第18课 比例线段-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第18课 比例线段 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解比例的基本性质，能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形. 2.了解两条线段的比和比例线段的概念，能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题. 3.了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项. 4.了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 比例的基本性质 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点02 比例线段 1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点03 比例中项与黄金分割 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 　 ( 能力拓展 )考点01 比例及比例的基本性质 【典例1】已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D．3n＝2m 【即学即练1】如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 考点02 比例线段 【典例2】已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝2，b＝6，c＝3，那么d＝　 　． 【即学即练2】已知线段a＝2，b＝8，c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为（　　） A．4或﹣4 B．4 C．2 D．8 考点03 黄金分割 【典例3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） ①AB2＝AP2+BP2；②BP2＝AP•BA；③＝；④＝． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士的身高为160cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 　 　．（精确到1cm） ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 2．已知四个数a，b，c，d成比例，且a＝3，b＝2，c＝4，那么d的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．1cm，2cm，3cm，2cm D．3cm，2cm，6cm，3cm 4．已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（　　） A．±6 B．6 C．4 D．±3 5．已知，则的值为（　　） A．﹣ B．﹣19 C． D．19 6．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），若AB＝2，则AD＝（　　） A． B． C． D． 8．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b＝3m，则a约为（　　） A．1.236 m B．1.416 m C．1.584 m D．1.854 m 9．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6，b＝3，c＝2，则d的值是 　 　． 10．如果，那么a：b＝　 　． 11．若＝＝≠0，则＝　 　． 12．已知，且3a﹣2c＝﹣8，求2c﹣3b+4a的值． 13．已知，求和值． 14．求证：如果＝≠0，那么＝． 题组B 能力提升练 15．已知，则下列各式不一定成立的是（　　） A． B． C． D．（）2＝（）2 16．点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C．AP2＝AB•BP D．AB2＝AP2+PB2 17．如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若以AC为边的正方形ACDE的面积为100，则长为AB，宽为CB的矩形的面积为 　 　． 18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且． （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 19．如图，已知线段AB，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取． （2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E． （3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．则点D是线段AB的黄金分割点，请说明其中的道理． 题组C 培优拔尖练 20．如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（　　） A． B．S1＝2S2 C．S1＝S2 D． 21．已知a，b，c为△ABC的三边，，且a+b+c＝12，求△ABC的面积． 22．若＝＝＝k，求k的值． 23．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2． （1）求∠B的度数； （2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； ②求AD的长． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18课 比例线段 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解比例的基本性质，能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式简单的变形. 2.了解两条线段的比和比例线段的概念，能根据条件写出比例线段，会运用比例线段解决简单的实际问题. 3.了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项. 4.了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 比例的基本性质 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点02 比例线段 1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点03 比例中项与黄金分割 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 　 ( 能力拓展 )考点01 比例及比例的基本性质 【典例1】已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D．3n＝2m 【思路点拨】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解析】解：∵， ∴3m＝2n， A、∵＝， ∴3（m﹣n）＝n， 3m﹣3n＝n， 3m＝n+3n， 3m＝4n， 故A不符合题意； B、∵＝， ∴3（m+2）＝2（n+3）， 3m+6＝2n+6， 3m＝2n， 故B符合题意； C、∵＝， ∴3m＝8n， 故C不符合题意； D、：， ∴3m＝2n， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【即学即练1】如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【思路点拨】利用比例的性质对各选项进行判断． 【解析】解：∵2a＝5b， ∴＝，＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 考点02 比例线段 【典例2】已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝2，b＝6，c＝3，那么d＝　 　． 【思路点拨】根据成比例线段的定义得到或，代入数值求解即可． 【解析】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴或， ∵a＝2，b＝6，c＝3， ∴或， 解得：d＝9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键． 【即学即练2】已知线段a＝2，b＝8，c是线段a，b的比例中项，则线段c的长为（　　） A．4或﹣4 B．4 C．2 D．8 【思路点拨】根据线段比例中项的概念得出a：c＝c：b，再根据a＝2，b＝8，求出c的值，注意把负值舍去． 【解析】解：∵线段c是线段a和b的比例中项，a＝2，b＝8， ∴c2＝ab＝16， 解得：c＝±4， 又∵线段是正数， ∴c＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 考点03 黄金分割 【典例3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） ①AB2＝AP2+BP2；②BP2＝AP•BA；③＝；④＝． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解析】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴＝＝， ∴AP2＝AB•BP， ∵AB＝AP+BP， ∴AB2＝（AP+BP）2＝AP2+2AP•BP+BP2， ∴上列结论中正确的是：④，只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【即学即练3】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士的身高为160cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 　 　．（精确到1cm） 【思路点拨】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 【解析】解：根据已知条件得下半身长是160×0.60＝96cm， 设需要穿的高跟鞋是y cm，则根据黄金分割的定义得：， 解得：y≈8cm． 故答案为：8cm 【点睛】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 【思路点拨】根据比例的性质解决此题． 【解析】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意． B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意． C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意． D．由，得，，1，成比例，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键． 2．已知四个数a，b，c，d成比例，且a＝3，b＝2，c＝4，那么d的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【思路点拨】根据比的性质解答即可． 【解析】解：根据题意得a：b＝c：d， 即3：2＝4：d， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例的性质求d的值． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．1cm，2cm，3cm，2cm D．3cm，2cm，6cm，3cm 【思路点拨】根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【解析】解：A．由于2：3≠4：5，则2cm，3cm，4cm，5cm不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于2：3＝4：6，则2cm，3cm，4cm，6cm成比例，所以B选项符合题意； C．由于1：2≠2：3，则1cm，2cm，3cm，2cm不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于2：3≠3：6，则3cm，2cm，6cm，3cm不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 4．已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝（　　） A．±6 B．6 C．4 D．±3 【思路点拨】根据比例中项的概念可知c2＝ab，将a和b的值代入即可求出答案． 【解析】解：根据比例中项的概念得：c2＝ab＝2×18， 即c2＝36， ∴c＝±6． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么 b 叫做 a 与 c 的比例中项． 5．已知，则的值为（　　） A．﹣ B．﹣19 C． D．19 【思路点拨】先根据得5a＝3b，进而得a＝0.6b，然后将a＝0.6b代入之中进行计算即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴5a＝3b， ∴a＝0.6b， ∴＝＝＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 6．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据黄金分割的定义即可解决问题． 【解析】解：因为点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， 所以， 显然四个选项只有A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 7．点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），若AB＝2，则AD＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据黄金分割点的定义得出AD＝AB，代入数据即可得出AD的长度． 【解析】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝2， ∴AD＝AB＝AD＝×2＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割比值是解题的关键． 8．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b＝3m，则a约为（　　） A．1.236 m B．1.416 m C．1.584 m D．1.854 m 【思路点拨】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值． 【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴≈0.618， ∵b为3米， ∴a约为1.854米． 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 9．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝6，b＝3，c＝2，则d的值是 　 　． 【思路点拨】先根据比例线段的定义得到6：3＝2：d，然后利用比例的性质可求出d的值． 【解析】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即6：3＝2：d， 解得d＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 10．如果，那么a：b＝　 　． 【思路点拨】本题主要考查了比的化简，根据比的性质得，再化简即可． 【解析】解：因为， 所以， 即a：b＝2：3． 故答案为：2：3． 【点睛】本题主要考查了比的化简，掌握比的性质是解题的关键． 11．若＝＝≠0，则＝　 　． 【思路点拨】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【解析】解：设＝＝＝k≠0， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 所以＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 12．已知，且3a﹣2c＝﹣8，求2c﹣3b+4a的值． 【思路点拨】设a＝2k，b＝3k，c＝5k，根据3a﹣2c＝﹣8，求出k＝2，即可得a＝4，b＝6，c＝10，然后代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k， ∵3a﹣2c＝﹣8， ∴6k﹣10k＝﹣8， 解得k＝2， ∴a＝4，b＝6，c＝10， ∴2c﹣3b+4a＝20﹣18+16＝18． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 13．已知，求和值． 【思路点拨】根据，得a＝6b，c＝6d，代入所求的式子即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴a＝6b，c＝6d， ∴＝＝＝7， ＝＝＝， ∴和值分别为7和． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练应用比例的性质进行计算是关键． 14．求证：如果＝≠0，那么＝． 【思路点拨】设＝＝k≠0，根据比例的性质得a＝bk，c＝dk，分别代入等式的两边化简即可得出结论． 【解析】证明：设＝＝k≠0， 则a＝bk，c＝dk， ∴＝＝， ＝＝， ∴＝． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 题组B 能力提升练 15．已知，则下列各式不一定成立的是（　　） A． B． C． D．（）2＝（）2 【思路点拨】根据比例的性质，进行各种演变即可得到结论． 【解析】解：∵， ∴ad＝bc． A、∵， ∴+1＝+1，即＝，故本选项一定成立，不符合题意； B、∵d与b不一定相等，ad＝bc， ∴ad+d与bc+b不一定相等， ∴与不一定相等，故本选项不一定成立，符合题意； C、∵， ∴＝，故本选项一定成立，不符合题意； D、∵， ∴（）2＝（）2，故本选项一定成立，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例的性质并且能够对比例式进行恒等变形是解题的关键． 16．点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C．AP2＝AB•BP D．AB2＝AP2+PB2 【思路点拨】根据黄金分割的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， ∴＝＝， ∴AP2＝AB•BP， 故A，B，C都不符合题意； ∵AB2＝（AP+PB）2， ∴AB2＝AP2+2AP•PB+PB2， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 17．如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若以AC为边的正方形ACDE的面积为100，则长为AB，宽为CB的矩形的面积为 　 　． 【思路点拨】根据黄金分割的定义，可得出矩形面积与正方形面积之间的关系，据此可解决问题． 【解析】解：∵， ∴AC2＝AB•BC． ∵正方形ACDE的面积为100， ∴AC2＝100， ∴AB•BC＝100， ∴S矩形CBGF＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查黄金分割及正方形的性质，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且． （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 【思路点拨】（1）设＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可； （2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可． 【解析】解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k， 所以＝＝； （2）5k+4k+6k＝60， 解得k＝4， 所以a＝20，b＝16，c＝24． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 19．如图，已知线段AB，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取． （2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E． （3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．则点D是线段AB的黄金分割点，请说明其中的道理． 【思路点拨】设BC长为x，则AB长为2x，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解． 【解析】解：设BC长为x，则AB长为2x， ∵BC⊥AB， ∴． ∵CE＝BC＝x， ∴， ∴， ∴， 即点D是线段AB的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（　　） A． B．S1＝2S2 C．S1＝S2 D． 【思路点拨】由，推出AC2＝BC•AB，可得结论． 【解析】解：∵， ∴AC2＝BC•AB， ∴S1＝S2， 故选：C． 【点睛】本题考查黄金分割，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．已知a，b，c为△ABC的三边，，且a+b+c＝12，求△ABC的面积． 【思路点拨】根据比例的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可． 【解析】解：设＝k， 所以a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8， 把a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8代入a+b+c＝12， 可得：3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12， 解得：k＝3， ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴b2+c2＝9+16＝25，a2＝25， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝bc＝×3×4＝6． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理和三角形面积，关键是根据比例的性质得出a，b，c的值解答． 22．若＝＝＝k，求k的值． 【思路点拨】当a+b+c＝0时，易得k＝﹣1；当a+b+c≠0时，根据等比性质得到k的值． 【解析】解：当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c， 所以k＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时， k＝＝＝， 综上所述，k的值为﹣1或． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 23．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2． （1）求∠B的度数； （2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； ②求AD的长． 【思路点拨】（1）设∠B＝x，利用等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝x，则∠ADC＝2x，再表示出∠A＝∠ADC＝2x，利用三角形外角性质得到x+2x＝108°，解方程求出x即可； （2）①利用黄金三角形的定义可判断△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形． ②根据黄金三角形的定义得到＝，则AC＝﹣1，所以CD＝CA＝BD＝CD＝﹣1，然后计算AB﹣BD即可． 【解析】解：（1）设∠B＝x， ∵BD＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝x， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x， ∵AC＝DC， ∴∠A＝∠ADC＝2x， ∵∠ACE＝∠B+∠A， ∴x+2x＝108°，解得x＝36°， 即∠B的度数为36°； （2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形． 理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°， ∴△DBC为黄金三角形； ∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°， 而∠A＝2×36°＝72°， ∴∠A＝∠ACB， 而∠B＝36°， ∴△ABC为黄金三角形； ∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°， 而CA＝CD， ∴△CAD为黄金三角形； ②∵△BAC为黄金三角形， ∴＝， 而BC＝2， ∴AC＝﹣1， ∴CD＝CA＝﹣1， ∴BD＝CD＝﹣1， ∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$