专题2.3 轴对称之将军饮马模型之最值问题-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题2.3 轴对称之将军饮马模型之最值问题 【题型1 “2定点1动点”作图问题】 【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型5 “1定点2动点”-角度问题】 【方法点拨】 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交于P， 点 P 即 为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线 性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【题型1 “2定点1动点”作图问题】 【典例1】如图，要在街道设立一个牛奶站，向居民区，提供牛奶，下列设计图形中使值最小的是（    ）    A．   B．   C． D．   【变式1-1】如图，直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得的值最小．    【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)若点关于轴、轴的对称点分别是点，，请分别描出点，并写出点，的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【典例2】如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．    【变式2-1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为 cm． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 ． 【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【典例3】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式3-1】如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【变式3-2】如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．21 B．7 C．4 D．2 【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【典例4】如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 【变式4-1】如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ． 【变式4-2】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式4-3】如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【题型5 “1定点2动点”-角度问题】 【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °. 【变式5-1】如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ． 【变式5-3】如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 轴对称之将军饮马模型之最值问题 【题型1 “2定点1动点”作图问题】 【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型5 “1定点2动点”-角度问题】 【方法点拨】 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交于P， 点 P 即 为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线 性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【题型1 “2定点1动点”作图问题】 【典例1】如图，要在街道设立一个牛奶站，向居民区，提供牛奶，下列设计图形中使值最小的是（    ）    A．   B．   C． D．   【答案】D 【分析】作点A关于l的对称点A′，则OA＝OA′，故OA＋OB＝OA′＋OB，然后依据两点之间线段最短可知此时的值最小． 【详解】解：如图，作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点O，此时的值最小，    故选：D． 【点睛】本题主要考查的是轴对称−最短路径问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得的值最小．    【答案】详见解析 【分析】利用轴对称图形的性质可作点P关于直线l的对称点，连接交l交于点M，点M即为所求． 【详解】解：如图，作点P关于直线l的对称点．连接，与直线l交于点M，则此时最小．    证明：∵P与关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线， ∴， ∴． ∴此时有最小值，为的长度． 【点睛】此题主要考查有关轴对称－最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)若点关于轴、轴的对称点分别是点，，请分别描出点，并写出点，的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图过程见解析，， (2)作图过程见解析． 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质及轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题的关键． （1）利用关于对称轴对称点坐标得出、两点坐标即可． （2）连接交轴于点，点即为所求． 【详解】（1）如图所示，，， （2）如图所示，连接交轴于点，点即为所求． 【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】 【典例2】如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．    【答案】7 【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当三点共线时，的周长最小，为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 如图所示，连接，交于点，   ，， 周长， 当三点共线时，的周长最小，为的长， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了轴对称求最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2-1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为 cm． 【答案】13 【分析】根据ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，可得出再根据三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是AB的垂直平分线，可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， 解得：AD＝8（cm）， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短， 即（BM+MD）+BD＝AD+BC＝8+5＝13（cm）． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形的三线合一性质是解此题的关键． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 ． 【答案】13 【分析】如图所示，连接AP，根据线段垂直平分线的定义得到AP=CP，则△PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PD+CD，从而可以推出当A、P、D三点共线时，PA+PD的值最小，即为AD，再根据三线合一定理得到AD⊥BC，，再根据三角形面积求出AD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接AP， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AP=CP， ∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PD+CD， ∴要使△PCD的周长最小，即PD+PC的值最小，即AP+PD的值最小， ∴当A、P、D三点共线时，PA+PD的值最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点，BC=6， ∴AD⊥BC，， ∵△ABC的面积为30， ∴， ∴AD=10， ∴△PCD的周长的最小值=AD+CD=13， 故答案为：13． 【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】 【典例3】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 【变式3-1】如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【变式3-2】如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．21 B．7 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点． ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， 连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD， ∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小， ∴AD的长为CM+MD的最小值． 故选：B． 【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【典例4】如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 【答案】2 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案． 【详解】解：作于点，连接、， ∵是周长为的等边三角形， ∴ ∴ ∵为边上的中线， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小， ∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小， ∴， 故答案为：2． 【变式4-1】如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ． 【答案】3 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是3， 周长的最小值是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 【变式4-2】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式4-3】如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，根据垂线段最短，当点、分别在、位置时，最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ，，，， ， ，， 作点关于的对称点交于点，连接， ， ， 当点、分别在、位置时，最小， 则的最小值为的长． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型5 “1定点2动点”-角度问题】 【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °. 【答案】40 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠MAB＋∠NAD＝70°，即可得出答案． 【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图： ∵∠DAB＝110°， ∴∠HAA′＝70°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″， ∴∠MAB＋∠NAD＝70°， ∴∠MAN＝110°−70°＝40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题以及三角形外角的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 【变式5-1】如图，已知点在锐角内部，，在边上存在一点，在边上存在一点，能使最小，此时 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定、的位置．过的作关于的对称点，作于，交于，此时最短，即可求得的度数． 【详解】解：过的作关于的对称点，作于，交于，此时，根据点到直线的距离最短可知最短， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ． 【答案】/度 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 【变式5-3】如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°/28度 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$