单元思维拓展：数学广角——数与形（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【思维导图+知识清单+能力巩固提升+综合拔高拓展+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 思维导图 单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 知识清单 一、算术中的规律 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 2、 数列中的规律 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 三、“式”的规律知识点归纳 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 四、数与形结合的规律知识点归纳 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 能力巩固提升 一、选择题 1．“……”照这样一直加下去，这个算式的和是（    ）。 A．1 B．0 C．10 D．100 2．如图，按照规律，在图10中，阴影小正方形与空白小正方形相差（    ）个。 图1    图2      图3        图4 A．49 B．47 C．41 D．39 3．照这样画下去，第11个图形有（ ）个白色的小正方形。 A．30 B．32 C．34 4．按照下面的规律摆图形，第n幅图需要小棒（    ）根。 A． B． C． D． 5．按下面的规律排列，第八幅图有（    ）个笑脸。 A．8 B．32 C．36 D．40 6．图中有（ ）个三角形。 A．6 B．12 C．15 二、填空题 7．如下图，用火柴棍摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第5个图案用 根火柴棍. ①         ②         ③ 8．数形结合是数学学习的一大法宝。仔细观察下图，想一想第6幅图中有( )个●，( )个△。 9．用同样大小的黑色棋子按下图所示的规律摆放成正方形。 …… (1)按上图所示的规律摆放成正方形，第5个正方形有( )个点。 (2)第n个正方形的点子总数可表示为( )。 10．观察下图，找到规律，第4个图案中有白色正方形( )个，第n个图案中有白色正方形( )个。 11．用○摆图形（如下图），按照这样的规律摆下去。第6幅图共用了( )个○，第( )幅图共用了64个○。 12．按下图用小棒摆正六边形，摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。   …… 13．如图，按规律继续画下去，第5个图形共有 个；如果有36个，它是第 个图形；第n个图形共有 个。 14．现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度。 圆环个数 1 2 3 4 … 总长度（cm） 5 9 13 17 … 像这样，10个圆环拉紧后的长度是( )厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是( )厘米。 三、判断题 15．3个人互相打电话，每2个人都要通，一共要通话6次。( ) 16．按规律往下画，第19个图形是。( ) 17．在1＋3＋5＋7＋9＋…中，从数“1”到数“15”的和是82。( ) 18．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( ) 四、作图题 19．观察如图的点子图，找一找有什么规律，请在最后一个方框内继续画。 综合拔高拓展 五、解答题 20．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成2m个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。 （1）求a的最小值； （2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。 21．如图，在一个5×5的方格图中，按图中规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差是固定的数，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是固定的数。根据图中已填好的数，则第3行第4列应该填入的数是多少？ 22．先观察，再画一画，填一填。 （1）按照上面的规律画出第4个和第5个图形。 （2）照这样的规律：第6个图形中共有（        ）个白色小正方形，第n个图形中共有（        ）个黑色小正方形。 23．王晓云这个月的消费情况如图，看图回答。 （1）王晓云这个月共花去（    ）元钱。 （2）买“学习用品” 用去（    ）元钱，买“零食”各用去（    ）元钱。 （3）买衣服用的钱数占总钱数的（    ）。 （4）看了这幅统计图，你有何想法？如果是你，你打算怎样安排零花钱？ 24．如图是一种奶粉的成分含量情况统计图，看图回答下列问题。 （1）蛋白质的含量占奶粉总质量的百分之几？ （2）结合一定计算，补全条形统计图。 25．一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？ 26．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（    ）个○，有（    ）个●。 27．如图两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少个交点？ 28．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？   29．根据统计图回答问题。 （1）从（    ）月到（    ）月销售量增长最快，从（    ）月到（    ）月销售量下降最快。 （2）平均每月销售多少台？ 30．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（    ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 31．观察下面图形的规律，根据规律画一画，填一填。 （1）照这样的规律先在第5个方框中画出图形，这个方框中有（　　）个点。 （2）照这个规律，第10个方框中有（　　）个点，第n个方框中有（　　）个点。 32．照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 33．下图是聪聪住院期间体温变化统计图，请根据统计图回答问题。 （1）从统计图上可以看出护士每（    ）小时给聪聪测一次体温。 （2）请说一说聪聪住院以来不同时间段体温的变化情况。 （3）从聪聪的体温整体的变化趋势看，聪聪的的治疗有没有效果？请说明理由。 （4）聪聪现在可以出院了吗？请说明理由。 34．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。 35．下图依次排列着5盏灯，用不同位置上亮灯和灭灯表示一个具体的数（亮灯用表示，灭灯用表示）。请根据下面前四种状况所表示的数，完成下列问题。 （1）写出图⑤表示的数。 （2）在图⑥中画出亮灯和灭灯的状况。 ①1         ②3 ③④1+9+81=91 ⑤（     ） ⑥93 36．在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。 37． （1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（    ）枚。（用含n的代数式表示） （2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。 38．下图是由三角形构成的．     (1)填写下表．     图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 黑色三角形个数 (2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 39．古希腊数学家毕达哥拉斯发现“形数”的奥秘，他把1、3、6、10、15……这样的数叫做“三角形数”,因为用这些数的图点可以堆成三角形，如下图． 仔细观察： 图①：1＝1 图②：3＝1＋2 图③：6＝1＋2＋3 图④：10＝（    ）＋（    ）＋（    ）＋（    ） 图⑤：（    ）＝（    ）＋（    ）＋（    ）＋（    ）＋（    ） …… 你发现了什么规律？按这样的规律排下去，第10个三角形中有多少个点？第20个呢？ 40．下面是鸿兴电器商场上半年空调销售情况统计表，根据统计表回答问题。 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 数量/台 18 9 10 20 43 58 （1）根据统计表绘制折线统计图。 （2）图中每格表示（    ）台；上半年一共售出空调（    ）台。 （3）请你预测商场七、八月份空调的销售数量呈（    ）趋势。 （4）五、六月份空调销售数量比较多的原因可能是什么？请你写下来。 41．从1开始，连续n个奇数相加，结果如下表． 加数的个数 和(S) 1 1=1 2 1+3=4 3 1+3+5=9 4 1+3+5+7=16 … … (1)从表中你发现了什么规律？ (2)根据表中的规律，请你算一算，当n=8时，和(S)是多少？ (3)按表中的规律，你会计算11+13+15+…+39的值吗？ 42．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律,拼成若干个图案。 第1个　　　　　第2个　　第3个 第4个图案中有白色地砖多少块?第9个图案呢?第n个图案呢? 43．用边长为1厘米的小正方形拼长方形，如下图，图1的周长是4，图2的周长是6，图3的周长是8。 （1）你发现第几幅图和周长之间有什么关系吗？把你的发现写出来。 （2）你的发现对吗？请画出图4和图5验证一下。 （3）按照上面的规律，图20的图形周长是多少？请把你的思考过程写出来。 44．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 (1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )… (2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米… (3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。 答案解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C C C C 1．A 【分析】先尝试算几步，寻找规律。第一步得到，再算一步得到，再算一步得到……规律就是当所得结果的分母无限增大时，且分子比分母小1，分数值越来越接近1；据此判断即可。 【详解】由分析得： …… …… 照这样一直加下去，这个算式的和是1。 故答案为：A 【点睛】本题还可以通过画图的方法解决，从另一角度灵活分析，实现图形与数之间的相互转化，使计算更直观、更简单。 2．C 【分析】从图中分析： 图1：阴影小正方形有8个，空白小正方形有1个； 图2：阴影小正方形有8个，空白小正方形有16个； 图3：阴影小正方形有24个，空白小正方形有16个； 图4：阴影小正方形有24个，空白小正方形有32个； …… 从图中发现，从图2开始，新增的外圈都比内圈增加了8个。 图2：有3层，除了第一层，有2层，顺序是：阴影部分、空白部分，增加了8个，则相差9个； 图3：有4层，除了第一层，有3层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部分，空白的部分没有变，则相差9个； 图4：有5层，除了第一层，有4层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部分、空白部分，阴影的部分没有变，则相差17个； 也就是当图n中，n是偶数的情况下，相差的数量＝4n＋1；如果是奇数的情况下，相差的数量是4（n－1）＋1 图10时，10是偶数，利用4n＋1公式得出相差的数量。 【详解】4×10＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 阴影小正方形与空白小正方形相差41个。 故答案为：C 3．C 4．C 【分析】观察图形，第1幅图搭一个小正方形需要4根小棒，第2幅图搭两个小正方形需要（4＋3）根小棒，第3幅图搭三个小正方形需要（4＋3×2）根小棒，每搭一个正方形，小棒数量比前一个多3根，依次类推，求出第n幅图搭n个这样的小正方形需要[4＋3×（n−1）]根小棒。 【详解】4＋3×（n−1） ＝4＋3n－3×1 ＝4－3＋3n ＝（3n＋1）根 即第n幅图需要小棒（3n＋1）根。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。 5．C 【分析】第一幅1个笑脸，第二幅1＋2个笑脸；第三幅1＋2＋3个笑脸；……；第n幅1＋2＋3＋……n个笑脸；将n＝8带入即可解答。 【详解】由分析可知：第八幅图有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个笑脸。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查数与形问题，找出其中规律是解题的关键。 6．C 【分析】由题意可得，单个三角形的有5个，两个三角形组合在一起的有4个，三个三角形组合在一起的三角形有3个，四个三角形组合在一起的有2个，五个三角形组合在一起的有1个，所以一共有：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）；据此选择即可。 【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 则图中共有15个三角形。 故答案为：C 7．60 【详解】略 8． 11 25 【分析】第几幅图用n表示，观察可知，●的个数＝（n－1）×2＋1；△的个数＝（n－1）2，据此列式计算。 【详解】（6－1）×2＋1 ＝5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（个） （6－1）2 ＝52 ＝25（个） 第6幅图中有11个●，25个△。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 9．(1)20 (2)4n 【分析】观察可知，第几个图形，点的个数就用几×4，据此解答。 （1） 5×4＝20（个） （2） n×4＝4n（个） 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 10． 13 3n＋1 【分析】观察图形可知： 第1个图案中有白色正方形4个，4＝1×3＋1； 第2个图案中有白色正方形7个，7＝2×3＋1； 第3个图案中有白色正方形10个，10＝3×3＋1； …… 第n个图案中有白色正方形（3n＋1）个； 据此规律解答。 【详解】第n个图案中有白色正方形（3n＋1）个； 当n＝4时 3n＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 第4个图案中有白色正方形13个，第n个图案中有白色正方形（3n＋1）个。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 11． 36 8 【分析】通过观察图形可知：第1幅图共用了1＝12个○；第2幅图共用了1＋3＝4＝22个○；第3幅图共用了1＋3＋5＝9＝32个○；第4幅图共用了1＋3＋5＋7＝16＝42个○；……由此发现规律：第n幅图共用了n2个○。 【详解】（1）第6幅图共用了62个○，62＝36（个），所以第6幅图共用了36个○。 （2）因为64＝82，所以第8幅图共用了64个○。 【点睛】从1开始的n个连续奇数相加的和是n2，即1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2。 12． 51 5n＋1 【分析】由图可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（6＋5）根小棒，摆3个正六边形需要（6＋5×2）根小棒……每增加一个正六边形就增加5根小棒，以此类推，摆n个正六边形需要[6＋5×（n－1）]根小棒，最后求出n＝10时式子的值，据此解答。 【详解】摆n个正六边形需要小棒的根数：6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋6－5 ＝（5n＋1）根 当n＝10时。 5n＋1 ＝5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 所以，摆10个正六边形需要51根小棒，摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，观察图形找出正六边形数量和小棒数量的变化规律是解答题目的关键。 13． 24 8 4n＋4 【分析】由图可知，第1个图中有8个，第2个图中有12个，第3个图中有16个，第4个图中有20个；8＝2×4，12＝3×4，16＝4×4，20＝5×4，图中个数计算中都有因数4，并且另外一个因数比序号多1，由此，第n个图形中的个数：4（n＋1）＝4n＋4，据此解答。 【详解】由分析可知，第n个图形中的个数：4（n＋1）＝4n＋4。 当n＝5时， 6×5＋4 ＝20＋5 ＝24（个） 4n＋4＝36 4n＝36－4 4n＝32 n＝32÷4 n＝8 所以，第5个图形共有24个；如果有36个，它是第8个图形；第n个图形共有（4n＋4）个。 【点睛】此题考查了数与形中图形规律的探索，关键能够根据图形数量变化中，找出数量与序号的规律。 14． 41 （4n＋1） 【分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5＋4＝9（厘米）；3个圆环的总长度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。据此解答即可。 【详解】10个圆环的总长度是： 4×10＋1 ＝40＋1 ＝41（厘米） n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米 【点睛】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题。 15．× 【分析】由于每个同学都要和另外的2个通一次电话，一共要通：3×2＝6（次）；又因为两个同学只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：6÷2＝3（次），据此解答。 【详解】（3－1）×3÷2 ＝6÷2 ＝3（次） 则一共要通话3次。故原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：通话次数＝人数（人数－1）÷2解答。 16．√ 【分析】观察这组图形可得3个图形是一个周期，求第n个图形是什么，则用n÷3，得出的余数是1时则与第一个图形相同；得出的余数是2时则与第二个图形相同；没有余数时即与第三个图形相同。 【详解】19÷3＝6……1， 所以第19个图形与第一个图形相同，是，即正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。 17．√ 【分析】连续几个奇数的和等于奇数的个数的平方。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 1＋3＋5＋7＋9＋…15＝82＝8×8＝64。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查连续几个奇数的和，明确求连续的奇数的和的计算方法是解题的关键。 18．√ 【分析】观察数列可知，由、、、、，这几个数从第二个数起，每个分数的分子是前一个数的分母，而分母都比分子多1，那么数列整体呈现出分数单位越来越小，分子越来越大的规律，因此越来越接近1；据此解答。 【详解】根据分析，、、、、…，这列数越来越大，越来越接近1，说法正确； 故答案为：√ 【点睛】此题考查了分数的数与形的运用，关键能够根据分子分母的变化找出规律再判断。 19．见详解 【详解】根据图意可知，第二幅图比第一幅图每个角上多一个点，第三幅图比第二幅图每个角多一个点，第四幅图比第三幅图每个角又多一个点，所以第五幅图比第四幅图每个角又多一个点，即每边四个点。 如图： 20．（1）57；（2）177 【分析】（1）对图1分析： m＝1时，就是有2个三角形时，需要5＝1＋4根小棒； m＝2时，就是有4个三角形时，需要9＝1＋4×2根小棒； m＝3时，就是有6个三角形时，需要13＝1＋4×3根小棒； …… 需要小棒的数量＝1＋4m。 对图2分析： n＝1时，就是2个正方形时，需要7＝2＋5根小棒； n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝2＋5×2根小棒； n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝2＋5×3根小棒； …… 需要小棒的数量＝2＋5n。 摆成两种图形小棒的数量是一样的，则 a＝1＋4m＝2＋5n，a的值大于50，则m最小13，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝13时，n＝10.2不符合；m＝14时，n＝11符合。 （2）分析图3： p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒； p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒； p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒； …… 需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：57、77、97、117、137、157、177， 其中77、97、137、157不是3的倍数，57、117、177是3的倍数。 【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：1＋4m。 摆成正方形需要小棒的数量：2＋5n。 1＋4m＝5n＋2 4m＝5n＋1 m＝ 当m＝14，n＝11时， 1＋4×14 ＝1＋56 ＝57（根） 答：a的最小值57根。 （2）a＝3（p＋1） a的取值是：57、77、97、117、137、157、177， 57、117、177是3的倍数，177最大。 答：a的最大值177根。 【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。 21．154 【分析】根据题意可知，设第2行第1列为a，第3行第1列为2a，如下图： 据此可知，①＝（a＋97），③＝（2a＋194），②＝（2a＋③），②＝（91＋①），把①＝（a＋97）和③＝（2a＋194）代入（91＋①）＝（2a＋③）中，然后求出a的值，据此再把a的值代入（2a＋194），求出③，然后根据④＝（194＋③），求出④。 【详解】解：设第2行第1列为a，第3行第1列为2a。 [91＋（a＋97）]＝[2a＋（2a＋194）] [91＋0.5a＋48.5]＝[2a＋a＋97] [91＋0.5a＋48.5]×2＝[2a＋a＋97] ×2 91＋0.5a＋48.5＝2a＋a＋97 91＋0.5a＋48.5＝3a＋97 139.5＋0.5a＝3a＋97 139.5＋0.5a－0.5a＝3a＋97－0.5a 139.5＝2.5a＋97 139.5－97＝2.5a＋97－97 42.5＝2.5a 2.5a＝42.5 2.5a÷2.5＝42.5÷2.5 a＝17 当a＝17时， 第3行第3列为： ×（2×17＋194） ＝×2×17＋×194 ＝17＋97 ＝114 第3行第4列为： ×（194＋114） ＝×308 ＝154 答：第3行第4列应该填入的数是154。 【点睛】本题考查了数表中的规律，先找到规律，再根据规律求解，注意方程思想的运用。 22．（1）见详解 （2）6； 【分析】（1）第1个图形一共有（3×3）个小正方形，有1个白色小正方形，有（3×3－1）个黑色小正方形； 第2个图形一共有（3×4）个小正方形，有2个白色小正方形，有（3×4－2）个黑色小正方形； 第3个图形一共有（3×5）个小正方形，有3个白色小正方形，有（3×5－3）个黑色小正方形； 第4个图形一共有（3×6）个小正方形，有4个白色小正方形，有（3×6－4）个黑色小正方形； 第5个图形一共有（3×7）个小正方形，有5个白色小正方形，有（3×7－5）个黑色小正方形； 据此画出第4个和第5个图形。 （2）第6个图形一共有（3×8）个小正方形，有6个白色小正方形，有（3×8－6）个黑色小正方形； 第n个图形一共有3（n＋2）＝（3n＋6）个小正方形，有n个白色小正方形，有3n＋6－n＝（2n＋6）个黑色小正方形。 【详解】（1）3×6－4 ＝18－4 ＝14（个） 第4个图形有4个白色小正方形，有14个黑色小正方形。 如图： 3×7－5 ＝21－5 ＝16（个） 第5个图形有5个白色小正方形，有16个黑色小正方形。 如图： （2）3×8－6 ＝24－6 ＝18（个） 第6个图形有6个白色小正方形，有18个黑色小正方形； 3（n＋2）＝（3n＋6）个 3n＋6－n＝（2n＋6）个 第n个图形中共有（2n＋6）个黑色小正方形。 【点睛】分析图形找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。 23．（1）200； （2）90，40； （3）30%； （4）看了这幅统计图，我想王晓云这个月的消费各项所占的百分率还比较合理。如果是我，我会把买零食的百分比再降低一些，用在买学习用品或其他方面。 【分析】（1）用整个圆表示王晓云这个月的总消费；把总消费看成单位“1”，用1减去零食、学习用品、其他所占的百分率就是买衣服所占的百分率；根据百分数除法的意义，用买衣服的钱数除以所占的百分率就是这个月共花去的钱数； （2）根据百分数乘法的意义，用这个月的总消费乘买学习用品和买零食各占总消费的百分率就得各用的钱数； （3）用1减去零食、学习用品、其他所占的百分率就是买衣服所占的百分率； （4）此题答案不唯一，如可以认为王晓云这个月的消费比较合理；或不太合理，要调整每项消费所占的百分率。 【详解】（1）1－20%－45%－5% ＝80%－45%－5% ＝35%－5% ＝30% 60÷30%＝200（元） （2）200×45%＝90（元） 200×20%＝40（元） （3）1－20%－45%－5% ＝80%－45%－5% ＝35%－5% ＝30% （4）看了这幅统计图，我想王晓云这个月的消费各项所占的百分率还比较合理。如果是我，我会把买零食的百分比再降低一些，用在买学习用品或其他方面。 【点睛】此题是考查扇形统计图的应用，解答此题关键是从扇形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决有关实际问题。 24．（1）25% （2）见详解 【分析】（1）把总量看成单位“1”，用总量减去乳脂、乳糖以及其他占的百分比即可得蛋白质的含量占奶粉总量的百分比； （2）用蛋白质的含量除以蛋白质含量所占的百分比就是这种奶粉的质量；根据百分数乘法的意义，用这种奶粉的总克数乘乳脂所占的百分比，即可求出乳脂的含量，再根据同样的方法分别求出乳糖和其他的含量，在图中绘制出各种含量的直条图，标上数据等即可。 【详解】（1）1－30%－36%－9%＝25% 答：蛋白质的含量占奶粉总质量的25%。 （2）25÷25%＝100（克） 乳脂：100×30%＝30（克） 乳糖：100×36%＝36（克） 其他：100×9%＝9（克） 补图如下： 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的实际应用。 25．个 【分析】如果直接考虑对折7次的情况，会比较复杂，可以先从对折1次、2次等简单情况入手，分析并总结规律，然后利用求解问题。 【详解】从简单情况入手，从第一次对折开始分析， 第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共个； 第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共个； 第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共个。 观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是个。 答：用折痕分割成的正方形共有128个。 【点睛】本题考查的是计数问题，归纳递推计数最核心的思路是发现规律，并应用规律求解问题。 26．（1）见详解； （2）52；144 【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12； 第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22； 第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32； 由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图； （2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。 【详解】分析可知： （1）   （2）○的个数：（12＋2）2－122 ＝142－144 ＝196－144 ＝52（个） ●个数：122＝144（个） 第12幅图中有52个○，有144个●。 【点睛】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解答问题。 27．55个 【分析】三条直线交点最多为1＋2＝3个； 四条直线交点最多为1＋2＋3＝6个； 五条直线交点最多为1＋2＋3＋4＝10个； 则11条直线交点最多为10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）。 【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 【点睛】先从相交直线条数较少的开始分析，发现其一般规律，并应用到11条直线相交的情况中。 28．(1) 10张桌子并成一排可坐22人(2) 如果有26人，需要12张桌子 【详解】略 （I）n=1时，可坐4人，可以写成2×1+2   n=2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n=3时，可坐8人，可以写成2×3=2 … 所以当n=10时，可坐2×10+2=22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （II）2n+2=26 2n=24 n=12 答：如果有26人，需要12张桌子． 29．（1）11；12；8；9 （2）110台 【分析】（1）根据折线统计图的升降幅度可知，11－12月上升的幅度最大即代表销售量增长最快，8－9月下降的幅度最大即代表销售量下降最快。 （2）将6个月的销售额相加再除以6即可求出平均每月销售的台数。 【详解】（1）从11月到12月销售量增长最快，从8月到9月销售量下降最快。 （2）（120＋130＋100＋90＋100＋120）÷6 ＝（250＋100＋90＋100＋120）÷6 ＝（350＋90＋100＋120）÷6 ＝（440＋100＋120）÷6 ＝（540＋120）÷6 ＝660÷6 ＝110（台） 答：平均每月销售110台。 30．（1）小刚；小红；小丽； （2）120 【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确； （2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。 【详解】（1） 小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 ＝（3＋21）×10÷2 ＝120 【点睛】本题考查了奇数列的连加，有一定计算能力是解题的关键。 31．（1）画图见详解；17　 （2）37；4n－3 【分析】观察图形，发现第一个图形是中间1个黑点；第二个图形是中间1个黑点，四周各1个黑点；第三个图形是中间1个黑点，四周各2个黑点；第四个图形是中间一个黑点，四周各3个黑点。 （1）由此可以得知，第五个图形为中间1个黑点，四周各4个黑点。据此解答。 （2）综上可知，每幅图的黑点数如下： 第一幅：1＋（1－1）×4＝1＋0×4＝1＋0＝1； 第二幅：1＋（2－1）×4＝1＋1×4＝1＋4＝5； 第三幅：1＋（3－1）×4＝1＋2×4＝1＋8＝9； 第四幅：1＋（4－1）×4＝1＋3×4＝1＋12＝13； 由此可得： 第n幅图为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3。 【详解】（1）由分析可知，第五幅图中的黑点数为： 1＋（5－1）×4 ＝1＋4×4 ＝1＋16 ＝17（个） 画图如下： （2）由分析可知，第10幅图中黑点数为： 1＋（10－1）×4 ＝1＋9×4 ＝1＋36 ＝37（个） 第n个方框中有（4n－3）个点。 32．24个；36个 【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。 【详解】（5＋2）2－52 ＝72－52 ＝49－25 ＝24（个） （8＋2）2－82 ＝102－82 ＝100－64 ＝36（个） 答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。 【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。 33．（1）6；（2）见详解；（3）有；见详解；（4）不可以；见详解 【分析】（1）观察折线统计图，纵轴表示体温，横轴表示时间，12－6＝6（小时），折线上点与点之间的时间都是间隔6小时，说明是6小时测一次体温。 （2）观察折线统计图，折线的上升下降代表体温的变化情况，据此回答聪聪住院以来不同时间段体温的变化情况。 （3）正是因为治疗起了作用，聪聪的体温才得到控制，体温整体的变化趋势是逐渐下降的，所以治疗是有效果的。 （4）通过体温的变化情况来看，暂时还不能出院，因为聪聪目前的体温还有所回升，说明他还没有完全痊愈，需要继续住院观察。 【详解】（1）12－6＝6（小时） 18－12＝6（小时） 从统计图上可以看出护士每6小时给聪聪测一次体温。 （2）答：第一天体温先降低又升高，从第二天开始体温逐渐下降，第三天体温又有所上升。 （3）答：聪聪的的治疗有有效果，因为从整体变化趋势看，体温呈下降趋势，说明正是因为治疗有效果，体温才得到有效控制。 （4）答：还不可以出院，因为聪聪的体温又有所升高，还得住院观察。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 34．不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1 【分析】根据题意可知，每次增加操作后，纸张的数量都增加了5的整数倍，纸张的数量为被5除余1的整数。据此判断即可。 【详解】2009÷5＝401……4 2009被5除余4，所以不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块。 答：不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1。 【点睛】本题考查了带余除法的灵活应用，明确纸张增加的规律是解答本题的关键。 35．117； 【详解】略 36．种 【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。 【详解】如图所示： 不同类型的涂法有3种； 由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较少的。 【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是最基础的方法，也是适应性最广泛的方法。 37．（1）3n＋1 （2）67枚 【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚； （2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。 【详解】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。 （2）当n＝22时，代入到式子中得： 3n＋1＝3×22＋1 ＝66＋1 ＝67 答：第22个图形中有67枚黑色棋子。 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 38．(1) 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 (2) 45个   55个 【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个) 黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个) 39．1，2，3，4 15，1，2，3，4，5   规律：第n个三角形中点的个数就是从1加到n；55个；210个 【解析】略 40．（1）见详解 （2）10；158 （3）上升 （4）五六月份刚好进入夏季，天气炎热，人们对空调的需求增加，销售量就会变多。 【分析】（1）先根据统计表中的数据在统计图中描出各个点，然后用线段依次连接描出的点即可。 （2）根据折线统计图左边的列可知，每两格之间相差10，即每格表示10台，将六个月售出的空调数量相加即得到上半年一共售出的空调数量。 （3）观察折线统计图可知，从二月开始，销售数量已知呈上升趋势，七八月份应该也会呈上升趋势。 （4）五六月份刚好进入夏季，天气炎热，人们对空调的需求增加，销售量就会变多。 【详解】 （1）如图： （2）18＋9＋10＋20＋43＋58 ＝27＋10＋20＋43＋58 ＝37＋20＋43＋58 ＝57＋43＋58 ＝100＋58 ＝158（台） 图中每格表示10台；上半年一共售出空调158台。 （3）预测商场七、八月份空调的销售数量呈上升趋势。 （4）五六月份刚好进入夏季，天气炎热，人们对空调的需求增加，销售量就会变多。 41．(1)n个连续奇数相加的和等于n2 (2)当n=8时    S=82=64 (3)原式=(1+3+5+…+39)－(1+3+5+…+9)=202－52=400－25=375 42．18块  38块  (4n+2)块 【详解】4×4+2=18(块)　4×9+2=38(块)　(4n+2)块 43．（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2）对； （3）42厘米 【详解】（1）第几幅图加1的和再乘2是它的周长。 （2 （3）图20是第20幅图，所以周长是 （20＋1）× 2 ＝21×2 ＝42（厘米） 答：周长是42厘米。 44．(1) 1 4 9 (2) 4 8 12 (3) 25 20 81 36 【分析】（1）根据题中图形排列规律： 第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）； 第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）； 第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）； 则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。 （2）通过观察可知： 第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）； 第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； 第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）； 则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。 （3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9… （2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米… （3）由分析（1）（2）可得： 5×5＝25（个） 4×5＝20（厘米） 9×9＝81（个） 4×9＝36（厘米） 即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$