1.3.1不等式性质（2知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

3.1不等式性质 课程标准 学习目标 1.理解不等式的概念，"掌握不等式的基本性质。 2.培养运用不等式解决实际问题的能力。 3.提高对数学逻辑思维的认识。 1.重点:不等式的基本性质，不等式的运算规则 2.难点:不等式在实际问题中的应用 知识点01 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则，这是一个 命题.（填“真”或“假”） 知识点02不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【即学即练3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】(多选)（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 难点：取整问题 示例1：（20-21高二下·上海浦东新·期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【题型1：由不等式的性质比较大小】 例1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 变式3．（23-24高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式7．（多选）（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若， 则（    ） A． B． C． D． 变式8．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 【题型2：作差法比较大小】 例2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 变式1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 变式2．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小. 变式4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）设，比较与的值的大小． 【方法技巧与总结】 作差比较法；若，则 【题型3：作商法比较大小】 例3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 变式1．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 变式2．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 变式3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 变式4．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 变式5．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 变式6．（2020高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 变式7．（2020高三·上海·专题练习）已知，求证：． 【方法技巧与总结】 利用作商比较法.当，，且时，. 【题型4：直接法求不等式的取值范围】 例4．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则的取值范围为 ． 变式5．（20-21高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 变式6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 变式8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求及的取值范围． 【方法技巧与总结】 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 【题型5：待定系数法求不等式的取值范围】 例5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2．(多选)（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 变式4．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 变式5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）实数，满足，．则的取值范围是 ． 变式6．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 变式7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，满足，试求的取值范围. 变式8．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 【方法技巧与总结】 由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解 【题型6：由不等式的性质证明不等式】 例6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，求证：是的充要条件． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 变式4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 变式5．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 变式6．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 变式7．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·单元测试）若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·上海·单元测试）是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 二、多选题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广西贺州·期末）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 四、解答题 15．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 17．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 18．（2024高一下·浙江·专题练习）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 19．（19-20高一上·上海闵行·期中）符号表示不大于x的最大整数,例如，， （1）已知方程的解集为M，不等式的解集为N，求M、N； （2）设方程的解集为A，求A； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1不等式性质 课程标准 学习目标 1.理解不等式的概念，"掌握不等式的基本性质。 2.培养运用不等式解决实际问题的能力。 3.提高对数学逻辑思维的认识。 1.重点:不等式的基本性质，不等式的运算规则 2.难点:不等式在实际问题中的应用 知识点01 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非正数含义即可得到答案. 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则，这是一个 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】先得出同号，在得出同为正数. 【详解】由，知为同号， 又，知， 所以这是一个真命题. 故答案为：真 知识点02不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【即学即练3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 【即学即练4】(多选)（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质直接判断A，由作差法判断BC，举反例判断D. 【详解】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则， 因为当且仅当，所以显然不可能（因为）， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC. 难点：取整问题 示例1：（20-21高二下·上海浦东新·期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解. 【详解】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【题型1：由不等式的性质比较大小】 例1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解. 【详解】对于A，B，取，，则，，故A，B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：C 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可. 【详解】对于A：由得，错误； 对于B：由，则有，即，正确； 对于C：由得，则根据不等式的性质有，即， 由可得，错误； 对于D：由得，则，即，错误. 故选：B 变式3．（23-24高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 变式4．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 变式5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 变式6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 变式7．（多选）（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】AD选项，可举出反例；BC选项，可根据不等式的性质得到. 【详解】A选项，不妨令，，此时，A错误； B选项，因为，所以，B正确． C选项，由不等式的性质得，C正确． D选项，当时，，D错误． 故选：BC 变式8．（多选）（23-24高二下·湖南·期中）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项. 【详解】由题意可知，， 对于A，由，， 根据同向可加性得，故A正确； 对于B，取，验证B错误； 对于C，若，等式不成立，故C错误； 对于D，两式做差得， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 【方法技巧与总结】 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 【题型2：作差法比较大小】 例2．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论. 【详解】因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:B. 变式1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 变式2．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合作差法分析判断. 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小. 【答案】 【分析】利用作差法得到，进而即可比较. 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 变式4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明. 【详解】 ， 因为，所以，又，所以， 所以. 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见详解；等号成立的条件为 【分析】利用作差法可得，进而分析证明，且可知等号成立的条件. 【详解】由题意可知：， 因为，则，且，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 等号成立的条件为. 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）两式平方比较大小； 【详解】（1） 理由： ， 估算是，估算是，所以， 因此 . （2） 理由：将两式平方， ，显然， 所以 . 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 【答案】 【分析】通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】，， 因为，所以， 即. 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）设，比较与的值的大小． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，所以. 【方法技巧与总结】 作差比较法；若，则 【题型3：作商法比较大小】 例3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 变式1．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 变式2．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 变式3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 变式4．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 变式5．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 变式6．（2020高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【答案】 【分析】利用作商法比大小. 【详解】, 同理，, 从而， 即>. 变式7．（2020高三·上海·专题练习）已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用作商法得到等式，再判断，，得到证明. 【详解】． ，，，，，，． ，同理得，，． 又，． 【点睛】本题考查了作商法证明不等式，意在考查学生的计算能力和推断能力. 【方法技巧与总结】 利用作商比较法.当，，且时，. 【题型4：直接法求不等式的取值范围】 例4．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 变式1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 变式2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 变式3．（多选）（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可得的取值范围. 【详解】因为，， 所以； 即的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（20-21高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【详解】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用不等式的加法性质即可求解. （2）利用不等式的减法性质即可求解. （3）利用不等式的乘法性质即可求解. （4）利用不等式的除法性质即可求解. 【详解】（1）∵，∴.又∵，∴. （2）∵，∴.又∵，∴. （3）∵，，∴. （4）∵，∴.由，可得. 变式8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 【方法技巧与总结】 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 【题型5：待定系数法求不等式的取值范围】 例5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以 ， 故选：A． 变式1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 变式2．(多选)（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【分析】设出，求出，再利用不等式的性质求解. 【详解】设， 则，解得， ， ， ， 即， 故选：ABC. 变式3．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 变式4．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 变式5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）实数，满足，．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，求出、，再根据不等式的性质计算可得. 【详解】设，所以，解得， 即， 因为，所以， 又，所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 变式6．（23-24高一上·浙江温州·期中）设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即. 因此的取值范围是. 故答案为：. 变式7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，满足，试求的取值范围. 【答案】. 【分析】根据不等式的性质结合条件得出答案. 【详解】设， 比较，的系数，得，解得， ， 又，， ， 故的取值范围是. 变式8．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合不等式的基本性质即可求解． 【详解】设, ,解得， 所以， 因为， 所以 所以，即， 因此，的取值范围是. 【方法技巧与总结】 由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解 【题型6：由不等式的性质证明不等式】 例6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质求证即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，求证：是的充要条件． 【答案】证明见详解 【分析】根据充分必要条件的定义分别证明即可. 【详解】①证明充分性，已知：， ，求证：， 证明：因为，所以， 则不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故充分性得证； ②证明必要性，已知：，，求证：， 证明：因为， 所以不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故必要性得证； 综上，若，则：是的充要条件． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】由不等式的性质直接证明即可. 【详解】证明：因为，，所以， 又因为，，所以， 由不等式传递性，． 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 变式4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 变式5．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 变式6．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 变式7．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由 ，又，所以，所以D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·单元测试）若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助不等式的性质可得A；举出反例可得B、C、D. 【详解】对A：由，，则，故A正确； 对B：取，，则有，故B错误； 对C：取，，则有，故C错误； 对D：取，，则有，故D错误. 故选：A. 3．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可判断． 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（21-22高一上·广东湛江·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】AB选项，举出反例；CD选项，利用不等式的性质进行判断；C由，可得，即可判断出；D利用不等式的基本性质即可判断出. 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·上海·单元测试）是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，成立， 而当时，不一定成立， 如时，满足，而不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 6．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用整体的思想，将用这两个整体表示，再根据不等式的性质运算即可. 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以, 所以, 即, 故选：D. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】通过作差法并结合，即可判断的大小. 【详解】由作差法得， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质判断A、B、D，由特殊值判断C. 【详解】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 10．（23-24高一上·广西贺州·期末）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D． 【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 【答案】 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 四、解答题 15．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差比较法比较大小即可； （2）先利用表示出，结合的范围可得答案. 【详解】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，， 则，故答案为. 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 17．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 应用不等式性质线性运算可得； （2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可. 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以. 18．（2024高一下·浙江·专题练习）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值． 【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有 总产值 ,而, , 即. 故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 19．（19-20高一上·上海闵行·期中）符号表示不大于x的最大整数,例如，， （1）已知方程的解集为M，不等式的解集为N，求M、N； （2）设方程的解集为A，求A； 【答案】(1) ,；(2) 【分析】(1)将表示为，结合的取值范围，，通过解不等式即可求解； (2)利用，得到，分类讨论的值，去掉绝对值，即可求出解集. 【详解】(1)记符号表示x的小数部分，且 即 ，故集合 由于，则 ，故集合 (2) 由于，则 故 当时， 即 当时，，不满足题意； 当时， 即 综上所述，集合 【点睛】本题主要考查了取整方程以及取整不等式的解法，关键是利用进行转换，从而解决不等式或方程，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$