的水平距离为 米，从A点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2 7. 明明从家出发去书店买书．当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了．下面能反映明明活动情况的是图（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点 是反比例函数的图像上的一点，过点 作轴，垂足为点 ， 为轴上一点，连接 ， ，若 的面积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（ ） A. B. 当 时， C. 当时， D. 当时， 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 12. 若直线经过点，与x轴交于点A，且，则___________． 13. 在平面直角坐标系中，直线向左平移2个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是________． 14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 15. 规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（， 为整数），例如：，，．则下列说法正确的是_____．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 三．解答题（共8小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点O为位似中心，作出 的位似图形，且 与的位似比为； （2）做出 绕点O逆时针旋转后的图形． （3）求的面积． 19. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴ ， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B坐标，并结合函数图象，直接写出时的自变量的取值范围； （3）若x轴上存在点P，使得为等腰三角形，写出P点坐标． 21. 如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行， 处为一辆行驶中的小汽车， 为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到 处时，测得 处、 处的俯角分别为和，此时，小明在桥梁的入口 处测得无人机 的仰角为.已知桥梁 的总长度为，求此时小汽车 距桥梁入口的距离 的长.（结果精确到，参考数据：，，，，，，） 22. 等腰直角 和直角顶点 重合， ，，． （1）如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，连接 ，，若是 中点，判断 与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长至点，满足，然后连接， ，当，，绕 点旋转得到 ， ，三点共线时，求线段 的长． 23. 如图，抛物线过，，其对称轴交x轴于点D，E是对称轴上一动点， 于点F． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断 的形状，并证明； （3）是否存在点E的位置，使与相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年 铁山学校 初四开学测验 数学试卷 （满分150分） 一．单项选择题（每题4分，共10小题，40分） 1. 下列选项中， 不是 函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值与之对应，则 叫 的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 、自变量 每取一个值， 有两个值和它对应， ∴ 不是 函数，该选项符合题意； 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 、自变量 每取一个值， 都有唯一确定的值和它对应， ∴ 是 函数，该选项不合题意； 故选：． 2. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与直线平行 B. 随 的增大而增大 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由于直线与直线的 值不相等，所以它们不平行，故本选项错误； B．函数中，， 随 的增大而减小，故本选项错误； C．函数中，，此函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误： D．当时，即，解得，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象和性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方，当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 3. 若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选：B． 4. 两建筑物的水平距离为 米，从A点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为 ，则较低建筑物 的高为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角、俯角问题．作于点 ，分别在和中，利用三角函数即可表示出 与 的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点 ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 5. 若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．先确定，进而得到，即可得到直线的图象经过一、二、四象限，问题得解． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的图象经过一、二、四象限． 故选：A 6. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：2x−40， 解得：x2. 故选：B. 7. 明明从家出发去书店买书．当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了．下面能反映明明活动情况的是图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据描述可知，小明从家出发到回到家经过了六个阶段，分别是从家出发、返回家、在家拿钱、再从家出发、买书、回家，分别求出六个阶段路程与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：小明刚出发时，路程随时间增大而增大，返回家取钱途中，路程随时间增大而减小，直到小明第一次返回家中时路程变为0，在家中取钱的过程中路程一直为0，再出发去书店时路程随时间增大而增大，到达书店后买书的过程中路程保持不变，从书店返回家中的过程中路程随时间的增加而减小，故符合明明活动情况的图象如下； 故选：B． 8. 如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点， 为 轴上一点，连接 ， ，若的面积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三角形面积求反比例函数的 ，数形结合是解决问题的关键． 根据题意，设，再结合的面积为 ，列方程求解即可得到答案． 【详解】解： 点是反比例函数的图像上的一点， 设， 的面积为 ， ， 即， 故选：D． 9. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键． 10. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（ ） A. B. 当 时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象，一次函数与一元一次不等式的联系．解题的关键在于明确图象中与坐标轴交点坐标，直线交点坐标的含义，掌握一次函数图象的性质．根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； 当 时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：C． 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 12. 若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 ___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， 由题意得，则， 解得 或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上， 的值为或． 故答案为：或． 13. 在平面直角坐标系中，直线 向左平移2个单位长度得到直线，那么直线 与 轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线 的解析式为，然后再计算出当时， 的值，进而可得直线 与 轴的交点坐标． 此题主要考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线向左平移 个单位，则解析式为． 【详解】解：∵直线 向左平移2个单位长度得到直线， ∴直线 的解析式为， ∵当时，，解得， ∴直线 与 轴的交点坐标是． 故答案为：． 14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴ ∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根 ∴ ∴ ∴α2＋2β=5 故答案是：5 【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键 15. 规定：表示不大于 的最大整数，表示不小于 的最小整数，表示最接近 的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是_____．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了新定义，正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据定义依次代入数据即可判断①②，当时，代入求解即可判断③，分时，当时，当时，当时，当时，求解，再结合图象求解判断④． 【详解】解：①当时， ，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ，故③正确； ④∵时， ∴当时，， 当时，， 当 时，， 当时，， 当时，， ∵，则时，得，不符合题意； 时，得，符合题意； 当，则，符合题意， 当，解得：，符合题意， 当，解得：，不符合题意； 如图， ∴当时，函数的图象与正比例函数的图象有三个交点，故④错误， 故答案为③． 三．解答题（共8小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）先移项，再把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴或， 解得：， 17. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为 ，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为 元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为 ， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为 元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； （2）做出绕点O逆时针旋转后的图形． （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到； （3）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求． 【小问2详解】 如图，为所求． 【小问3详解】 的面积为：． 19. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴ ， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1）， （2）4 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B坐标，并结合函数图象，直接写出时的自变量的取值范围； （3）若x轴上存在点P，使得为等腰三角形，写出P点坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式是：，反比例函数的解析式是：； （2）点B的坐标是，或 ； （3）点P的坐标是，，，，． 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图像与一次函数图像的综合，解决问题时要多种情况考虑，多种情况分析. （1）将点分别代入，中解出b、k的值，即可得出． （2）因为点B是两函数图像的交点，得到，解出x的值，再带入反比例函数解析式中，得出结果． （3）分类讨论，，，三种情况，设点P的坐标为，利用距离公式，求得结果． 【小问1详解】 解：将点代入中，得到， 解得：， ∴一次函数的解析式是：． 将点代入中，得到， 解得： ∴反比例函数的解析式是：． 【小问2详解】 令， 解得：，， 将带入中， 得， ∴点B的坐标是， 由图像可知，时， 的取值范围是：或 ． 【小问3详解】 ∵， ∴①若， 设点P的坐标为， 可得， 解得：，， ∴点P的坐标为，． ②若， 可得：， 解得：， 则P点的坐标是． ③若， 可得， 解得： ，， ∴点P的坐标为，． 综上可得：点P的坐标是，，，，． 21. 如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车， 为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到 处时，测得处、 处的俯角分别为和，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机 的仰角为.已知桥梁 的总长度为，求此时小汽车距桥梁入口的距离 的长.（结果精确到，参考数据：，，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点D作于点E，根据题意可得：，，，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而根据的长求出长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E， 根据题意可得，，， 设米，则米，米， ∴， 解得， ∴米， 在中， 米， ∴米， 答：小汽车距桥梁入口的距离 的长为米． 22. 等腰直角和直角顶点重合， ，，． （1）如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，连接， ，若 是中点，判断 与 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长至点 ，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到 ， ， 三点共线时，求线段 的长． 【答案】（1）， 理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）， 理由如下： 过点作交 的延长线于点 ，如图所示： ， ， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）用证明，即可判断； （2）过点作交 的延长线于点 ，先证明，得到，，再证明，得到，从而得到 和 的数量关系； （3）过点作与 ，利用旋转的性质和勾股定理，可得，，利用可计算出答案；过点作于 ，同理可得，，，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：绕点旋转得到 ， ， 三点共线； ①如图所示：过点作于 ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 在中， ， ； ②如图所示：过点作于 ， 同理可得，，， ， 此时； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 23. 如图，抛物线过，，其对称轴交x轴于点D，E是对称轴上一动点， 于点F． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断的形状，并证明； （3）是否存在点E的位置，使与相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）直角三角形， 理由： 证明：由题意，， ，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ， ∴是直角三角形； （3）存在， 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式法和与几何图形结合的综合能力，解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； （3）如图，当时，在中，，求出，即可求解；当时，则 和x轴重合，此时，点E和点D重合，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，， 则， 解得：， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意，， 则， ∴， ∴， 则， ∵与相似， 则或， 如图，当时， 设 交y轴于点H，作于点N， 在中，， 则， 则点， 由点A、H的坐标得，直线 的表达式为：， 当时，， 即点E的坐标为 ； 当时， 则 和x轴重合，此时，点E和点D重合， 故点E的坐标为：； 综上，点E的坐标为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $