新课预习衔接：数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第三部分 典型例题 例题1：按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 【答案】28个 【分析】第1个图有：1个； 第2个图有：3个，3＝1＋2； 第3个图有：6个，6＝1＋2＋3； 第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4； …… 规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 据此规律解答。 【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 当n＝7时 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋7）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 答：第七个图有28个。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 例题2：先画出第五个图形，再填空：第10个方框里有 个点，第n个方框里有 个点。 【答案】见详解；37；1＋4（n－1） 【分析】第1个图形，1个点； 第2个图形，5个点，5＝1＋4＝1＋4×（2－1）； 第3个图形，9个点，9＝1＋4×2＝1＋4×（3－1）； 第4个图形，13个点，13＝1＋4×3＝1＋4×（4－1）； …… 第n个图形的点数是1＋4（n－1）个； 据此规律解答。 【详解】第五个图形有（1＋4×4）个点。 如图： 第n个方框里有1＋4（n－1）个点。 当n＝10时 1＋4（n－1） ＝1＋4×（10－1） ＝1＋4×9 ＝1＋36 ＝37（个） 第10个方框里有37个点，第n个方框里有1＋4（n－1）个点。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 例题3：A4纸是生活中最常用的纸。A系列的纸张规格特点在于：A1、A2、A3、A4、A5等所有尺寸的纸张长和宽的比都相同。在A系列纸中，前面序号的纸对裁后，可以得到两张后面序号相同大小的纸，比如A1对裁后，可以得到2张A2，A2对裁后，可以得到2张A3，依此类推。如图所示，涂色部分A4纸的面积和A1纸的面积比是1∶8。 请再写3个这样的比。（注意书写完整哦！） 如：（    ）纸的面积和（    ）纸的面积比是（    ）。 【答案】A2纸的面积和A1纸的面积比是1∶2；A3纸的面积和A1纸的面积比是1∶4；A5纸的面积和A1纸的面积比是1∶16（答案不唯一） 【分析】由题意可知，A2纸的面积占A1纸面积的，A3纸的面积占A2纸面积的，A4纸的面积占A3纸面积的，A5纸的面积占A4纸面积的，用分数乘法求出A3纸的面积和A5纸的面积占A1纸面积的分率，再根据比的意义求出A2纸的面积和A1纸的面积比、A3纸的面积和A1纸的面积比、A5纸的面积和A1纸的面积比，据此解答。 【详解】由图可知，A2纸的面积占A1纸面积的，A2纸的面积∶A1纸的面积＝1∶2； A3纸的面积占A1纸面积的分率：×＝ 所以，A3纸的面积∶A1纸的面积＝1∶4 A5纸的面积占A1纸面积的分率：×××＝ 所以，A5纸的面积∶A1纸的面积＝1∶16 由上可知，A2纸的面积∶A1纸的面积＝1∶2，A3纸的面积∶A1纸的面积＝1∶4，A5纸的面积∶A1纸的面积＝1∶16。 答：A2纸的面积和A1纸的面积比是1∶2，A3纸的面积和A1纸的面积比是1∶4，A5纸的面积和A1纸的面积比是1∶16。（答案不唯一） 【点睛】根据图形求出A2、A3、A5纸的面积占A1纸面积的分率是解答题目的关键。 例题4：如图，第二个图形是由第一个图形连接三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连接三边中点而得到的，以此类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数．如果第n个图形中的三角形个数为8057，n是多少？ 【答案】解：第一个图形中三角形个数：1个； 第二个图形中三角形个数：1×4+1=5（个）； 第三个图形中三角形个数：2×4+1=9（个）； 第四个图形中三角形个数：3×4+1=13（个）； 第n个图形中三角形个数： （n-1）×4+1=（4n-3）（个） 4n-3=8057，n=2015． 答：n是第2015个图形． 【详解】由已知图形中三角形个数推出三角形个数与图形个数之间的数量关系式，再根据题意代入数据计算即可解答． 第四部分 高频真题 1．二进制时钟是一种“特殊的时钟”，它用4行6列24盏灯来表示时间（图1）竖着看，从左到右每两列为一组，每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字；每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8（表示灯亮，○表示灯熄灭，灯灭代表0），同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数。例如，图1中最右侧一列，从下往上第一、二、三盏灯是，分别表示数字1、2、4，1＋2＋4＝7，此时这列灯表示数字7，按照这样的表示方法，请在图2的括号里写出此时时钟表示的时刻。图3是雯雯同学上午进入校门的时刻，请涂出二进制时钟上的显示。 2．观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 3．在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。 4．如图 ，第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有多少个三角形？ （1）          （2）          （3） 5．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？ 6．画一画，填一填。 （1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。 （2）这样排列下去，第5个图形有（    ）个点，第10个图形的方框里有（    ）个点。 7．将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数． 8．数一数。    （1）图中各有多少个▲和△？ 序号 ① ② ③ ④ ▲ （    ） （    ） （    ） （    ） △ （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？ 9．火柴棍如图摆放．如果按照这个模式继续摆放，那么图12需要多少根火柴棍？ （1）            （2）                （3） 10．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？ …… 11．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m＋1）个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。 （1）求a的最小值；           图1                    图2 （2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。 12．一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？ 13．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图所示)，请你结合这个规律解决问题． 1．8张桌子可坐多少人？ 2．n张桌子可坐多少人？ 14．下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 15．仔细观察，根据发现的规律把表格填完整． 第几幅图 1 2 3 5 … n 共几个面在外面 … 16．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（    ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 17．请根据下面图形与数的规律画一画，并填一填。 想一想：第10个图形中有（    ）个小三角形。 18．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 19．下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。 （1）像这样摆下去，第n个图形中有（    ）根火柴棒。 （2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。 20．3支球队进行单循环赛（参赛的每支队都与其他所有各队比赛一场），总的比赛场数是多少？4支球队呢？12支球队呢？ 21．下图是由三角形构成的．     (1)填写下表．     图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 黑色三角形个数 (2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 22．根据统计图完成下面的问题． 在一块1000平方米的菜地上种了四种蔬菜，它们的种植面积分布情况如图： （1）黄瓜的种植面积占菜地总面积的(　　)%，芹菜的种植面积是(　　)平方米，菠菜的种植面积是西红柿的． （2）你还能提出什么问题？请写出来，并用所学知识解答． 23．如图，长边坐2人，短边坐1人，一张餐桌可坐6人。 （1）2张餐桌拼在一起最多坐几人？三张拼在一起呢？ ①先画一画：    ②再填一填：2张餐桌拼在一起最多可坐（    ）人，三张餐桌拼在一起，最多可坐（    ）人。 （2）按照上面的规律可知，n张桌子拼在一起最多可以坐（    ）人。 24．如图1，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律。 （1）探索上述规律，用含有m，n的代数式表示P＝（    ）； （2）如果在上述规律中，有一幅图如图2所示，请根据上述探索的规律求字母x的值。 25．如下图，1张桌子可以坐4人，2张桌子拼起来可以坐6人，3张桌子拼起来可以坐8人． （1）像这样的4张桌子拼起来可以坐多少人？ （2）像这样的6张桌子拼起来可以坐多少人？ （3）如果有40人，那么需要多少张这样的桌子拼起来？ 26．程琳家离学校有3140米，她每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分钟转80圈，程琳多长时间可以到家？ 27．将一些小圆点按一定的规律摆放,所得到的图形依次为第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形.如下图所示,各个图形的小圆点个数依次是6个、10个、16个、24个…… 第1个图形    第2个图形    第3个图形      第4个图形 (1)第8个图形一共有多少个小圆点? (2)已知连续两个图形的小圆点的个数差是100个．这两个图形分别是第个______图形和第个______图形. 28．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。 （1）这个相等的和等于______； （2）在图中将所有的□填完整。 29．阅读与思考。 (1)根据下图选择：的结果是（    ）。 A．等于1 B．小于1 C．大于1 (2)阅读材料选择：正三角形、正四边形、正五边形……当相邻两个顶点的距离越来越小时，这个正多边形就越近似于圆（a表示图形中心点到顶点的距离）。古代《九章算术》记载，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”横线上的字是指（    ）时。 A．a＝l B．l＝0 C．a＝0 (3)类似于以上材料的思想，我们称之为“极限思想”。请你结合极限思想思考：俗称万能公式的S＝（a＋b）×h÷2能计算圆的面积吗？ 答：我认为( )。 理由是： 。 30．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 31．如图两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少个交点？ 32．有一根弯曲的铁丝如下图1．按下面的虚线剪切，把铁丝分成几段． （1）在括号里填写适当的数． 图1 （4）段 　 　段 　 　段 （2）剪切5次，把铁丝分成几段？剪切10次呢？ （3）猜想：按照上面的方法剪切多少次时，铁丝分成70段？ 33．牛牛突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单： 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 …… 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 …… 如图所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，请写出第45组是什么？ 34．有盐水25千克，含盐20%，加了一些水后含盐8%，加了多少水？ 35．下图中，每一个正方形的边长均为1，根据分数的乘法的意义以及相应的图形，回答以下问题． (1)① 1×＝1－←→ ② 2×＝2－←→ ③ 3×＝3－←→ ④ 4×＝4－←→ 写出第5个等式，并画出相应的图形． ⑤____________________←→ (2)猜想并写出与第100个图形相对应的等式． 36．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？ 37．下列图案由边长相等的黑、白两色小正方形按一定规律拼接而成． 黑色：1              2                        3 白色：8              13                       18 照这样画下去，第10个图形中分别有多少个黑色小正方形和白色小正方形？你能解释其中的道理吗？ 38．用边长为1厘米的小正方形拼长方形，如下图，图1的周长是4，图2的周长是6，图3的周长是8。 （1）你发现第几幅图和周长之间有什么关系吗？把你的发现写出来。 （2）你的发现对吗？请画出图4和图5验证一下。 （3）按照上面的规律，图20的图形周长是多少？请把你的思考过程写出来。 39．摆一个六边形要用6根小棒，连摆两个六边形要用11根小棒，连摆三个六边形要用16根小棒……照这样摆下去． (1)连续摆n个三角形，要用多少根小棒？ (2)当n=100时，需要多少根小棒？ (3)如果有101根小棒，可以连摆多少个这样的六边形？ 参考答案： 1．图2（19：47：26）； 图3 【分析】（1）同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数，注意灯灭表示0，那么图2左侧第1列代表1，第2列代表1＋8＝9，也就是19时；第3列表示4，第4列表示1＋2＋4＝7，也就是47分；第5列表示2，第6列表示2＋4＝6，也就是26秒； （2）图3是左侧第1列是0，所以不涂；第2列是7，从下往上涂代表数字1、2、4的灯亮；第3列代表数字4的灯亮，其它灯灭；第4列代表数字1、8的灯亮；第5列代表数字1、4的灯亮，其它灯灭；第6列代表数字2、4的灯亮，其它灯灭。 【详解】据分析可得，图2代表（19：47：26）； 图3是： 故答案为：图2（19：47：26）； 图3是。 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键就是理解同一列中多盏灯同时亮，要把它们各自表示的数加起来得到对应的数的概念。 2．（1）49个；225个（2）（n2）个 【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【详解】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 3．种 【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。 【详解】如图所示： 不同类型的涂法有3种； 由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较少的。 【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是最基础的方法，也是适应性最广泛的方法。 4．13个 【详解】从第2个图形开始，后一个图形会比前一个图形增加4个三角形，所以第4个图形有1+4+4+4=13（个）三角形． 5．9 【分析】封闭型数阵图，根据线和相等，先求出B，然后求出线和，再求A和C。 【详解】 C＝ 【点睛】线和相等是数阵图的基本特征，利用这一原则列出等式求解未知数是常用方法之一。 6．（1）；1＋4×3 （2）17；37 【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。 （2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。 【详解】由分析可得： （1）如图： 点子数量关系式：1＋4×3 （2）第n个图形圆点的个数是： 1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－3（个） n＝5时 4×5－3 ＝20－3 ＝17（个） n＝10时 4×10－3 ＝40－3 ＝37（个） 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 7．最大数为254，最小数为222. 【详解】解：(21+22+23+36+37+38+51+52+53)÷9 =333÷9 =37 1997数字和不能被9整除，所以(1)不可能； 2160÷9=240，又240÷15=16，余数是零．所以(2)不可能； 2142÷9=238，238不是两边的数字，所以(3)可能． 最大数为238+16=254，最小数为238-16=222. 答：2142能办到，正方框里的最大数是254，最小数是222. 框出的九个数的和一定是被框出的九个数的中间的那个数的9倍，即九个数的和能被9整除．但1997数字和不能被9整除，所以(1)不可能．又左右两边两列的数不能作为框出的九个数的中间一个数，即能被15整除或被15除余数是1的数，不能作为中间一个数．2160÷9=240，又240÷15=16，余数是零．所以(2)不可能． 8．（1）1；3；6；10 3；6；10；15 （2）▲有28个；△有36个 【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。 第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。 【详解】（1）▲的个数： 第1个图：1个 第2个图：1＋2＝3（个） 第3个图：1＋2＋3＝6（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个） △的个数： 第1个图：1＋2＝3（个） 第2个图：1＋2＋3＝6（个） 第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个） 第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 如下表： 序号 ① ② ③ ④ ▲ 1 3 6 10 △ 3 6 10 15 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 9．39根 【详解】图形①需要6根火柴棍，可以写成3×2； 图形②需要9根火柴棍，可以写成3×3； 图形③需要12根火柴棍，可以写成3×4，… 则图形n需要3×（n+1）=3n+3根火柴棍， 当n=12时，需要火柴棍：3×12+3=39（根）. 10．51个 【分析】第1个正方体中有0个直角三角形；第2个正方体中有4个直角三角形；第3个正方体中有8个直角三角形；第4个正方体中有12个直角三角形。由此得出规律，三角形的个数都是4的倍数，然后得出假设第n个正方体，就有（n－1）×4个直角三角形。 【详解】根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1－1）×4个； 2个正方形有4个三角形，可以写成（2－1）×4个； 3个正方形有8个三角形，可以写成（3－1）×4个； 4个正方形有12个三角形，可以写成（4－1）×4个； 所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a－1）×4个； 设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据上面的结论可得： （a－1）×4＝200 a－1＝200÷4 a－1＝50 a＝51 答：应画51个正方形。 【点睛】本题的关键是根据图形发现规律：第1个正方体就有0×4个直角三角形；第2个正方体就有（2－1）×4个直角三角形，然后以此类推。 11．（1）67； （2）147 【分析】（1）对图1分析： m＝0时，就是有1个三角形时，需要3根小棒； m＝1时，就是有3个三角形时，需要7＝3＋4根小棒； m＝2时，就是有5个三角形时，需要11＝3＋4×2根小棒； …… 需要小棒的数量＝3＋4m。 对图2分析： n＝1时，就是2个正方形时，需要7根小棒； n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝7＋5根小棒； n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝7＋5×2根小棒； …… 需要小棒的数量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。 摆成两种图形小棒的数量是一样的，则 a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，则m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝12时，n＝9.8不符合；m＝13时，n＝10.6不符合；m＝14时，n＝11.4不符合；m＝15时，n＝12.2不符合；m＝16时，n＝13符合。 （2）分析图3： p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒； p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒； p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒； …… 需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。 其中187和167不是3的倍数，147是3的倍数， 【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：3＋4m。 摆成正方形需要小棒的数量：5n＋2。 3＋4m＝5n＋2 当m＝16，n＝13时 3＋4×16 ＝3＋64 ＝67（根） 答：a的最小值67根。 （2）a＝3（p＋1） a的取值是：67、87、107、127、147、167、187， 其中147符合条件。 答：a的最大值147根。 【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。 12．个 【分析】如果直接考虑对折7次的情况，会比较复杂，可以先从对折1次、2次等简单情况入手，分析并总结规律，然后利用求解问题。 【详解】从简单情况入手，从第一次对折开始分析， 第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共个。 观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是个。 答：用折痕分割成的正方形共有128个。 【点睛】本题考查的是计数问题，归纳递推计数最核心的思路是发现规律，并应用规律求解问题。 13．1. 8×2＋2＝18(人)　答：可坐18人． 2.  2n＋2　答：n张桌子可坐(2n＋2)人． 【详解】略 14．40个 【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。 【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1 图②的最外圈正方形个数：16＝8×2 图③的最外圈正方形个数：24＝8×3 …… 图n的最外圈正方形个数：8n 当n＝5时， 8n ＝8×5 ＝40（个） 答：第5个图形最外圈有40个小正方形。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 15．解：每增加1个正方体就增加4个露在外面的面，所以露在外面的面的个数=5+（总个数﹣1）×4 第几幅图 1 2 3 5 … n 共几个面在外面 5 9 13 21 … 5+（n﹣1）×4 【详解】略 16．（1）小刚；小红；小丽； （2）120 【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确； （2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。 【详解】（1） 小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 ＝（3＋21）×10÷2 ＝120 【点睛】本题考查了奇数列的连加，有一定计算能力是解题的关键。 17．图形见详解；100 【分析】观察图形可知，第一个图形有1个三角形，第二个图形有4个三角形，第三个图形有9个三角形，第四个图形有16个三角形，则第n个图形有n2个三角形。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第五个图形有52＝25个三角形，第六个图形有62＝36个三角形 如图所示： 第10个图形中有102＝100个三角形。 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 18．（1）见详解；（2）78.5平方厘米 【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。 （2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。 【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2 图②的最外圈正方形个数：12＝4×3 图③的最外圈正方形个数：16＝4×4 …… 图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个 因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等， 所以图n的阴影部分的边长为n厘米， 当n＝4时， 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。 如下表： 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 … （2）图⑩的阴影部分边长为10厘米， 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 19．（1） （2）64根 【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题； （2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。 【详解】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根 摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根 摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根 由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根 （2）当n＝21时 3×21＋1 ＝63＋1 ＝64（根） 答：摆21个正方形需要64个火柴棒。 【点睛】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。 20．3  6  66 【解析】略 21．(1) 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 (2) 45个   55个 【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个) 黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个) 22．（1）28　200　 （2）答案不唯一，如：西红柿的种植面积是芹菜的百分之几？　150% 【解析】略 23．（1）①见详解 ②10；14 （2）4n＋2 【分析】观察图形可知，长边坐2人，短边坐1人，则1张桌子可坐6人，每多1张桌子短边所坐人数不变，2个长边共多坐4人， （1）1张桌子可坐6人，即4＋2； 2张桌子可坐10人，4＋4＋2； 3张桌子可坐14人，4＋4＋4＋2； 据此画图并填空即可； （2）每多1张桌子就多坐4人，则n张桌子能坐的人数为：（4n＋2）张，据此解答即可。 【详解】（1）①图示如下：        ②根据①所画人数可知，2张餐桌拼在一起最多可坐10人，三张餐桌拼在一起，最多可坐14人。 （2）按照上面的规律可知，每多1张桌子就多坐4人， 1张桌子可坐（4＋2）人，即（4×1＋2）人； 2张桌子可坐（4＋4＋2）人，即（4×2＋2）人， 3张桌子可坐（4＋4＋4＋2）人，即（4×3＋2）人， 则n张桌子拼在一起，就是n个4相加，再加2，即（4n＋2）人； 所以，n张桌子拼在一起最多可以坐（4n＋2）人。 【点睛】本题考查了数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人，是解答本题的关键。 24．（1）（n＋1）×m； （2）﹣0.6 【分析】（1）观察图形可得规律：右下角的数（p）÷上方的数（m）－1＝左下角的数（n），据此规律用含有m，n的代数式表示P即可。 （2）把n＝x－2，p＝3x－1，m＝代入问题（1）的代数式解答即可。 【详解】（1）规律：右下角的数（p）÷上方的数（m）－1＝左下角的数（n）， 代数式是：p＝（n＋1）×m； （2）把n＝x－2，p＝3x－1，m＝代入p＝（n＋1）×m可得： 3x＋1＝（x－2＋1）× 3x＋1＝0.5x－0.5 2.5x＝﹣1.5 x＝﹣0.6 【点睛】本题难度较大，关键是找到三个数之间的关系，再根据它们之间的关系解答问题。 25．（1）4×2＋2＝10（人） （2）6×2＋2＝14（人）      （3）（40－2）÷2＝19（张） 【解析】略 26．25分钟 【详解】3.14×50×80 ＝157×80 ＝12560（厘米） ＝125.6（米）    3140÷125.6＝25（分钟） 答：程琳25分钟可以到家。 27．(1)76个 (2)49，50 【详解】(1)观察图形可得 第1个图形中有个4+1×2=6小圆点 第2个图形中有4+2×3=10个小圆点 第3个图形中有4+3×4=16个小圆点 第4个图形中有4+4×5=24个小圆点 通过总结可得,第8个图形有4+8×9=76个小圆点: (2)第n个图形中,小圆点的个数为:4+n(n+1)=(n²+n+4)个． 第n-1个图形中,小圆点的个数为:4+(n-1)n=(n²-n+4)个． 它们的差是:2n=100,所以n=50 所以这两个图形分别是第50个和第49个图形． 28．（1）14 （2）见详解 【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求； （2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。 【详解】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3 ＝21×2÷3 ＝14 （2）如图所示： 【点睛】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。 29．(1)A (2)B (3) 能 见详解 【分析】（1）当这个算式后面的数越来越小，趋于0的时候，这时候图形就变为圆，所以算式的结果等于1。 （2）根据题意，当相邻两个顶点的距离越来越小时，这个正多边形就越近似于圆，而相邻两个顶点的距离指的是l，当l＝0时，即是横线上的字所表示的时候。 （3）当（a＋b）＝πd，h＝r时，代入到万能公式的S＝（a＋b）×h÷2中，即可检测是否能用万能公式的S＝（a＋b）×h÷2能计算圆的面积。 【详解】（1）＝1 故答案为：A （2）根据分析得，当l＝0时，这个正多边形就越近似于圆。 故答案为：B （3）当（a＋b）＝πd，h＝r时， S＝（a＋b）×h÷2 ＝πd×r÷2 ＝2πr×r÷2 ＝πr2 即等于圆的面积，所以万能公式的S＝（a＋b）×h÷2能计算圆的面积。 答：我认为能计算圆的面积公式，理由是因为通过极限思想可知，这个图形最后会无限接近圆，此时万能公式所求的面积正是圆的面积，所以可用万能公式求出圆的面积。 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过图形与算式的关系，掌握极限思想的应用。 30．（1）见详解 （2）n（n－1）÷2；45 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。 【详解】（1）如下表所示： 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 10 15 （2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次； 当n＝10时，握手次数是： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。 31．55个 【分析】三条直线交点最多为1＋2＝3个； 四条直线交点最多为1＋2＋3＝6个； 五条直线交点最多为1＋2＋3＋4＝10个； 则11条直线交点最多为10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）。 【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 【点睛】先从相交直线条数较少的开始分析，发现其一般规律，并应用到11条直线相交的情况中。 32．（1）7，10；（2）剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段． （3）按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段． 【详解】试题分析：（1）查出每次剪完后，可剪的段数，再进行填空． （2）根据观察剪的段数是：剪的次数减1乘3的积再加4的和，就是剪的段数可用式子：y=4+3（x﹣1）来表示． 可求出剪5次，剪10次可剪的段数． （3）根据y=4+3（x﹣1）可求出剪的次数． 解答：解：（1） （2）4+3×（5﹣1） =4+3×4 =4+12 =16（段） 4+3×（10﹣1） =4+3×9 =4+27 =31（段） 答：剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段． （3）当y=70时， 70=4+3（x﹣1） 70=4+3x﹣3 3x=69 x=23 答：按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段． 故答案为7，10． 点评：本题的关键是找出规律再进行解答． 33．鱼宫 【分析】观察表格可知，第一排是按照水、煮、鱼⋯⋯3个一组循环排列的；第二排是按照宫、保、鸡、丁⋯⋯4个一组循环排列的，用45分别除以3和4，余数是几就从左边数几即可。 【详解】45÷3＝15（组） 45÷4＝11（组）⋯⋯1（个） 答：第45组上面的字是鱼，下面的字是宫。 【点睛】本题考查循环数列，明确上、下几个字为一组是解题的关键。 34．37.5克 【分析】加了一些水后含盐8%，这一过程中盐的质量不变，先用原来盐水的总质量乘上20%，求出盐的质量，再用盐的质量除以后来的含盐率，求出后来盐水的总质量，最后用后来盐水的总质量减去原来盐水的总质量即可求解。 【详解】25×20%÷8%－25 ＝5÷8%－25 ＝62.5－25 ＝37.5（千克） 答：加了37.5千克的水。 【点睛】本题关键是抓住不变的盐的质量，用盐的质量作为中间量，求出后来盐水的质量，进而求解。 35．(1) 5×＝5－ (2)100×＝100－ 【详解】（1）根据算式的规律，可知⑤的算式为5×＝5－ 再画出对应的图，每个小正方形可看做“单位1”，表示，将“单位1”平均分成6份，阴影部分占5份，5×可画为 （2）第100个图形对应的算式为100×=100-，即100×＝100－ 36．37.5cm 【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。 【详解】（25－15）÷（5－1） ＝10÷4 ＝2.5（厘米） 15＋2.5×（10－1） ＝15＋2.5×9 ＝15＋22.5 ＝37.5（厘米） 答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 37．黑色10个，白色53个；道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形． 【分析】由图可知，每个图形比前一个图形增加1黑色小正方形与5个白色小正方形，以此规律即可得出答案． 【详解】黑色：10个 ； 白色：3＋5×10＝53(个)； 道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形． 38．（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2）对； （3）42厘米 【详解】（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2 （3）图20是第20幅图，所以周长是 （20＋1）× 2 ＝21×2 ＝42（厘米） 答：周长是42厘米。 39．(1)(5n+1)根    (2)501根    (3)20个 【详解】(1)(5n+1)根 (2)n=100时，5n+1=5×100+1=501(根) (3)5n+1=101     5n=100     n=20    即可以连摆20个这样的六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$