3.3.1 抛物线及其标准方程5题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.3.1抛物线及其标准方程5题型分类 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ （一） 抛物线定义的理解 抛物线的定义 1．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．集合表示：.其中定点F为焦点，定直线l为准线. 2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 题型1：抛物线定义的理解 1-1．（2024·上海浦东新·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 . 1-2．（2024高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 1-3．（2024·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 1-4．（2024高二上·陕西西安·期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 1-5．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 . 1-6．（2024高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 1-7．（2024·西藏日喀则·一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1-8．（2024高三下·河南开封·期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 （二） 求抛物线的标准方程 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 2-2．（2024高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二下·云南保山·期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 . 2-5．（2024高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 题型3：根据抛物线方程求焦点和准线 3-1．（2024·青海西宁·二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 3-2．（2024高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 3-3．（2024高三上·四川内江·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． （三） 利用抛物线定义解决轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型4：利用抛物线定义解决轨迹问题 4-1．（2024高三下·江西·阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 4-4．（2024高三·全国·专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． （四） 抛物线方程的实际应用 求解抛物线实际应用题的步骤： 题型5：抛物线方程的实际应用 5-1．（2024高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 5-2．（2024高三下·河北·阶段练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5-3．（2024高三下·陕西榆林·阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 5-4．（2024·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二下·湖北·期中）已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2024高二下·广东东莞·阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 3．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·四川凉山·期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（    ） A．2 B．3 C． D． 7．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 10．（2024高二下·福建泉州·期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 11．（2024高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（2024高二下·四川南充·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽滁州·二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·广东广州·期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·四川凉山·期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 17．（2024高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 18．（2024高二上·四川泸州·期末）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D．12 19．（2024高二下·河南焦作·开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 20．（2024·浙江·二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 21．（2024高二下·陕西汉中·期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 22．（2024·重庆万州·模拟预测）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 23．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（    ） A．4 B． C． D． 24．（2024高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．（2024高二下·广西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．的面积为 D． 26．（2024高二上·江苏盐城·期末）下列说法中，正确的有（    ） A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点关于的对称点坐标为 D．抛物线的准线方程是 27．（2024高二上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 三、填空题 28．（2024高二上·全国·课后作业）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 29．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件 ①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上． 则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可）， 30．（2024高二下·湖北·阶段练习）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 . 31．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ． 32．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 . 33．（2024·吉林·模拟预测）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 34．（2024·河北石家庄·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 . 35．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 36．（2024高二下·江苏南京·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 37．（2024高三·全国·专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 四、解答题 38．（2024高二上·江苏淮安·期末）已知抛物线的准线与x轴交于点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程． 39．（2024高二上·浙江杭州·期中）40．（2024高二下·四川内江·期中）分别求适合下列条件的方程： (1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程； (2)经过点的抛物线的标准方程. 41．（2024高二上·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)； (2)． 42．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点． (1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长； (2)若直线l经过点，求的值． 43．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点． (1)证明：； (2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交． 44．（2024高二·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.3.1抛物线及其标准方程5题型分类 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ （一） 抛物线定义的理解 抛物线的定义 1．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．集合表示：.其中定点F为焦点，定直线l为准线. 2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 题型1：抛物线定义的理解 1-1．（2024·上海浦东新·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 . 【答案】/3.5 【分析】由题意列出方程，求出. 【详解】由题知：，故由焦半径公式得：. 故答案为：. 1-2．（2024高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值. 【详解】，故, 记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A.    1-3．（2024·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项. 【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则， 所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于. 所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1， 即其最小值是.        故选：D 1-4．（2024高二上·陕西西安·期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义计算焦半径即可. 【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为， 由抛物线定义知. 故答案为：4 1-5．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 . 【答案】 【分析】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为， 因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以. 故答案为：. 1-6．（2024高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值． 【详解】由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图, 则， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 1-7．（2024·西藏日喀则·一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线为， 则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为， 所以， 由图可知，当共线，且在线段上时，最短， 而， 因为， 所以，解得， 故选：B    1-8．（2024高三下·河南开封·期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离. 【详解】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，， 所以. 故选：B. （二） 求抛物线的标准方程 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分焦点在轴和轴上讨论，并利用待定系数法即可得到答案. 【详解】当抛物线的焦点在轴上时， 设抛物线的方程为． 因为抛物线过点， 所以，所以． 所以抛物线的方程为； 当抛物线的焦点在轴上时， 因为抛物线过点， 设抛物线的方程为， 因为抛物线过点， 所以，所以， 所以抛物线的方程为，即， 综上抛物线的方程为或. 故选：A. 2-2．（2024高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】根据题意，可设抛物线的方程为， 由抛物线的定义知，即， 所以抛物线方程为． 故选：C． 2-3．（2024·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：依题意得 ， 因为，所以. 又，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D 2-4．（2024高二下·云南保山·期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可. 【详解】设方程为，则有， 解得，即有. 故答案为：. 2-5．（2024高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法直接求解. 【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点， 所以可设抛物线：. 由抛物线的定义可得：，解得：. 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 题型3：根据抛物线方程求焦点和准线 3-1．（2024·青海西宁·二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 【答案】x=-1 【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可. 【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过 定点，将它代入抛物线方程得 ，解得， 所以其准线方程为； 故答案为： . 3-2．（2024高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程即得. 【详解】因为抛物线的方程为， 所以抛物线的准线方程是. 故答案为：. 3-3．（2024高三上·四川内江·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解焦点坐标. 【详解】由得，故焦点为， 故选：B （三） 利用抛物线定义解决轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型4：利用抛物线定义解决轨迹问题 4-1．（2024高三下·江西·阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 4-2．（2024高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】将转化为动点到点的距离，转化为动点到直线的距离，再根据抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 4-4．（2024高三·全国·专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． 【答案】或． 【分析】由动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2， ∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等． ∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且． ∴抛物线的方程为， 又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2， ∴M点的轨迹方程为②． 综上，得动点M的轨迹方程为或． （四） 抛物线方程的实际应用 求解抛物线实际应用题的步骤： 题型5：抛物线方程的实际应用 5-1．（2024高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的估值，从而得解. 【详解】依题意知，抛物线，即， 因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， 所以抛物线方程为， 令，则，解得， 所以校门位于地面宽度最大约为米. 故选：C. 5-2．（2024高三下·河北·阶段练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系， 可设拱桥所在抛物线的方程为， 又抛物线过点，则，解得， 则抛物线的方程为，当时，， 故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米. 故选：D 5-3．（2024高三下·陕西榆林·阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 【答案】3.8 【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则，，，， 如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得， 故抛物线方程为， 将代入抛物线方程，可得， . 故答案为：3.8. 5-4．（2024·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 一、单选题 1．（2024高二下·湖北·期中）已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据重心坐标公式以及抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题意得,，设，，， 点是的重心，，， 根据抛物线的定义可得. 故选：B. 2．（2024高二下·广东东莞·阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可. 【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是. 故选：B 3．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得参数a的值，进而求得C的准线方程. 【详解】抛物线C：过点，则，解之得， 则抛物线C方程为，则C的准线方程为 故选：B 4．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为. 故选：C. 5．（2024·四川成都·三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线定义即可求得p，然后可得方程. 【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：C    6．（2024高二下·四川凉山·期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义得解. 【详解】由题得抛物线的准线方程为， 所以点P到准线的距离为， 由抛物线的定义得3. 故选：B    7．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标. 【详解】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以. 故选：A 8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入抛物线方程可求出，从而可得抛物线的方程，进而可求出其准线方程. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，得， 所以抛物线方程为， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A 9．（2024高二下·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线焦半径公式直接计算即可. 【详解】点在C：上，设， 而抛物线的焦点坐标为，故， 则. 故选：D 10．（2024高二下·福建泉州·期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】采用逆向思考：即将抛物线将其绕顶点顺时针方向旋转，得到抛物线，进而即可求得的值. 【详解】抛物线即的开口向上，将其绕顶点顺时针方向旋转，得到的抛物线，开口向右，其方程为，则， 故选：B. 11．（2024高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解. 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 12．（2024高二下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设抛物线的标准方程，将点的坐标代入，求得参数的值，即得答案. 【详解】设抛物线的方程为或， 将点代入，可得或， 解得或， 故抛物线的标准方程为或， 故选：C 13．（2024高二下·四川南充·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程可得其焦点在轴负半轴上，且，由抛物线的标准方程可得答案. 【详解】根据题意，抛物线的准线方程为， 即其焦点在轴负半轴上，且，得， 故其标准方程为：. 故选：D. 14．（2024·安徽滁州·二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在抛物线上可得，利用抛物线定义可得，即可求得p的值，即可求得答案, 【详解】由题意可知，，所以 又知抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可知，，整理得，解得， 所以的焦点坐标为， 故选：C． 15．（2024高二下·广东广州·期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标. 【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 16．（2024高二上·四川凉山·期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值. 【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故， 如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立. 故选：C 17．（2024高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【分析】根据，再结合图形求解即可. 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 18．（2024高二上·四川泸州·期末）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】设出点坐标，用两点间距离公式表达出点到点的距离，配方后求出最小值. 【详解】设，则，当时，取得最小值，最小值为 故选：B 19．（2024高二下·河南焦作·开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设为抛物线上一点，由两点间距离公式及二次函数求最值即可. 【详解】设，则，则， 所以当时，取得最小值． 故选：A 20．（2024·浙江·二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 21．（2024高二下·陕西汉中·期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条通径与轴垂直， 且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点， 因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C.    22．（2024·重庆万州·模拟预测）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】将直线的方程与准线方程联立，求得点的坐标，可求出，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式即可求解 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，    直线的方程为， 联立可得，即点， 所以，因为，所以， 所以直线的方程为，抛物线，设点，， 联立可得， 由韦达定理可得，则 故选：D 23．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设点P的坐标为，由题意△PFQ为等边三角形，求得点P的坐标及，从而可得． 【详解】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，， 由抛物线的定义知，因为， 所以△PFQ为等边三角形，所以，又， 所以，n＝3，所以点P的坐标为， 所以，所以． 故选：C．    24．（2024高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 二、多选题 25．（2024高二下·广西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．的面积为 D． 【答案】AB 【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D. 【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为． 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程， 整理可得．，解得或（舍去负值）， 所以，代入可得，． 设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确； 对于C项，易知，故C项错误； 对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误． 故选：AB    26．（2024高二上·江苏盐城·期末）下列说法中，正确的有（    ） A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点关于的对称点坐标为 D．抛物线的准线方程是 【答案】BC 【分析】 根据直线倾斜角写出方程判断A，根据双曲线方程得出渐近线方程判断B，由点关于直线对称判断C，根据抛物线方程求准线方程判断D. 【详解】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误； 对B，双曲线的渐近线方程为，故正确； 对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确； 对D，抛物线，，准线方程为，故错误. 故选：BC 27．（2024高二上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案. 【详解】由题可知， 因为点在抛物线上，且， 所以， 解得， 所以， 故选：BD. 三、填空题 28．（2024高二上·全国·课后作业）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用抛物线定义可得答案. 【详解】当时，准线，由已知得，所以，所以抛物线方程为． 故答案为：. 29．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件 ①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上． 则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可）， 【答案】（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个） 【分析】根据抛物线焦点在坐标轴上，分别将、代入圆的方程，可求得焦点坐标，由此可得抛物线方程. 【详解】由已知得：抛物线的焦点在坐标轴上； 若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：， 抛物线的焦点为，； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：或， 抛物线的焦点为，； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 则可同时满足三个条件的抛物线的方程为或或或． 故答案为：（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）． 30．（2024高二下·湖北·阶段练习）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 . 【答案】1 【分析】根据焦半径公式，代入求值. 【详解】抛物线，，设点， 依题意可知，，得， 故答案为： 31．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可求出结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 过作准线的垂线，垂足为，则， 所以.当且仅当与准线垂直时，取等号. 所以的最小值为.    故答案为：. 32．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据抛物线和圆的对称性，结合圆的性质、两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【详解】因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设， 设圆的圆心坐标为：，半径为1， 因此，当时，， 所以长度的最小值为， 故答案为： 33．（2024·吉林·模拟预测）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 【答案】 【分析】设（），则，将代入化简可求出其最小值 【详解】设，则， 因为， 所以 ，当时取得最小值4， 故答案为：4 34．（2024·河北石家庄·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 . 【答案】 【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解. 【详解】设，由阿氏圆的定义可得， 即，化简得. 所以，所以点在圆心为，半径为的圆上， 因为抛物线的焦点为.所以， 因为.所以点在圆内， 因为点到与圆心的距离为， 所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为， 所以过点的最长弦与最短弦的和为. 故答案为： 35．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答. 【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径， 于是，    因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和， 而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 36．（2024高二下·江苏南京·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 . 【答案】4 【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直关系得出A、B坐标结合抛物线焦半径公式计算即可. 【详解】   由题意易知，可设， 由，可得Q为AM中点，则， 又由可得:， 即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在， 故， 联立抛物线与直线AB可得 所以有 由抛物线定义得， 故答案为：4 37．（2024高三·全国·专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当平行于轴时，取得最小值，从而得到结果. 【详解】 抛物线的准线方程为， 过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时， 取得最小值，此时， 此时 故答案为:. 四、解答题 38．（2024高二上·江苏淮安·期末）已知抛物线的准线与x轴交于点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）利用准线方程求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用求解. 【详解】（1）的准线过 故，则 抛物线方程为 （2）设切线方程为 与抛物线方程联立有 故 故直线l的方程为：或 【点睛】求抛物线的切线方程的方法： 方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。 方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解． 39．（2024高二上·浙江杭州·期中）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出的斜率即可求解. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线， 且该抛物线以为焦点，所以所以， 所以曲线的方程为. （2）若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意， 若直线不垂直于轴，设，且， 因为在曲线上，所以，两式相减得， ，所以， 即，所以的方程为整理得. 40．（2024高二下·四川内江·期中）分别求适合下列条件的方程： (1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程； (2)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解； （2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为 由条件可得.所以. 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为. （2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程得， 此时，所求抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得， 此时，所求抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 41．（2024高二上·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程： (1)； (2)． 【答案】(1)焦点为，准线方程为； (2)焦点为，准线方程为． 【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及，进而写出焦点坐标和准线方程； （2）将抛物线化成标准方程可得，即可写出焦点坐标和准线方程； 【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上， 所以可得其焦点为，准线方程为； （2）将化成标准方程为， 可得，且焦点在轴负半轴上， 所以焦点为，准线方程为. 42．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点． (1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长； (2)若直线l经过点，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦即可； （2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为，， 根据抛物线的定义得； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，，得， 所以. 43．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点． (1)证明：； (2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据抛物线的焦半径公式，求出抛物线的方程，分两种情况讨论，当直线轴时和直线与轴不垂直时，分别求出，即可证明； （2）结合（1）设的坐标为，根据的坐标写出直线的方程，整理后代入，即可得出直线恒过点，结合点在圆内即可证明． 【详解】（1）证明：因为点到抛物线焦点的距离为， 所以，解得或， 又因为， 所以，故抛物线方程为， 当直线轴时，可得， 此时，所以； 当直线与轴不垂直时，设的方程为，设， 代入得， 则，， 所以， 所以， 综上，． （2）证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为， 所以直线的方程为，即， 由（1）得，所以， 可得直线恒过点， 因为圆的方程，且， 所以点在圆内部， 所以直线恒与圆相交． 44．（2024高二·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程； 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案； 【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离， 所以抛物线的定义得， 所以 ，解得． 所以抛物线的方程为； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$