3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类 一、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1．抛物线，. 2．抛物线，. 3．抛物线，. 4．抛物线，. 三、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 四、直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. （一） 抛物线的简单几何性质 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 题型1：研究抛物线的几何性质 1-1．（2024·江苏·一模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ． 1-2．（2024高二上·湖北孝感·期中）对抛物线，下列描述正确的是 A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 1-3．（2024高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 1-4．（2024高二下·四川广安·阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2-2．（2024高二·全国·专题练习）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线：交于，两点，且．求的方程． 2-3．（2024高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 2-4．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． （二） 直线与抛物线位置关系的判断 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． 题型3：直线与抛物线位置关系的判断及应用 3-1．（2024·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ． 3-2．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（    ） A．4 B．2 C．0或4 D．8 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条 （三） 直线与抛物线的相交问题 直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 注：直线与抛物线的位置关系 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 题型4：直线与抛物线的相交弦长问题 4-1．（2024高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 4-2．（2024高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分. (1)求直线的方程； (2)求弦的长度. 4-3．（2024高二上·广东清远·期末）已知抛物线的准线方程为. (1)求的值； (2)直线交抛物线于、两点，求弦长. 题型5：抛物线的焦点弦 5-1．（2024高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 5-2．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．18 D．20 5-3．（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切． (1)求抛物线的方程； (2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长． （四） 抛物线的中点弦 1、抛物线的中点弦结论： 若直线与抛物线相交于两点、， 中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型6：求抛物线的中点弦 6-1．（2024高二上·吉林辽源·期中）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程． 6-2．（2024高二上·陕西·期末）已知抛物线是抛物线上的点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 6-3．（2024高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． （五） 抛物线的综合问题 1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 题型7：抛物线的定值、定点问题 7-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 7-2．（2024高二下·河北·期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7-3．（2024·河南信阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.    (1)求，的值； (2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 7-4．（2024高二下·四川资阳·期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 题型8：抛物线的向量问题 8-1．（2024高二下·四川内江·期中）已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P． (1)求点P的轨迹C的方程： (2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点． 8-2．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2024·河南安阳·模拟预测）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2024高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（2024高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·贵州铜仁·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 7．（2024高二下·河南焦作·期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．6 8．（2024高二上·陕西渭南·期末）设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 9．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 10．（2024高二上·广西河池·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（    ） A．4 B． C． D． 11．（2024高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·浙江·期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 14．（2024高二下·安徽·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（    ） A．的准线为 B．的大小可能为 C．的最小值为8 D． 15．（2024高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 16．（2024高二上·安徽阜阳·期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．0 17．（2024高三下·安徽·开学考试）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 18．（2024高二·全国·课后作业）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（    ） A．当与轴垂直时，最小 B． C．以弦为直径的圆与直线相离 D． 三、填空题 19．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则 ． 20．（2024高二上·全国·课后作业）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ． 21．（2024高三下·上海宝山·期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 . 22．（2024高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 23．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ． 24．（2024高二下·湖北孝感·阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ． 25．（2024高二下·山东青岛·期中）在坐标平面内，抛物线的准线为，点是上一点，且，垂足为，连接交于点，则直线在轴上的截距为 ；若点到的距离为，则 . 26．（2024·全国·模拟预测）已知在四面体中，，点E在内运动（含边界位置），记平面与平面所成的角为，若，则的最大值为 . 四、解答题 27．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 28．（2024高二上·陕西延安·期末）已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 29．（2024高二上·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 30．（2024高二下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 31．（2024·河北唐山·二模）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， (1)求的方程； (2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 32．（2024高二下·广东汕尾·期末）已知抛物线过点（）． (1)求C的方程； (2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度． 33．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，设直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线l的方程． 34．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 35．（2024高二上·广西北海·期末）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 36．（2024高二上·山东滨州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 37．（2024高二上·河南·阶段练习）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求． 38．（2024高三上·四川内江·期末）已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 39．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点，点在上，且是以为顶点的等腰三角形，其周长为10. (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与交于A，两点，点与A，不共线，判断是否存在实数，使得直线，与直线交于点，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 40．（2024高二上·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点. (1)求抛物线C的方程； (2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值. 41．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 42．（2024高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，求线段AB的长． 43．（2024高二下·四川达州·期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 44．（2024高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 45．（2024·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 46．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．    (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值． 47．（2024·福建福州·二模）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 48．（2024·陕西西安·一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.3.2抛物线的简单几何性质8题型分类 一、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1．抛物线，. 2．抛物线，. 3．抛物线，. 4．抛物线，. 三、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 四、直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. （一） 抛物线的简单几何性质 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 题型1：研究抛物线的几何性质 1-1．（2024·江苏·一模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ． 【答案】6 【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．. 点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p的值，属于基础题． 1-2．（2024高二上·湖北孝感·期中）对抛物线，下列描述正确的是 A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】B 【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B 1-3．（2024高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 1-4．（2024高二下·四川广安·阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可. 【详解】 过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为， 根据抛物线定义，有， 所以. 故选：A 2-2．（2024高二·全国·专题练习）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线：交于，两点，且．求的方程． 【答案】 【分析】设出抛物线方程，根据题目条件求出参数，即可得出方程. 【详解】设抛物线的方程为（）． 由题意知，， 因为， 则， 即， 解得． 所以抛物线的方程为． 2-3．（2024高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】过点向轴作垂线，求得坐标，即可求解. 【详解】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 2-4．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据在抛物线上可求的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项. 【详解】因为在抛物线上，故， 整理得到：即， 解得或（舍），故焦点坐标为， 故所求距离为， 故选：D. （二） 直线与抛物线位置关系的判断 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． 题型3：直线与抛物线位置关系的判断及应用 3-1．（2024·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】由，消去得，由求出，从而求得准线方程． 【详解】由，消去得， 由题意，解得， 则抛物线方程为：， 所以抛物线的准线方程为：，即． 故答案为：． 3-2．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（    ） A．4 B．2 C．0或4 D．8 【答案】C 【分析】联立得：，再分与讨论即可求解 【详解】联立得：， 当时，交点为，满足题意； 当时，由，解得， 综上可知： 或， 故选：C 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C （三） 直线与抛物线的相交问题 直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 注：直线与抛物线的位置关系 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 题型4：直线与抛物线的相交弦长问题 4-1．（2024高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用题中条件建立等式，可求动点的轨迹方程； （2）直线与曲线联立方程组，利用韦达定理和弦长公式计算弦长. 【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切， ，整理得， 故动点的轨迹方程为． （2）设，，直线的方程为， 则由，整理得, ． 4-2．（2024高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分. (1)求直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点差法得出斜率，再写出方程； （2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式求出弦的长度. 【详解】（1）设则， 由，可得 所以，得直线的方程为. （2）联立方程，得， 得，所以 4-3．（2024高二上·广东清远·期末）已知抛物线的准线方程为. (1)求的值； (2)直线交抛物线于、两点，求弦长. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据给定抛物线方程，求出其准线方程即可计算作答； （2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出弦长作答. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得， 所以的值为2. （2）由（1）知，抛物线，设点，， 由消去y得：，，则，， 所以 . 题型5：抛物线的焦点弦 5-1．（2024高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】(1)根据题意可知曲线C的轨迹为抛物线，进而可知，即可得轨迹方程； (2)设直线方程为，联立直线与抛物线方程借助韦达定理求得弦长的表达式，解出，进而得直线方程. 【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等， 所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），， 所以曲线C的轨迹方程是； （2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在， 设直线方程为，代入曲线C方程整理得， 设，则， ， 所以直线方程为，即或． 5-2．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．18 D．20 【答案】B 【分析】依题意抛物线的准线为，即可求出，从而求出抛物线方程，再由，求出，从而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再根据焦半径公式计算可得. 【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得， 所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得， 所以， 所以，所以直线的方程为， 由，消去整理得，解得、， 即， 所以. 故选：B 5-3．（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切． (1)求抛物线的方程； (2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得，解得、、，即可得解； （2）由（1）可得，，即可求直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由焦点弦公式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意可得，解得或，又、、， 所以，所以抛物线方程为. （2）由（1）可得，，， 因为直线直线，所以， 所以直线的方程为，即， 由，消去整理得， 设，，所以， 所以， 所以. （四） 抛物线的中点弦 1、抛物线的中点弦结论： 若直线与抛物线相交于两点、， 中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型6：求抛物线的中点弦 6-1．（2024高二上·吉林辽源·期中）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线的标准方程为，代入已知点的坐标求得参数，得抛物线方程； （2）设点，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程． 【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点， 所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为， 将点代入可得，所以， 所以抛物线的标准方程为， （2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点． 设点，直线斜率为 点在抛物线上，所以 所以，即， 所以直线方程为． 经检验，直线符合题意. 6-2．（2024高二上·陕西·期末）已知抛物线是抛物线上的点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程； （2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意， 在抛物线中，， 由几何知识得， ， 解得：， 故抛物线的方程为：. （2）由题意及（1）得， 直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则， 两式相减得， 整理得， 因为的中点为， ∴， ∴直线的方程为：， 即，经检验，满足题意. 6-3．（2024高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线的交点坐标，代入抛物线方程点差法求解斜率，进一步利用点斜式方程求出直线方程 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点， 设，则，两式相减得， 整理得，因为MN的中点为，则， 所以，所以直线l的方程为即. 故选：A （五） 抛物线的综合问题 1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 题型7：抛物线的定值、定点问题 7-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据焦半径公式和圆的弦长公式可解； （2）设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， ∴，， ∴，∴，解得， ∴抛物线的方程为.    （2）由（1）知，设，，直线的方程为， 代入，整理得，∴，即， ∴，， ∴ .    7-2．（2024高二下·河北·期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】 （1）设，表达出，代入抛物线方程中，求出的轨迹方程； （2）设出直线MN：，联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出，进而得到. 【详解】（1）设，则 因为点B在抛物线上，即， 化简得，所以曲线E的方程为． （2） 假设存在点使为正三角形． 当MN垂直于y轴时，不符合题意； 当MN不垂直于y轴时， 设直线MN：，MN的中点为， 联立得：， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵为正三角形，∴， 即， ∴， PK：，令， ∴ 所以存在点使为正三角形．    7-3．（2024·河南信阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.    (1)求，的值； (2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)定值为64 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p，利用两点距离公式求出a； （2）设切线方程，联立方程韦达定理，结合直线与圆相切得到斜率关系，从而求解纵坐标之积为定值. 【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3， ∴，∴； ∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴； （2）设，过点的直线方程设为， 由得，， 若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，， ∴，， ∵到的距离，∴， ∴，， ∴， ∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64. 7-4．（2024高二下·四川资阳·期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)直线MN恒过定点． 【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解， （2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解. 【详解】（1）由题，， 设切点，则切线方程为，, 的坐标代入，得，解得，由于，所以， 由的面积，解得， 所以的方程为． （2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立方程组消去并整理得，， 则， 设，，则，， 所以， 因为为CD中点，所以， 同理可得， 所以，直线MN的方程为， 整理得，所以，直线MN恒过定点． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 题型8：抛物线的向量问题 8-1．（2024高二下·四川内江·期中）已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P． (1)求点P的轨迹C的方程： (2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据抛物线定义写出点P轨迹C的方程； （2）设，联立抛物线应用韦达定理，根据向量数量积的坐标表示列方程求参数b，即可证直线过定点及其坐标. 【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹方程. （2）设直线， 联立，而①， ∴，则， 由，即满足①式， ∴直线：必过点. 8-2．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点M到点的距离等于它到直线l：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线E的标准方程； （2）设，由结合抛物线方程得出是方程的两根，设直线AB的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点P坐标. 【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小， 所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离， 则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线E的方程为. （2）设， 由得：，且，得， 即，所以， 代入抛物线方程，得， 整理得，同理可得 故是方程的两根，， 由韦达定理可得①， 由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为， 与抛物线方程联立可得， 易得，由韦达定理可得②， 由①②可得， 故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.    一、单选题 1．（2024·河南安阳·模拟预测）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 2．（2024高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答. 【详解】依题意，，则由解得， 所以点的横坐标为3. 故选：A 3．（2024高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点与抛物线的位置即可求解. 【详解】在轴上，所以在抛物线外部， 将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部， 将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部， 将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部， 将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点， 故选：D 5．（2024高二上·贵州铜仁·期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 如图所示，由题得，利用抛物线的定义化简即得解. 【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为. 所以. 故选：C    6．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为，则准线方程为，由条件结合抛物线的定义求出的值即可. 【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为， 由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以， 所以抛物线的方程是：， 故选：B. 7．（2024高二下·河南焦作·期末）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】利用题目所给的条件，计算出A点的坐标可得答案. 【详解】依题意作下图：    设，，所以， 可得，由，解得，所以， 所以. 故选：A. 8．（2024高二上·陕西渭南·期末）设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可得，结合在抛物线上，即可得解. 【详解】由抛物线可知， 由抛物线的定义可得，即， 又在抛物线上，， . 故选：D. 9．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 【答案】D 【分析】 结合导数几何意义可证得过抛物线上一点的切线方程为，由此可确定在处的切线方程，进而结合点坐标得到直线方程，代入可知点必过直线；结合韦达定理可得，知，由此可得结论. 【详解】设为抛物线上一点， 当时，由得：，在处的切线方程为：， 即，； 同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为； 经检验，当，时，切线方程为，满足， 过抛物线上一点的切线方程为：； 设， 则抛物线在处的切线方程为和，， 点满足直线方程：，又直线过焦点， ，解得：，点必在直线上；AC错误； 由题意知：，， ，，； 设直线方程为：， 由得：，，，即， 以为直径的圆过点；B错误，D正确. 故选：D. 10．（2024高二上·广西河池·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出点坐标，根据直线过焦点的直线，联立抛物线方程求出点的横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以4）， 即，又， 所以，解得或，所以， 又因为， 点到直线的距离， 所以的面积.    故选：. 11．（2024高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得​​​​​​​，再利用两点间的距离公式计算得结论. 【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，， 由得，因此， 故. 因为，所以过与相切的直线方程分别为：、， 因此由得，即， 所以 . 因为，所以，因此， 所以的取值范围是. 故选:C. 12．（2024高二下·浙江·期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为：，，与抛物线联立得到，由斜率公式表示出结合韦达定理化简可得，，解方程求出，即可求出直线的方程. 【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点， 在抛物线上，所以直线斜率一定不为， 设直线的方程为：，设， 与联立方程可得：，即， 所以， 则 ，所以①， ， 所以②，由①②可得：， 所以，故. 故选：A. 二、多选题 13．（2024高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围. 【详解】抛物线的准线与x轴交于点Q，     准线为，Q点的坐标， 又直线l过点Q，且斜率必存在， 可设l：， 联立，可得， 当时，得，即交点为， 当时，由得，即， 解得，或， 综上，k的取值范围是． 故选：BC. 14．（2024高二下·安徽·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（    ） A．的准线为 B．的大小可能为 C．的最小值为8 D． 【答案】ACD 【分析】利用韦达定理以及抛物线的弦长公式、焦半径公式求解. 【详解】由题意得，，则的准线为，故A正确； ,设 ，整理得，， 所以， ， ， 所以，故B错误； ， 当时，的最小值为8，故C正确； ∵， ∴，故D正确. 故选：ACD. 15．（2024高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 16．（2024高二上·安徽阜阳·期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】BD 【分析】联立方程，根据题意可得，由此即可得解. 【详解】联立，消去可得， ∵直线与抛物线只有一个交点， 或. 故选：BD. 17．（2024高三下·安徽·开学考试）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，求出的范围，即可得出答案. 【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得， ∴其准线为. 故选:BD． 18．（2024高二·全国·课后作业）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（    ） A．当与轴垂直时，最小 B． C．以弦为直径的圆与直线相离 D． 【答案】ABD 【分析】先设直线的方程，联立抛物线，可得D. 用抛物线焦点弦公式表示，可得A. 利用抛物线定义，可表示，可证B. 利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断C. 【详解】   如图，设直线为， 联立， 得，即， 所以，， 故D正确， ， 将代入得， 故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确， ， 代入，， 得，故B正确， 设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为 分别过作抛物线的垂线，垂足分别为, 由抛物线的定义知，， 则, 故以弦为直径的圆与直线相切，C错误， 故选：ABD 三、填空题 19．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则 ． 【答案】8 【分析】根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设，则，抛物线中， 所以． 故答案为：8． 20．（2024高二上·全国·课后作业）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ． 【答案】 【分析】设出直线AB方程，与抛物线方程联立得出与，再代入斜率公式即可得出答案. 【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为， 联立方程，得，， ，. 所以. 故答案为：. 21．（2024高三下·上海宝山·期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 . 【答案】 【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为， 设直线与抛物线交于两点， 则直线的方程为，代入得， 则，，，，， 则， 故答案为： 22．（2024高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解. 【详解】设交点坐标为，过的直线为， 与抛物线联立可得，，故． ， 故当时，动直线有且仅有一条，即，故． 故答案为：2. 23．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ． 【答案】 【分析】设，得，代入抛物线方程相减可得直线斜率，从而得到所求直线方程． 【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分）， 设，， 由，相减得， ∴，即， 直线方程为，即， 故答案为：． 24．（2024高二下·湖北孝感·阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ． 【答案】/ 【分析】设出点M的坐标，由点到直线距离公式转化为一元二次函数求最小值. 【详解】设，则点M到直线的距离 ，当时取等号. 故答案为： 25．（2024高二下·山东青岛·期中）在坐标平面内，抛物线的准线为，点是上一点，且，垂足为，连接交于点，则直线在轴上的截距为 ；若点到的距离为，则 . 【答案】 【分析】（1）由点坐标，得坐标，求出直线方程并与抛物线方程联立，求得点坐标和直线方程，令求出即可； （2）设直线的方程为，由原点到直线的距离求出直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立求解即可. 【详解】 ∵抛物线的准线为，∴，， ∴抛物线的方程为， ∴由题意，即，（）∴， 又∵，∴直线的方程为， 由，解得， ∴直线的方程为，（）， 令，则，即， ∴，∴， ∴直线与轴交于点，直线在轴上的截距为. ∵抛物线的方程为，∴直线与轴交点为抛物线的焦点， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，即， 则到直线的距离，解得， 由抛物线的对称性，不妨取，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，（），，解得，， ∴，且由抛物线焦点弦弦长，， ∴. 故答案为：，. 26．（2024·全国·模拟预测）已知在四面体中，，点E在内运动（含边界位置），记平面与平面所成的角为，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二面角的几何法可得，进而根据三角形面积关系可得，即点E的轨迹为以点A为焦点、为准线的抛物线在内的一段弧，联立直线与抛物线方程即可利用焦半径求解. 【详解】取的中点为，由于，所以 , 所以为平面与平面所成的角，由于 ,则， 设点E到的距离为h，则，即， 故点E的轨迹为以点A为焦点、为准线的抛物线在内的一段弧（如图）, 建立如图所示的直角坐标系，则，， 故抛物线方程为 直线， 联立两者方程可得 或（舍去），即当点运动到的位置时，此时 所以点E到的距离h的最大值为，故. 故答案为： 四、解答题 27．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程； （2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程； （3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程. 【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，所以，抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，因此，抛物线的标准方程为； （3）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以，抛物线的标准方程为或. 28．（2024高二上·陕西延安·期末）已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据抛物线的准线求得，从而求得抛物线的方程. （2）联立直线的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得. 【详解】（1）由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． （2）设，， 由消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 29．（2024高二上·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【答案】当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可. 【详解】解：联立方程，得 消去并整理，得. 当时，方程为一元二次方程. 所以. 当，即时，与相切； 当，即且时，与相交； 当，即时，与相离. 当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点. 综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 30．（2024高二下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程； （2）设出坐标，联立直线与抛物线方程，求得，根据，建立等式求出，即可得出结果. 【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）证明：设，且， 联立消去x可得， 则，且，即， 所以， 由，得，即， 解得（舍）或，故直线l的方程为， 所以直线l必过定点． 31．（2024·河北唐山·二模）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， (1)求的方程； (2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，根据得到，再结合焦半径公式即可得到，从而得到. （2）根据题意得到，设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，，根据斜率公式得到，从而得到，即可得到直线过定点，再根据当时，点到直线距离最大求解即可. 【详解】（1）如图所示： 由题意可知，因为，， 由，，可得， 由抛物线的定义可知，，解得． 则的方程为. （2）如图所示： 在抛物线上，所以， 设直线的方程为，，， 将代入，得 则， ，同理 整理得，， 直线的方程为，所以直线过定点. 当时，点到直线距离最大， 且最大距离为， 经检验符合题意. 32．（2024高二下·广东汕尾·期末）已知抛物线过点（）． (1)求C的方程； (2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程； （2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案. 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴． 又∵，∴， 上故的方程为． （2）设，， 由（1）知，抛物线的焦点为， ∵直线的斜率为，且过点， ∴直线的方程为，     联立得，则．     ∴， 故线段的长度为． 33．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，设直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】根据直线l同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，可得判别式分别等于0，即可求直线l的方程． 【详解】由题，直线的斜率存在，并设方程为， 联立整理得， 由可得， 整理得， 联立整理得， 由可得， 化简得，则有， 由可得解得， 所以或， 所以直线的方程为或. 34．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，即可得写出抛物线标准方程； （2）由已知有直线为，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求，点线距离公式求O到直线的距离，进而求的面积. 【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）知：，则直线为，即， 联立抛物线可得：，则，， 所以， 又O到直线的距离， 所以. 35．（2024高二上·广西北海·期末）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程； （2）设，联立直线和抛物线的方程，消元写出韦达定理，将用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得的值． 【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为； （2）设，联立，得， ，得，则， 因为，则， 则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意； 综上，m的值为． 36．（2024高二上·山东滨州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出可得抛物线C的标准方程； （2）先联立直线与抛物线，求出，再求出点到直线的距离，然后由三角形面积公式可求出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义可得， 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）设，由（1）知. 由，得，, 则，， 所以, 所以 , 因为点到直线的距离, 所以的面积为. 37．（2024高二上·河南·阶段练习）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求． 【答案】(1)抛物线C的方程为．焦点坐标为． (2)8 【分析】（1）根据焦点F到其准线的距离求出，即可求出抛物线C的方程及其焦点坐标. （2）根据直线l过焦点F且倾斜角为45°，得出直线l的方程，让直线l与抛物线方程联立，消去y，设出A，B两点坐标，根据抛物线的定义即可求出. 【详解】（1）由题意在抛物线中，焦点F到其准线的距离为2， ∴， ∴抛物线C的方程为，焦点坐标为． （2）由题意及（1）得 在抛物线中，过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为， ∴联立方程组消去y可得， 设，，则， ∴根据抛物线的定义，． 38．（2024高三上·四川内江·期末）已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得. （2）可用点差法解决中点弦问题. 【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点， 所以直线的方程为：，即， 联立得， 设，， 所以，， 所以 （2）因、在抛物线上， 所以，， 两式相减得：， 得， 故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 39．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点，点在上，且是以为顶点的等腰三角形，其周长为10. (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与交于A，两点，点与A，不共线，判断是否存在实数，使得直线，与直线交于点，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）根据抛物线的标准方程和几何关系即可求解；（2）设点后，根据长度关系和几何关系即可求解. 【详解】（1）   焦点为， 三角形EMF为等腰三角形，所以E点的横坐标为， 而点E在抛物线上， 所以E点的纵坐标为， 所以 解得 或 -5 (舍去), 所以 . （2）   设 则以 为直径的圆的圆心为 ， 若该圆经过原点, 则原点到 的距离为 长度的一半, 即, 整理得 ， 设点A坐标，点B坐标，直线直线方程为， 联立， 所以， 所以，， 所以直线， 又因为， 所以， 令得， 即， 同理可得 由， 所以， 整理得，， 又，， 所以整理得， 即， 上式要对任意恒成立， 则需要， 所以. 40．（2024高二上·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点. (1)求抛物线C的方程； (2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入抛物线中，求出，得到答案； （2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由垂直关系得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出答案. 【详解】（1）因为抛物线：经过点， 则，解得， 故抛物线的方程为. （2）设，， 联立，可得， 则，得， 且，，    所以， . 因为，所以，可得， 即， 所以， 即， 解得或， 当时，直线过点A，不合题意； 所以，，， 即有. 41．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可. 【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为关于抛物线的准线的对称点为， 所以有； （2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ，设， 因此有， 则有 【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键 42．（2024高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，求线段AB的长． 【答案】． 【分析】直线方程与抛物线方程联解得一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段的长度． 【详解】解：抛物线，直线， 将直线方程代入到抛物线方程中，得：， 整理得：， 设，，，， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 所以弦长． 43．（2024高二下·四川达州·期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程； （2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值． 【详解】（1）抛物线的焦点，准线． ∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． 根据抛物线的定义可知，，∴， ∴抛物线E的标准方程为. （2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，    设，，，设， 由，消可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当且仅当时取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为32． 44．（2024高二下·浙江杭州·期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.    (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程； （2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线. （2）（i）设，，直线， 与抛物线联立，得，因此，. 设直线，与抛物线联立，得， 因此，，则.同理可得. 所以. 因此直线，由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以直线过定点. （ii）因为， ， 所以， 当且仅当时取到最小值. 45．（2024·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）先求抛物线的方程，再利用根与系数的关系可得直线的斜率，然后可得方程； （2）利用向量相等表示出参数，进而通过根与系数的关系整体代入消掉变量即得结果. 【详解】（1）由点在抛物线上，所以， 所以抛物线的方程为.设直线的方程为. 由，得.依题意， 解得且.且. 因为弦的中点横坐标为3，所以，即， 解得或，所以的一般方程为或. （2）直线的方程为， 又，令，得点的纵坐标为.所以， 同理得点的坐标为. 由，得，. 所以. 所以，即为定值. 46．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．    (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据提意思，设，得到，结合，利用距离公式化简，即可求解曲线的方程； （2）当直线的斜率存在，可设，联立方程组，设，求得，化简，代入求得；当直线的斜率不存在，此时，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作， 可得，设，则， 因为，可得， 即，整理得. （2）当直线的斜率存在，可设直线， 联立方程组，整理得， 设， 因为直线与曲线交于两点，则， 且， 因为，可得， 所以 ； 当直线的斜率不存在，此时直线， 联立方程组，解得，不妨设， 此时，可得， 综上可得，为定值.    47．（2024·福建福州·二模）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出的值，从而求出抛物线的标准方程； （2）设直线方程为或，与抛物线联立方程，由韦达定理得出，，求出直线方程和直线方程，求出交点的横坐标，然后进行化简，可以证明结论. 【详解】（1）当的斜率为时，得方程为， 由,消元得，，，； 由弦长公式得， 即，解得或（舍去），满足， 从而的标准方程为. （2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在 设直线的方程为，设， 由，消去得，则. 设直线的方程为， 同理，消去得可得． 直线方程为，即， 化简得， 同理，直线方程为， 因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可． 由消去， 因为直线与相交，所以， 解得， 所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上． 法二：设直线方程为，由消去得， 设，则． 设直线的方程为， 同理可得． 直线方程为，即， 化简得， 同理，直线方程为，． 因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可． 由消去， 因为直线与相交，所以， 解得， 所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结合韦达定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论. 48．（2024·陕西西安·一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定直线方程为. 【分析】 （1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出， ，即得证. 【详解】（1） 由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. （2） 依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以， ∴， ∴． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$