第05讲 函数概念及表示（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第05讲 函数的概念及表示 【考纲要求】 1. 理解函数的概念，会求函数值； 2. 理解函数三要素，会求函数定义域、对应关系及值域； 3. 理解分段函数的概念； 1．函数的有关概念 概念 一般地，设A，B是非空的       ，如果对于集合A中的       ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有      确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域      的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合 ____ _ 2．相同函数 一般地，如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式 (1)函数的三要素： 、 、 ． (2)函数的表示法：常用方法有 、图象法和 ． （3）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ① 不为零； ② 的被开方数、式大于或等于零； ③ 的底数不为零； ④ 的真数必须大于零； 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （5）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤图象法、配凑法等. （6）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着 的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ． 注意：作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点一 函数的概念 例1：下列图象表示函数图象的是（ ） A．B．C．D． 变式1:下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) 变式2：给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④ ． ① ② ③ ．④ 例2：下列函数中与函数为同一函数的是（ ） A． B． C． D． 变式1：下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 考点二 函数的定义域 例1：函数的定义域是（ ） A．[－1,+∞） B．(－1,1)∪(1,+∞) C．(1,+∞) D．[－1,1)∪(1,+∞) 变式：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 例2：函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A．(2，＋∞) B．(2,3) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 变式：函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点三 求函数值 例1：已知，则（ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 变式：已知，则（ ） A．15 B．21 C．3 D．0 例2：已知函数f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 变式：已知函数 (1) 求函数的定义域. （2）求的值. (3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 考点四 函数值域 例1：求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)； (3)。 变式1：函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2：函数y＝，则该函数的值域为　 　． 变式3：函数在上的值域为　 　． 考点五 函数解析式 例1：(待定系数法)已知一次函数满足条件，则函数的解析式为　 　． 变式：已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； 例2：(待定系数法)已知函数是二次函数，若，求的解析式． 例3：（配凑法）已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 变式：已知求的解析式. 例4：（ 换元法）已知f()＝x－1，则f(x)＝________. 变式1：已知求. 变式2：已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 例5：(方程组法）已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 变式：设满足求的解析式. 考点六 相同函数 例1：下列各组函数中表示的函数不同的是 (　　) ． ． 变式：下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝x－1与y＝－ C．y＝2与y＝2x D．y＝与v＝ 考点七 分段函数、复合函数 例1：若函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式：设函数，则的值为 变式2：:函数的值域是（ ） A．R B． C． D． 例2：设函数，若，则　 　． 变式：已知函数，若，则的值是　 　． 例3：已知函数，部分与的对应关系如表：则（    ） A． B． C． D． 变式1：已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 变式2：已知f（x）= 求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 函数的概念及表示 【考纲要求】 1. 理解函数的概念，会求函数值； 2. 理解函数三要素，会求函数定义域、对应关系及值域； 3. 理解分段函数的概念； 1．函数的有关概念 概念 一般地，设A，B是非空的   实数集   ，如果对于集合A中的   任意一个数x   ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有  唯一   确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域    x  的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合 _____ 2．相同函数 一般地，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式 (1)函数的三要素： 定义域 、 解析式 、 值域 ． (2)函数的表示法：常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ． （3）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数式的真数必须大于零； 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （5）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤图象法、配凑法等. （6）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点一 函数的概念 例1：下列图象表示函数图象的是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】A、B、D都不满足函数定义中一个与唯一的一个对应的关系，所以选C。 变式1:下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) 【答案】C 【解析】根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足. 变式2：给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④ ． ① ② ③ ．④ 【答案】C 【解析】①由得，不满足函数的定义， 比如，，所以①不是函数． ②由得，， 所以，所以②不是函数． ③由1得，满足函数的定义，所以③是函数． ④要使函数有意义，则，解得，此时不等式组无解，所以④不是函数． 例2：下列函数中与函数为同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两个函数相等，则两个函数的定义域相同，对应法则相同，函数的定义域为， 对于A选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等； 对于B选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等； 对于C选项，函数的定义域为，且，该函数与函数不相等； 对于D选项，函数的定义域为，且，该函数与函数相等. 变式1：下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，与定义域不是，A、C不合题意；，解析式与不相同，D不合题意； 选项B中函数定义域、解析式都与所给函数相同． 考点二 函数的定义域 例1：函数的定义域是（ ） A．[－1,+∞） B．(－1,1)∪(1,+∞) C．(1,+∞) D．[－1,1)∪(1,+∞) 【答案】D 【解析】要使函数有意义，必须满足，解得，且， 所以函数的定义域是. 变式：函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得x≥且x≠2． ∴函数的定义域为． 例2：函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A．(2，＋∞) B．(2,3) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 【答案】D 【解析】函数有意义，必须，解之得，则函数的定义域为． 变式：函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得且，函数的定义域为． 考点三 求函数值 例1：已知，则（ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】C 【解析】根据的解析式，有. 变式：已知，则（ ） A．15 B．21 C．3 D．0 【答案】D 【解析】根据的解析式，有.故选：D 例2：已知函数f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝. (3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋. 变式：已知函数 (1) 求函数的定义域. （2）求的值. (3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 【解析】（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是 . (2)， （3） 因为a>0,所以有意义。 ， 考点四 函数值域 例1：求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)； (3)。 【解析】(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)， 可得函数的值域为[2，6). (2)(分离常数法)函数 ，显然 ≠0，∴y≠1，故函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞). (3)(换元法)令， 函数化为 ，即函数的值域为． 变式1：函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因此该函数的对称轴为：，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，而，所以最大值为，因此值域为。 变式2：函数y＝，则该函数的值域为　 　． 【解析】y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 变式3：函数在上的值域为　 　． 【解析】， (本题主要是注意到了和均可或的形式，故想到换元法) 令，因为，所以， 原函数的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质可知，，即所求函数的值域为． 考点五 函数解析式 例1：(待定系数法)已知一次函数满足条件，则函数的解析式为　 　． 【答案】 【解析】设，，， ，即， ，解可得，， . 变式：已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； 【解析】∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. 例2：(待定系数法)已知函数是二次函数，若，求的解析式． 【解析】 依题意可设， 若，且， 且 即， ，解得．； 例3：（配凑法）已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 【答案】A 【解析】因为f(x－1)＝（x-1）2＋6（x-1） 变式：已知求的解析式. 【解析】 (注意函数的定义域) 例4：（ 换元法）已知f()＝x－1，则f(x)＝________. 【答案】x2－1(x≥0) 【解析】令t＝，则t≥0，故x＝t2， 则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0). 变式1：已知求. 【解析】令，则， ， . 变式2：已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 【解析】(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t. ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. 例5：(方程组法）已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 【解析】)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 变式：设满足求的解析式. 【解析】 ① 显然，将换成，得：② 解①②联立的方程组，得：. 考点六 相同函数 例1：下列各组函数中表示的函数不同的是 (　　) ． ． 【答案】 【解析】的定义域和对应法则相同，表示同一函数， 中的定义域是，定义域为， 两个函数的定义域不相同，不是同一函数. 变式：下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝x－1与y＝－ C．y＝2与y＝2x D．y＝与v＝ 【答案】 D 【解析】选项A、B、C定义域不同。 考点七 分段函数、复合函数 例1：若函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴． 变式：设函数，则的值为 【解析】，=。 变式2：:函数的值域是（ ） A．R B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，； 当时，； 当时，， 根据分段函数的性质可知，的值域为，． 例2：设函数，若，则　 　． 【解析】由题意，得 ①当时，有，解之得， 而不符合，所以； ②当时，有，解之得． 综上所述，得或． 变式：已知函数，若，则的值是　 　． 【答案】 或 【解析】由题意，当时，，得， 又，所以； 当时，，得，舍去． 例3：已知函数，部分与的对应关系如表：则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表知，，则，故选：D． 变式1：已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题图可知，由题表可知，故，故选:D． 变式2：已知f（x）= 求的值． 【答案】0 【解析】解：，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$