专题3.3 函数的奇偶性及周期性（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题3.3 函数的奇偶性及周期性 【考纲要求】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期. 【考向预测】 1.函数的奇偶性 2.函数的周期性 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 6．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一：奇偶性的判断 【例1】下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数，因为，故函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，函数，因为，所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为， 则函数为非奇非偶函数，故D不符题意， 故选：B. 【变式探究】下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误， 故选：B. 【例2】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错； B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错， 故选：B. 【变式探究】下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【例3】下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令， 则， 所以为奇函数， 故选：C. 【变式探究】求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数. 判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断． 考点二：奇偶函数的性质 【例1】函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】时，，故， 又函数为上的奇函数，故， 故选：C. 【变式探究】已知是偶函数，，则 . 【答案】4 【解析】因为是偶函数，， 所以，4， 故答案为：4. 【例2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，， ∴， 故选：C. 【变式探究】是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，，则， 又为R上的奇函数， 所以， 故选：C. 【例3】已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【解析】构建在R上为奇函数， 则，即， 则， 故选：A． 【变式探究】是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A．1 B． C． D．01 【答案】B 【解析】因为是偶函数，其定义域为， 所以，可得，定义域为， 所以， 由可得：对于恒成立， 所以，可得，所以， 故选：B. 【例4】已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由题意，，∴， 即， ∴函数的单调递增区间为； （2）∵函数是偶函数，∴， 即， ∴． 【变式探究】已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】（1）解：当时，，定义域为，关于原点对称，， 所以是奇函数． （2）证明：当时，， 证明：取，， 所以，，则，即， 所以在上是单调递减函数． 已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上． 考点三：函数的周期 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数， 不是周期函数， 故选：C. 【变式探究】已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】， ，， ∴， 故选：A. 【例2】已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【解析】由题可知：， 又当时，， 所以， 故， 故答案为：. 【变式探究】已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 【例3】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数， 所以，， 因为当时，，所以， 所以，所以， 故答案为：. 【变式探究】已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数的奇偶性及周期性 【考纲要求】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 理解函数周期性的概念，并会求函数的周期. 【考向预测】 1.函数的奇偶性 2.函数的周期性 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 5．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 6．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一：奇偶性的判断 【例1】下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【例2】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【例3】下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】求证函数为奇函数． 判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断． 考点二：奇偶函数的性质 【例1】函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 【变式探究】已知是偶函数，，则 . 【例2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式探究】是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【变式探究】是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A．1 B． C． D．01 【例4】已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 【变式探究】已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上． 考点三：函数的周期 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【变式探究】已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【变式探究】已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例3】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【变式探究】已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$