1.3.2基本不等式（2知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

3.2基本不等式 课程标准 学习目标 会：推导并掌握基本不等式， 理解：这个基本不等式的几何意义， 掌握：定理中的不等号取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 认识：基本不等式是解决最值问题的有力工具之一。 重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程 难点:会应用基本不等式求简单的最值，并理解基本不等式 等号成立条件。 知识点01基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【即学即练1】（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（    ） A．          B． C．         D． 【答案】AD 【分析】根据均值不等式对各项逐个分析求解即可 【详解】对于A：，所以，所以，A正确； 对于B：，所以，B错误； 对于C：，所以C错误； 对于D：，所以，所以，D正确， 故选：AD 知识点02均值定理 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 【即学即练3】（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于、都是正数，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为25， 故答案为：25 难点：换元法的运用 示例1：（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 【题型1：基本不等式求最值】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 变式1．（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 变式2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 变式3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 变式5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】使用重要不等式即可得解 【详解】因为，又 所以，即，当且仅当时取等号， 故答案为：2. 变式6．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值． 【答案】3 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】a与b均为正数，且，则， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为3. 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求的最大值. 【答案】 【分析】由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件. 【详解】∵，则， ∴ ， 当且仅当即时等号成立. ∴的最大值. 【方法技巧与总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【题型2：基本不等式常数“1”的运用】 例2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 变式1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：A 变式2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 变式3．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 变式4．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，，且，可得， 所以(当且仅当时，等号成立)； 所以的最小值为； 故答案为： 变式5．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 变式6．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 变式7．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）设为正数，且，求的最小值. 【答案】2 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为为正数，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 【方法技巧与总结】 条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式 【题型3：和积型求最值】 例3．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：B. 变式1．（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 变式2．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式进行求解即可解答． 【详解】， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故答案为：25． 变式5．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值. 【详解】因为，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 变式6．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用配方法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 变式7．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，求的最小值. 【答案】18 【分析】利用“”的代换得，展开后由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，，由，两边同时除以xy，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18． 变式8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，，求xy的最大值． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式结合一元二次不等式求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号， 于是，解得，即， 由，解得， 所以当时，xy取得最大值2. 【方法技巧与总结】 一个式子有 “和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换 【题型4：恒成立问题】 例4．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 变式1．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 变式2．（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将不等式恒成立问题，转化为利用基本不等式求最值问题. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25. 故选：D 变式3．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 变式4．(多选)（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对； ，故B错； 故选：ACD 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 变式7．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式 求出在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 变式8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，即可求解. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 【题型5：基本不等式实际应用】 例5．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 变式1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】引入变量再设参量，根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值. 【详解】    设，其中，则， 在直角中，由勾股定理得：， 解得：, . 当且仅当，即时等号成立. 故选:B. 变式2．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 变式3．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？    （2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ （3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析； 【分析】（1）根据正方形和直角三角形面积得出不等关系； （2）用，分别替换上式中的a，b可得到； （3）应用做差法或几何法证明结论. 【详解】（1） 正方形的边长，故正方形的面积为，而四个直角三角形的面积为2ab，故有，当且仅当时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． （2）用，分别替换上式中的a，b可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成． （3） 方法一  （作差法） ， 即，当且仅当时，等号成立． 方法二  （几何法）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD，BD，故有，故，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦．    变式7．（23-24高一上·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 【答案】(1)1,2; (2)4,5; (3); 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）加3构造定值应用基本不等式求和的最小值； （3）根据题意设边长写出定值再应用基本不等式求面积最大值及取等条件. 【详解】（1）,当且仅当时取得最小值. （2）, 当且仅当时，. （3）设每间隔离房的长、宽分别为, 由题意可知, 当且仅当时，. 变式8．（24-25高一上·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系： ．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？ 【答案】千米每小时，车流量最大 【分析】由 ，利用基本不等式等号成立的条件求得取得最大值时对应的的值. 【详解】因为 ， 又 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以当汽车的平均速度千米/小时时，车流量y最大． 一、单选题 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 3．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 5．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 7．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 11．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，然后求该范围的子集即可. 【详解】因为，所以（当且仅当即时取“”），所以恒成立即为：. 故BD是恒成立的充分条件. 故选：BD 三、填空题 12．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 13．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）设正实数m，n，满足，则的最小值为 ，则的最大值为 . 【答案】 1 2 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】由且得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1； 由且得， 则，所以的最大值为2. 当且仅当时，等号成立. 故答案为：1；2 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 16．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 18．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 【答案】（1）16；（2）18；（3） 【分析】应用基本不等式即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时，上式取等号． 故当时，. （2），， 当且仅当时，等号成立，∴的最小值为18. （3）因为， 所以，即， 当且仅当，且，即时，等号成立， ∴的最大值为. 19．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】（1）时，y最小值为；（2），仅当且同号时等号成立. 【分析】（1）将函数化为，应用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由题设，应用基本不等式得，即可比较大小，注意确定等号成立条件. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立， 所以时，y最小值为. （2）由， 而，当且仅当时等号成立， 所以，即， 当且仅当且同号时等号成立. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用“1”的代换得到为关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2基本不等式 课程标准 学习目标 会：推导并掌握基本不等式， 理解：这个基本不等式的几何意义， 掌握：定理中的不等号取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 认识：基本不等式是解决最值问题的有力工具之一。 重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程 难点:会应用基本不等式求简单的最值，并理解基本不等式 等号成立条件。 知识点01基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【即学即练1】（多选）（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（    ） A．          B． C．         D． 知识点02均值定理 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 【即学即练3】（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 难点：换元法的运用 示例1：（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型1：基本不等式求最值】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 变式1．（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 变式3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 变式5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知实数、满足，则的最大值为 ． 变式6．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值． 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求的最大值. 【方法技巧与总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【题型2：基本不等式常数“1”的运用】 例2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 变式2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式3．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是 ． 变式5．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 变式6．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 变式7．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）设为正数，且，求的最小值. 【方法技巧与总结】 条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式 【题型3：和积型求最值】 例3．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 变式1．（多选）（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 变式5．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 变式6．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 变式7．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，求的最小值. 变式8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，，求xy的最大值． 【方法技巧与总结】 一个式子有 “和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换 【题型4：恒成立问题】 例4．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 变式2．（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 变式3．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 变式4．(多选)（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 变式6．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 变式7．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是 变式8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【题型5：基本不等式实际应用】 例5．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 变式1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 变式3．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？    （2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ （3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明． 变式7．（23-24高一上·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 变式8．（24-25高一上·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系： ．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？ 一、单选题 1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 5．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 7．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 二、多选题 9．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知， 且， 则的最大值为 ． 13．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）设正实数m，n，满足，则的最小值为 ，则的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 16．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 18．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 19．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$