第三单元分数除法（单元讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

第三单元分数除法（单元讲义） 六年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 　一、分数除法的意义及计算法则 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 × 因数 = 积 除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。 求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律： (1)当除数大于1，商小于被除数; (2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数; (3)当除数等于1，商等于被除数。 　“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。 　二、分数除法解决问题 1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X（一般把单位1设为X），用方程解答。 解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分数=具体量 (2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法： 即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 分数对应量÷对应分数 = 单位“1”的量 2、看分数前有没有比多或比少的问题； 分数前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量÷ (1-分数)= 单位“1”的量； （比多）：具体量　÷ (1+分数)= 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数 即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。 5、 工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷工作效率和，即1÷（+），（工作效率=） 精讲例题 【例题一】．商场运来橘子的筐数是苹果的，已知运来的苹果比橘子多20筐，运来橘子多少筐？ 【答案】．60筐 【分析】把运来苹果的筐数看成单位“1”，运来橘子的筐数是苹果的，那么运来的橘子就比苹果少（1－），它对应的数量是20筐，根据分数除法的意义，用20筐除以（1－），即可求出运来苹果的筐数，进而求出运来橘子的筐数。 【详解】20÷（） ＝20÷ ＝80（筐） 80－20＝60（筐） 答：运来的橘子60筐。 【点睛】本题先找出单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法求解。 【例题二】．小明从家到学校，步行需要45分钟，骑自行车只要10分钟，他骑自行车从家出发，8分钟后自行车发生故障，即改成步行。从家到学校共用了多少分钟？ 【答案】．17分钟 【分析】把从家到学校的路程看成单位“1”，那么步行的速度是，骑车的速度是，先用速度乘时间求出骑自行车行了全程的几分之几，再求出剩下的路程，然后用剩下的路程除以步行的速度求出步行的时间，再加上骑车的时间就是全部的时间。 【详解】1－×8 ＝1－ ＝ ÷＝9（分钟） 8＋9＝17（分钟） 答：小明从家到学校共用了17分钟。 【点睛】此题主要是把两地之间的距离看作1，再利用速度、路程和时间之间的基本数量关系解答即可。 【例题三】．明明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，他发现第二天比第一天多看了8页，这本故事书有多少页？ 【答案】160页 【分析】设这本故事书有x页，把这本书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第一天可看了x页，第二天看了全书的，第二天看了x页；第二天比第一天多看了8页，即第二天看的页数－第一天看的页数＝8，列方程：x－x＝8，解方程，即可解答。 【详解】解：设这本故事书有x页。 x－x＝8 x－x＝8 x＝8 x＝8÷ x＝8×20 x＝160 答：这本故事书有160页。 【例题四】．一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 【答案】10天 【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多。 据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙…甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）； 而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲，乙， 把两种情况对照可得：甲一天的工作效率＝乙一天的工作效率＋甲半天工作效率，即甲半天工作效率＝乙一天工作效率， 也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答。 【详解】依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍。 1÷（×2） ＝1÷ ＝10（天） 答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成。 专项练习 1．天猫商城举行“双十二”促销活动，一款移动硬盘降价后销售，现价440元，这款移动硬盘的原价多少元？ 2．中国书法是中国文化的一部分，每个方方正正的汉字都是艺术的载体。在汉字硬笔书写比赛中，王一川分钟写了15个汉字。他平均1分钟能写多少个汉字？ 3．某村修一条水渠，甲队单独修30天可以完成，乙队单独修40天可以完成。如果两队合修，多少天可以完成？ 4．第一农场今年收土豆162吨，比白菜多，今年收白菜多少吨？ 5．一套运动服225元，裤子的价格是上衣的。一件上衣的价格是多少元？（先把线段图补充完整，再列方程解答） 6．修一条公路，第一天修了180米，正好是全长的，第二天又修了全长的，第二天修了多少米？ 7．某工程队下乡修路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的又20米，第三天修的比第一天的还多30米，这样正好修完。这条公路全长多少米？ 8．工厂要制作一批零件，24天完成了总数的，还剩1200个没有完成。照这样的速度，完成这批零件一共需要多少天？ 9．计划加工一批童装，第一周完成了计划的，第二周加工了400套，结果超额完成160套，服装厂计划加工多少套童装？ 10．妈妈买一套衣服一共用去630元，已知裤子的价钱是衣服的。衣服和裤子的价钱各是多少？ 11．图书室里连环画册的本数是科技书的，故事书的本数是科技书的。已知连环画册有75本，求故事书有多少本？ 12．某啤酒厂每天可以生产啤酒1200升，如果每升啤酒装一瓶，该啤酒厂每天可以生产多少瓶啤酒？ 13．大正方体的周长是小正方体周长的倍，小正方体的表面积比大正方形体表面积少；小正方体的体积是大正方体的． 14．李老师要将一份1.5G的文件下载到自己的电脑中（G是表示文件大小的单位），他查了一下电脑的D盘和E盘，发现以下信息：①D盘总容量为9.5G，已用空间占D盘的。②E盘已用空间为11.7G，未用空间占E盘的。李老师应将文件保存在哪个盘里？请用计算说明。 15．一列火车从甲地开往乙地，已经行了全程的，距离乙地还有245千米，甲乙两地之间的距离是多少千米？ 16．两地相距480千米，甲乙两车同时从两地相对开出，两车经过3小时相遇。已知甲车速度是乙车的，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 17．在随后即将开展的校园定向运动比赛中，主办方购进一批布料定制一批比赛服，这批布料如果单做比赛上衣可以做110件，单做比赛裤子可以做100条，如果做成成套的服装，最多可以做多少套？ 18．甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时．两车同时分别从A城市和B城市出发，几小时后相遇？ 19．一台磨面机，小时可以磨面吨，要磨面吨需要多少小时？ 20．一个蓄水池有甲、乙两个进水管，只打开甲水管，10小时可以把蓄水池注满；只打开乙水管，15小时可以把蓄水池注满。如果同时打开两个进水管，几小时可以把蓄水池注满？ 21．只列式不计算。 一项工程，甲队独做要40天完成，乙队独做要60天完成，现在由甲、乙两队合做，多少天就能完成？ 22．爸爸将米长的铁丝剪成同样长的3段，每段铁丝有多长？ 23．如下图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒的长度和为330cm，此时木桶中水的深度是多少厘米？ 24．工程队修一条水渠，已经修了这条水渠，再修105m就修完了这条水渠的。这条水渠长多少米？ 25．一项工程，甲单独做16天完成，乙单独做24天完成。如果甲先做6天，剩下的工程甲、乙两人一起完成，还需要几天完成这项工程？ 26．一条60千米的公路，如果甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天，现在甲、乙两工程队合修，需要多少天？ 27．淘气读一本书，第一天读了20页，第二天读的页数与第一天读的页数的比是9∶10，两天共读了这本书的，这本书一共有多少页？ 28．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做用30天完成。甲、乙两队合修3天后，余下的由乙队做，需要多少天才能完成？ 29．学校航模小组和美术小组一共有90人，航模小组的人数是美术小组的，航模小组和美术小组各有多少人？ 30．某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口。只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务。如果两个泄洪口同时打开，4小时可以完成任务吗？ 参考答案： 1．495元 【详解】解：设这款移动硬盘的原价x元． x×（1－）＝440 x＝440 x＝495 答：这款移动硬盘的原价495元． 2．18个 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用15除以即可。据此解答。 【详解】（个） 答：他平均1分钟写18个汉字。 3．15天 【分析】根据题意可知，工作总量为单位“1”， 甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，再根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”解答即可。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝15（天）； 答：15天可以完成。 【点睛】明确单位“1”， 进而确定甲队和乙队的工作效率是解答本题的关键。 4．126吨 【详解】162÷（1+） ＝162× ＝18×7 ＝126（吨） 答：今年收白菜126吨． 5．线段图见详解；125元 【分析】把上衣的价格看作单位“1”，把上衣的价格平均分成5份，裤子的价格占其中的4份，裤子的价格＝上衣的价格×，等量关系式：裤子的价格＋上衣的价格＝这套运动服的价格，据此解答。 【详解】 解：设一件上衣的价格是x元。 x＋x＝225 x＝225 x＝225÷ x＝125 答：一件上衣的价格是125元。 【点睛】准确设出未知数并找出等量关系式是解答题目的关键。 6．135米 【分析】已知第一天修了180米，正好是全长的，根据分数除法的意义，用除法即可求公路的全长，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法即可解答。 【详解】180÷× ＝405× ＝135（米） 答：第二天修了135米。 【点睛】本题考查了求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 7．300米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，先求出剩下的相当于全长的几分之几，即；再求出第一天的相当于全长的几分之几，即。求这条公路的全长，即单位“1”的量未知用除法解答，已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。已知量（20＋30）米所对应的分率是（），二者相除即可求出这条公路的全长。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝50÷ ＝50×6 ＝300（米） 答：这条公路全长300米。 【点睛】解决此题关键是统一单位“1”，单位“1”未知，可以列方程解答或者用除法解答。用除法解答时要注意量率对应。 8．60天 【分析】把完成这批零件一共需要的天数看作单位“1”，根据24天完成了总数的，数量24天对应的分率是，单位“1”未知用除法计算。 【详解】（天） 答：完成这批零件一共需要60天。 【点睛】此题考查的是分数除法的应用，解答此题应注意还剩1200个没有完成是多余的条件。 9．640套 【详解】略 10．衣服的价钱是360元；裤子的价钱是270元 【分析】已知裤子的价钱是衣服的，把衣服的价格看作单位“1”，则裤子和衣服的总价钱是衣服的（1＋），又已知一套衣服一共用去630元，根据分数除法的意义，用630÷（1＋）即可求出衣服的价格，然后用630元减去衣服的价格，即可求出裤子的价格。 【详解】衣服：630÷（1＋） ＝630÷ ＝630× ＝360（元） 裤子：630－360＝270（元） 答：衣服的价钱是360元；裤子的价钱是270元。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 11．85本 【分析】把科技书的本数看作单位“1”，连环画册的本数是科技书的，根据“量÷对应的分率”求出科技书的本数，故事书的本数＝科技书的本数×，据此解答。 【详解】75÷× ＝75×× ＝100× ＝85（本） 答：故事书有85本。 【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法；已知一个数，求这个数的几分之几是多少用乘法。 12．1200÷ 【解析】略 13．， 【详解】试题分析：根据“大正方体的周长是小正方体周长的倍”，可知周长之比等于边长之长，所以可设小正方体的边长是a，那么大正方体的边长是a；然后正方体的表面积和体积公式求出大小正方体的表面积和体积，然后进行计算即可． 解：根据题意可知， 设小正方体的边长是a，那么大正方体的边长是a； 小正方体的表面积：6a2， 大正方体的表面积：6×=a2， （a2﹣6a2）÷a2， =÷a2， =； 小正方体的体积：a3， 大正方体的体积：=a3， a3÷a3=， 故答案为，． 点评：此题的关键是求出小、大正方体的表面积和体积． 14．存在D盘 【分析】先分别求出D、E的未用空间大小，再判断放入哪个盘里合适。 【详解】D盘未用空间：（G） E盘总空间：（G） （G） 1.3＜1.5，1.9＞1.5 答：李老师应将文件保存在D盘里。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，解答本题的关键是找准单位“1”。 15．612.5千米 【详解】245÷（1﹣） ＝245÷ ＝612.5（千米） 答：甲乙两地之间的距离是612.5千米。 16．100千米 【分析】设乙车每小时行x千米，根据等量关系：甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝480千米，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 x×3＋3x＝480 x＋3x＝480 x＝480 x÷＝480÷ x＝480× x＝100 答：乙车每小时行100千米。 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题、行程问题的数量关系、分数除法的计算，关键是找等量关系。 17．52套 【分析】把这批布的总量看成单位“1”，每件上衣用布，每条裤子用布，一套衣服用布（＋），用布的总量除以一套衣服的量就是可以做的套数。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ≈52（套） 答：最多可以做52套。 【点睛】本题是把布的总量看成单位“1”，每套衣服用的布用分数表示出来，布的总量除以每套衣服的量就是可以做的套数。 18．1.2小时 【分析】把从A地到B地的距离看作单位“1”，则甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的，那么，两车相遇的时间为1÷（＋），解答即可。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝1.2（小时） 答：1.2小时后相遇。 19．小时 【分析】根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知磨面机的工作效率为÷＝吨；再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用吨除以磨面机的工作效率即可求解。 【详解】 ＝ ＝ ＝（小时） 答：需要小时。 20．6小时 【分析】把这个蓄水池的总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求甲管和乙管的工作效率，如果同时打开甲管和乙管，用工作总量÷甲管、乙管的工作效率和＝合作的时间，据此解答。 【详解】1÷（＋ ） ＝1÷（＋ ） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（小时） 答：6小时可以把蓄水池注满。 【点睛】本题考查工程问题，熟练掌握工作效率、工作时间和工作总量三者的关系是解答本题的关键。 21．1÷（＋） 【分析】将工程总量看作单位“1”，工程工作量÷甲乙两队效率和＝合作天数，据此分析。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝24（天） 答：24天就能完成。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 22．米 【分析】用铁丝的总长度除以平均分成的段数即可解答。 【详解】÷3＝（米）； 答：每段铁丝长米。 【点睛】熟练掌握分数除法的计算方法是解答本题的关键。 23．120厘米 【分析】设木桶中水的深度是x厘米，水的深度占第一根铁棒的（1－），第一根铁棒的长度为x÷（1－），同理第二根铁棒的长度为x÷（1－），两根的长度之和等于330厘米，据此列方程解答即可。 【详解】解：设木桶中水的深度是x厘米。 x÷（1－）＋ x÷（1－）＝330 x＋ x＝330 x＝330 x＝120 答：此时木桶中水的深度是120厘米。 【点睛】此题考查了列方程解决实际问题，明确已知一个数的几分之几求这个数用除法，据此表示出两个铁棒的长度是解题关键。 24．225米 【分析】把这条水渠的总长度看成单位“1”，它的减去的差对应的数量是105米，由此用除法求出总长度。 【详解】105÷（－） ＝105÷ ＝225（米） 答：这条水渠长225米。 【点睛】本题的关键是找出单位“1”，并找出已知数量对应的分率，用除法就可以求出单位“1”的量。 25．6天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，甲6天完成工作总量的，1－＝剩余工作量，剩余工作量÷两人效率和＝还需要几天完成，据此列式解答。 【详解】（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（天） 答：还需要6天完成这项工程。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 26．12天 【分析】把修这条路的工作总量看作“1”，表示出甲乙的工作效率，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”即可求得。 【详解】 ＝ ＝（天） 答：甲、乙两工程队合修，需要12天。 【点睛】找出“1”熟练运用工程问题中数量关系是解题的关键。 27．页 【分析】第二天读的页数是第一天的，第一天读了20页，第二天读的页数是20×＝18页，这两天一共看的页数是20＋18＝38页，也就是这本书的，根据分数除法的意义求出这本书一共有多少页用38除以计算。 【详解】（20＋20×）÷ ＝（20＋18）÷ ＝38÷ ＝80（页） 答：这本书一共有80页。 【点睛】本题关键是求出前两天看的页数，再根据分数除法的意义列式计算即可解答。 28．22.5天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此求出甲、乙两队合修3天的工作总量；再用单位“1”减去甲、乙两队合修3天的工作量即可得到还剩下的工作总量，最后再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，据此可求出需要多少天才能完成。 【详解】[1－（＋）×3]÷ ＝[1－×3]÷ ＝[1－]÷ ＝÷ ＝×30 ＝22.5（天） 答：需要22.5天才能完成。 29．航模小组40人；美术小组50人 【分析】根据题意，航模小组的人数是美术小组的，设美术小组有人，则航模小组有人； 数量关系：航模小组人数＋美术小组人数＝航模小组和美术小组的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设美术小组有人，则航模小组有人。 ＋＝90 ＝90 ÷＝90÷ ＝90× ＝50 航模小组：90－50＝40（人） 答：航模小组有40人，美术小组有50人。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 30．可以 【分析】把超过警戒线以上水的体积看作单位“1”，只打开A口，8小时可以完成任务，即A每小时泄洪1÷8，只打开B口，6小时可以完成任务，即B每小时泄洪1÷6，根据工作量÷工作效率和＝合作用的时间，据此解答即可。 【详解】1÷8＝ 1÷6＝ （小时） 答：4小时可以完成任务。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作1，再利用它们的数量关系解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$