单元思维拓展：分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数除法 【思维导图+知识清单+能力巩固提升+综合拔高拓展+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 思维导图 单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 知识清单 分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 分数除法法则： （1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数． （2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数． （3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算． 分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同 （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． 能力巩固提升 一、选择题 1．a、b都大于0，如果a÷＝b×，那么（    ）。 A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法比较a与b的大小 2．一张长方形桌子的面积是平方米，长是米，宽是（）米． A． B． C． 3．已知a、b、c 是三个不等于0的数，如果a×25%=b÷25%=1×c那么a、b、c 这三个数中最大的是（　　） A．a B．b C．c D．无法确定 4．把9块糖平均分给7个人，每个人分得（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 5．果园里有杏树300棵，（    ），桃树有多少棵？列式为300÷（1＋）。 A．桃树比杏树多 B．比桃树少 C．比桃树多 6．a是一个非0自然数，等于（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．40的是( )，( )的是40。 8．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 24÷( )24   ( )      ( ) ( )   ( )    ( ) 9．学校食堂有一批大米重，每周用去，能用( )周；每周用去，能用( )周。 10．把米长的绳子平均分成7段，每段长( )，每段占全长的( )。 11．( )的倒数是；0.125的倒数是( )；最小合数的倒数是( )。 三、判断题 12．“甲比乙多”，也可以说是“乙比甲少”． ( ) 13．所有自然数（0除外）的倒数都比1小。( ) 14．“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”就是求单位“1”的量。( ) 15．甲数是乙数的5倍，乙数是甲数的。( ) 16．有一堆煤，用去了，还剩吨煤，原来这堆煤有1吨。( ) 17．若甲的 等于乙的 (甲、乙均是不为0的自然数)，则甲是乙的 . ( ) 18．一件衣服80元，降价五分之一，再涨价五分之一，这件衣服还是80元．( ) 四、计算题 19．直接写得数。                                                                           20．计算下面各题，能简算的要简算。                     21．解方程。 x＝28    （1－）x＝35   ÷x＝ 22．看线段图列式解答。 求：水有多少立方分米？ 23．计算下面图形的面积． 　                      　 五、作图题 24．分一分、涂一涂。在长方形中表示算式，÷2。 25．画图表示的意义。 综合拔高拓展 六、解答题 26．一台拖拉机7小时可以耕地8公顷，这台拖拉机每小时可以耕地多少公顷，耕一公顷地需要多少小时？ 27．甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修10天完成，乙队单独修8天完成，已知乙队每天比甲队多修30米，这条水渠全长多少米？ 28．赵大爷家养的鸡和鸭共有700只，其中鸡的只数是鸭的。赵大爷养的鸡和鸭各多少只。 29．学校开展捐书活动，五年级的同学捐书480本，比六年级捐的本数少，六年级捐书多少本？ 30．一项工程，甲队单独做4天完成，乙队单独做8天完成，两队合作多少天可以完成工程的？ 31．学校体育室有足球和篮球共140个，借出足球的后，剩下的足球和篮球的个数正好相等，体育室原有足球多少个？（先把线段图补充完整，再解答） 32．张老师复印一批试卷，A型号复印机需要8分钟，如果改用B型号的复印机需要10分钟。现在两台复印机同时工作，5分钟可以完成吗？ 33．小雨和小美进行踢毽子比赛．小雨分钟踢18个，小美分钟踢20个．算一算，谁每分钟踢得多？ 34．学校航模小组和美术小组一共有90人，航模小组的人数是美术小组的，航模小组和美术小组各有多少人？ 35．修一条隧道，甲队单独修8个月完成，乙队单独修10个月完成。甲、乙两队合修，几个月修完这条隧道？ 36．植树节，同学们栽的松树的棵数是杨树的，栽的松树和杨树共63棵，松树和杨树各栽了多少棵？ 37．学校参加美术小组的有18人，书法小组的人数是美术小组的，又是数学小组的，数学小组有多少人？ 38．妈妈买了一套运动服共105元。裤子的价钱是上衣的，上衣和裤子的价钱分别是多少元?   39．花店卖出玫瑰花56枝，是卖出百合花枝数的，卖出丁香花的枝数是百合花的。花店卖出丁香花多少枝？ 40．爸爸给明明一些钱，明明买外套花了80元，买裤子花了50元。买这两样衣物花的钱是爸爸给明明钱的，爸爸给明明多少钱？ 41．小芳在踢毽子比赛中踢了63个，她踢毽子的数量是小云的。小云踢了多少个？（用方程解决问题。） 42．大冶市在创办全国卫生城市活动时，要把一批鲜花运往青龙山公园，若用甲车单独运，5小时可以运完；若用乙车单独运，10小时可以运完。甲车先运了2小时，然后乙车帮忙一起运，还要几小时才能运完这批鲜花？ 43．小明从学校图书馆借了一本故事书，第一周看了全书的一半，第二周又看了全书的，还剩10页。这本故事书一共有多少页？ 44．学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门，下午有一同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的加上现在到关校门时间的，就是现在的时间，那么现在的时间是下午几点？ 45．北斗系统是我国自主建设、独立运行的全球卫星导航系统。截至2023年6月，在轨卫星有北斗二号卫星和北斗三号卫星共45颗，其中北斗二号卫星的颗数是北斗三号卫星颗数的，则北斗三号卫星有多少颗？（只列综合算式或方程，不计算。） 46．李明家九月份共付水电费360元，其中水费相当于电费的，李明这个月付电费多少元？ 47．水果店运来300筐水果，其中是苹果，苹果的筐数是橘子的．苹果和橘子各有多少筐？ 48．一匹布料，如果只用来做上衣，正好可以做20件；如果只用来做裤子，正好可以做30条。一件上衣和一条裤子配成一套服装，用这匹布料能做多少套服装？ 49．我国铁路已经多次进行了大规模提速．有一列火车现在每小时行驶112千米，比原来提速．现在每小时比原来每小时多行驶多少千米? 50．图书馆有图书800本，其中科普读物占。科普读物的数量是故事书的。图书馆有多少本故事书？ 答案解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B C B 1．A 【分析】假设a÷＝b×＝1，分别求出a、b，再进行比较即可。 【详解】假设a÷＝b×＝1； 则a＝、b＝； 因为＜； 所以a＜b； 故答案为：A。 【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。 2．C 【详解】分数除法 长方形的面积=长×宽=×宽=，宽=米，故选C． 3．A 【分析】依据倒数的定义，求出a，b，c的值，再根据小数大小的比较方法解答． 【详解】因为a、b、c是三个不等于0的数，并且a×25%=b÷25%=1×C=1 a×25%=1，所以a=4 b÷25%=1，所以b=0.25 1×C=1，所以c=1 4＞1＞0.25 故选A． 4．B 【分析】用糖的总块数除以平均分的人数，用分数表示得数即可求出每人分得的块数. 【详解】每人分得：9÷7=(块) 故答案为B 5．C 【解析】将每个选项中的条件代入问题中，列式解答，再进行判断即可。 【详解】A．果园里有杏树300棵，桃树比杏树多，桃树有多少棵？列式为：300×（1＋）； B．果园里有杏树300棵，比桃树少，桃树有多少棵？列式为：300÷（1－）； C．果园里有杏树300棵，比桃树多，桃树有多少棵？列式为：300÷（1＋）； 故答案为：C。 【点睛】求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法；已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数，用除法。 6．B 【详解】因为， 所以。 故选B。 7． 25 64 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，即40×；根据“（   ）×＝40”求出未知数即可。 【详解】40×＝25； 40÷＝64 【点睛】单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法。 8． ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＜ 【分析】根据一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；乘的数越大，结果越大；除以的数越大，结果越小，进行分析。 【详解】24÷＞24   ＜      ＝ ＞   ＜    ＜ 【点睛】关键是掌握分数乘除法的计算方法，除以一个数等于乘这个数的倒数。 9． 15 7 【分析】（1）把这批大米总质量看作单位“1”，可以用的周数＝1÷每周用去的部分占大米总质量的分率； （2）可以用的周数＝这批大米的总质量÷每周用去的质量，据此解答。 【详解】（1）1÷＝15（周） （2）÷＝7（周） 【点睛】题中第一个是分率，而第二个是具体的量，解题时需仔细审题。 10． 米 【分析】（1）求每一段绳子的长度时，用绳子总长度÷绳子段数； （2）把整根绳子长度看作单位“1”，单位“1”被平均分成7段，每段占全长的。 【详解】（1）÷7＝（米） （2）1÷7＝ 【点睛】区分清楚求每段的长度和每段占全长的分率的计算方法是解题的关键。 11． 8 【分析】互为倒数的两个数的乘积是1，最小的合数是4，据此填空即可。 【详解】1÷＝ 1÷0.125＝8 1÷4＝ 则的倒数是；0.125的倒数是8；最小合数的倒数是。 【点睛】本题考查倒数和合数，明确倒数和合数的定义是解题的关键。 12．错误 【详解】略 13．× 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答即可。 【详解】1的倒数是它本身，等于1，所以本题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查倒数的认识，解答本题的关键是掌握倒数的概念。 14．√ 【详解】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，这个数是单位“1”，所以求这个数就是求单位“1”的量。说法正确。 故答案为：√ 15．√ 【详解】略。 16．√ 【分析】把这堆煤看作单位“1”，用去，还剩下这堆煤的（1－），对应的是吨，用除法即可求出这堆煤的总质量。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝1（吨），原来这堆煤有1吨。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 17．√ 【解析】略 18．× 【详解】略 19．0.6；；；； ；8；；； 【解析】略 20．； 16；13 【分析】（1）利用乘法交换律、乘法结合律简算。 （2）先算除法，再算减法。 （3）逆用乘法分配律简算。 （4）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简算。 【详解】          ＝×× ＝×（×） ＝× ＝ 4 ＝4×－ ＝ ＝         ＝×（17＋19） ＝×36 ＝16 （）÷ ＝（）×12 ＝×12＋×12＋×12 ＝3＋8＋2 ＝13 21．x；；x 【分析】第一题方程左右两边同时除以即可； 第二题先计算出1－，将方程转化为x＝35，再左右两边同时除以即可； 第三题方程左右两边同时乘x，将方程转化为x＝，再左右两边同时除以即可。 【详解】x＝28 解：x÷＝28÷ x＝35； （1－）x＝35 解：x＝35 x÷＝35÷ x＝75； ÷x＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝4 22．1100立方分米 【分析】根据题意可知，水结冰后体积增加，有1200立方米冰，能化成水多少立方分米？把水的体积看作单位“1”，则结成冰的体积是水体积的（1＋），根据分数除法的意义，用冰的体积除以（1＋），就是冰化成水的体积。 【详解】1200÷（1＋） ＝1200÷ ＝1100（立方分米） 水有1100立方分米。 23．×÷2＝ (m2)　(＋)×÷2＝ (m2)　 24．见详解 【分析】将整个长方形平均分成4份，取其中的3份，是整个长方形的，再根据除法的意义，将选取的3份平均分成2份，其中1份表示的就是÷2，根据涂色情况可知它是大长方形的；据此即可解答。 【详解】 25．见详解 【分析】表示先把单位“1”平均分成5份，取其中的4份（涂上阴影），再把这4份平均分成3份，取其中的一份（画上斜线），据此作图即可。 【详解】作图如下： 26．公顷；小时 【分析】求每小时可以耕多少公顷地是求工作效率，根据工作总量÷工作时间＝工作效率求解；求每公顷需要耕多少小时，相当于把7小时平均分成8份，每份是多少小时，也就是每公顷地需要的时间。 【详解】8÷7＝（公顷） 7（小时） 答：这台拖拉机每小时可以耕地公顷，耕一公顷地需要小时。 27．1200米 【分析】把工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，用乙队每天比甲队多修的长度除以甲乙两队的工作效率差，就可以计算出这条水渠全长多少米。 【详解】1÷10＝ 1÷8＝ 30÷（－） ＝30÷ ＝30×40 ＝1200（米） 答：这条水渠全长1200米。 28．200只；500只 【分析】鸡的只数是鸭的，那么把鸭的只数看作单位“1”，鸡的只数可以表示为，则总数就是。根据对应量和对应分率，用除法求出单位“1”。 【详解】700÷（1＋） ＝700÷ ＝700× ＝500（只） 700－500＝200（只） 答：赵大爷养的鸡有200只，鸭有500只。 【点睛】本题考查运用分数除法解决题，找准单位“1”是关键。 29．768本 【分析】把六年级捐的本数看作单位“1”，已知五年级捐的本数比六年级捐的本数少，则五年级捐的本数是六年级的（1－），又已知，五年级的同学捐书480本，根据分数除法的意义，用480÷（1－）即可求出六年级捐的本数。 【详解】480÷（1－） ＝480÷ ＝480× ＝768（本） 答：六年级捐书768本。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 30．2天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲队和乙队的工作效率是和，然后根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此解答即可。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝2（天） 答：两队合作2天可以完成工程的。 【点睛】本题考查工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，明确它们的关系是解题的关键。 31．见详解；80个 【分析】把原有足球的个数看作单位“1”，借出足球的后，剩下原有足球的（1－），此时剩下的足球和篮球的个数正好相等，说明篮球的个数相当于原有足球的（1－），据此先把线段图补充完整，而足球和篮球的总个数是140个，对应着足球和篮球的分率之和（1－＋1），根据分数除法的意义，利用量÷对应的分率＝单位“1”的量，列式计算求出原有足球的个数。 【详解】线段图如下： 140÷（1＋1－） ＝140÷（2－） ＝140÷ ＝140× ＝80（个） 答：体育室原有足球80个。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 32．可以完成 【分析】表示出A型号复印机和B型号复印机的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷（A型号复印机的工作效率＋B型号复印机的工作效率），结果大于5分钟时不可以完成，结果小于等于5分钟时可以完成，据此解答。 【详解】假设工作总量为1 1÷（＋） ＝1÷ ＝（分钟） 因为分钟＜5分钟，所以5分钟可以完成。 答：5分钟可以完成。 【点睛】本题考查分数除法的应用，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解答题目的关键。 33．小雨和小美踢得一样多 【分析】根据工作效率=工作总量工作时间这个公式，分别求小雨和小美每分钟踢多少个，然后进行比较． 【详解】小雨：18=24（个） 小美：20=24（个） 答：小雨和小美踢得一样多． 34．航模小组40人；美术小组50人 【分析】根据题意，航模小组的人数是美术小组的，设美术小组有人，则航模小组有人； 数量关系：航模小组人数＋美术小组人数＝航模小组和美术小组的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设美术小组有人，则航模小组有人。 ＋＝90 ＝90 ÷＝90÷ ＝90× ＝50 航模小组：90－50＝40（人） 答：航模小组有40人，美术小组有50人。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 35．个 【分析】把这条隧道的全长看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。根据工作总量÷工作效率的和＝工作时间，用1÷（＋）可求出甲、乙两队合修，几个月修完这条隧道。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（个） 答：甲、乙两队合修，个月修完这条隧道。 【点睛】在用分数解决工程问题时，通常没有具体的工作总量，解题时把工作总量看作单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。 36．杨树:35棵        松树:28棵 【详解】杨树：63÷(1＋)＝35(棵)         松树：63－35＝28(棵) 37．25人 【分析】先求出书法小组的人数，书法小组的人数＝美术小组的人数×，数学小组的人数＝书法小组的人数÷，据此解答。 【详解】18×÷ ＝15÷ ＝25（人） 答：数学小组有25人。 【点睛】掌握标准量和比较量的计算方法是解答题目的关键。 38．56元；49元 【详解】设上衣的价钱是x元，则裤子的价钱为x元。 x+x=105 x=105 x=105÷ x=56 裤子：x=×56=49（元） 答:上衣的价钱是56元，裤子的价钱是49元。 39．44枝 【分析】玫瑰花56枝是百合花的，先求出百合花的数量，再计算丁香花的数量。 【详解】 答：花店卖出丁香花44枝。 【点睛】在分数乘除法应用题中，单位“1”已知，用乘法，单位“1”未知，用除法。 40．195元 【分析】先把买外套和买裤子的钱加起来，即是买这两样衣物花的钱，把爸爸给明明的钱看作单位“1”，根据分数除法的意义，单位“1”未知，用除法，用买这两样衣物花的钱除以即可求出爸爸给明明的钱。 【详解】 ＝ ＝195（元） 答：爸爸给了明明195元。 【点睛】此题的解题关键是理解分数除法的意义以及灵活应用分数除法解决问题。 41．84个 【分析】设小云踢了x个，求一个数的几分之几是多少用乘法，根据小云踢的个数×小芳对应分率＝小芳踢的个数，列出方程解答即可。 【详解】解：设小云踢了x个。 x＝63 x÷＝63÷ x＝63× x＝84 答：小云踢了84个。 42．2小时 【分析】由题意可知，把这批鲜花看作单位“1”，可求出甲、乙的工作效率。然后求出甲车2小时运的总量，用单位“1”减去甲车2小时运的总量，再用剩下的鲜花总量除以甲乙的工作效率之和即可解答。 【详解】（1−）÷（） ＝ ＝2（小时） 答：还要2小时才能运完这批鲜花。 【点睛】本题考查工程问题，题干没有告诉工作总量那把它看作单位“1”是解题的关键。 43．80页 【分析】将这本故事书的总页数看作单位“1”，用1－－求出剩下的页数所占单位“1”的分率，根据分数除法的意义，已知剩下页数的具体数值，以及其对应单位“1”的分率，用10除以（1－－）可求出单位“1”，也就是故事书总页数。 【详解】10÷（1－－） ＝10÷（－－） ＝10÷ ＝10×8 ＝80（页） 答：这本故事书一共有80页。 44．4点 【分析】根据“从开校门到现在时间的加上现在到关校门时间的，就是现在的时间”。设现在的时间是下午x点，由从早上6：00到现在的时间是12－6＋x＝6＋x小时，从现在到晚上6：40的时间是－x小时。列出方程，求解即可得解。 【详解】解：设现在的时间是下午x点。 ×（6＋x）＋×（－x）＝x ×6＋×x＋×－×x＝x 2＋x＋－x＝x x－x＋x＝＋ x＋x＝ x＝ x＝÷ x＝× x＝4 答：现在的时间是下午4点。 【点睛】两车没有相遇，从表面上看虽然不是相遇问题，但是两车所有的时间是相同的，因此可以当做相遇问题来解答．要注意表面现象是相遇，实质上有追及的特点，因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质，究竟考虑速度和，还是考虑速度差，要针对题目中的条件认真思考，千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”。 45．45÷（1＋） 【分析】把北斗三号卫星颗数看作单位“1”，北斗二号卫星的颗数是北斗三号卫星颗数的，则北斗二号卫星和北斗三号卫星的总颗数共占北斗三号卫星颗数的（1＋），根据分数除法的意义，用45÷（1＋）即可求出北斗三号卫星颗数。 【详解】45÷（1＋） ＝45÷ ＝45× ＝30（颗） 答：北斗三号卫星有30颗。 46．200元 【详解】360÷（1+）=200（元） 47．苹果120筐,橘子160筐 【解析】略 48．12套 【分析】把这批布料看作单位“1”，用除法表示出做一件上衣和一条裤子需要的布料占这匹布料的分率，这匹布料可以做服装的数量＝1÷（一件上衣需要的布料占这匹布料的分率＋一条裤子需要的布料占这匹布料的分率），据此解答。 【详解】1÷（1÷20＋1÷30） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝12（套） 答：用这匹布料能做12套服装。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，分别表示出每件上衣和每条裤子需要的布料占这匹布料的分率是解答题目的关键。 49．32千米 【详解】112÷(1+) =112÷ =112× =80（千米/时） 112-80=32（千米/时） 答：现在每小时比原来每小时多行驶32千米． 50．200本 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算：用800乘即可求出科普读物的本数；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算：用科普读物的本数除以即可求出故事书的本数。 【详解】800×÷ ＝320÷ ＝200（本） 答：图书馆有200本故事书。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$