精品解析：北京市一零一中2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期初三数学统练1 一、单选题 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（ ） A 5 B. C. 3 D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程有实数根的是（　　） A. B. C D. 6. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴没有交点 D. 当时，随的增大而减少 8. 关于x的方程有两个实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 一元二次方程的根是______． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 13. 二次函数中，二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 15 已知一元二次方程的两根为，，则 ______ ． 16. 如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ________． 17. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是_______． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 21. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 22. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期初三数学统练1 一、单选题 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则． 故选：B． 2. 将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将所给方程化为的形式，即可得出一次项系数． 【详解】解：移项，得：， 可知一次项系数为， 故选B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数，，为常数，，顶点坐标是，可得答案． 【详解】抛物线的顶点坐标是, 故选：D． 4. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值的计算，把代入方程可求的值，再代入式子计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入方程得，， 解得，， ∴， 故选：D ． 5. 下列方程有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据判别式公式代入数据计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，方程无实数根，故不符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，故符合题意； C、，方程无实数根，故不符合题意； D、，方程无实数根，故不符合题意； 故选：B． 6. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加上加的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 7. 关于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴没有交点 D. 当时，随的增大而减少 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与轴交点问题，熟练掌握图象与系数关系、抛物线的图象和性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：， ， 抛物线开口向下， 故A正确，不符合题意； ∵对称轴是直线， 故B错误，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为：，在第三象限，且抛物线开口向下， ∴抛物线与轴没有交点， 故C正确，不符合题意； ∵拋物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 故D正确，不符合题意； 故选：B 8. 关于x的方程有两个实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，此时不满足方程有两个实数根； 当时，原方程为一元二次方程，则， ∴， ∴； 综上所述，且， 故选：B． 9. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为x，列方程为， 故选B． 10. 如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系： ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴交点位置求得、、的符号即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③求得点关于直线的对称点的坐标，根据二次函数的性质即可判断； 熟知二次函数的性质是关键． 【详解】解：①二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象交轴的正半轴于一点， ， 对称轴是直线， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的方程的一个根，故②正确； ③点关于直线对称点的坐标是，， 又当时，随的增大而减小，， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③共3个． 故选：． 二、填空题 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为：． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 13. 二次函数中，二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 15. 已知一元二次方程的两根为，，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出，的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， 则原式． 故答案为：． 16. 如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ________． 【答案】7或8##8或7 【解析】 【分析】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解．熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键． 【详解】设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得， 即移动的距离为或． 故答案为：或． 17. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴由此y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 ∴； 【小问2详解】 或 ∴． 20. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）， （2）每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； （3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． 小问2详解】 解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 【小问3详解】 解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 21. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程两实根  满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． （1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值． 【小问1详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； 小问2详解】 ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程两实根 ， ∴， ∴， ∴． 22. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间数量关系． 【答案】（1）①见详解；②见解析；③，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意作出图形即可； ②由正方形的性质 得，，进而 又，得，从而，于是证明； ③在上取一点，使得，连接，证是的中位线，得，再证明，利用勾股定理得，从而即可得解； （2）在延长线上取一点，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得再证，利用勾股定理得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：①如图即为所求， ②证明：四边形是正方形， ，， ， ，， 即， ， ∴； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ； ，点是的中点， 是的中位线， ， 由②得，，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 理由如下：在延长线上取一点，使得，连接． 四边形是正方形， ， ，， ，， 即， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质及垂线定义，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$