精品解析：辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2025届高三上学期第一次模拟（开学）考试数学试题

2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科 一、选择题（共8小题） 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解. 【详解】，∴虚部为－1． 故选：B 2. 设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可. 【详解】因为是 的必要不充分条件，所以，推不出 ， 因为是 的充分不必要条件，所以， 推不出， 因为 是 的充要条件，所以，， 所以由，，可得， 由 推不出，推不出 ，可得C推不出D. 故D是C的充分不必要条件. 故选：B. 3. 定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合 ，再根据嵌套集合的定义即可得解. 【详解】因为，所有， 由，得， 如图，作出函数的图象， 由图可知，不等式的解集为， 所以且， 由，得， 当，即时，则，不符题意； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，解得； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，无解， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 4. 已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程，解得，得到的可能取值，根据题意得到，即可求解. 【详解】由方程，可得， 所以， 当时，， 所以的可能取值为，，，，，，…， 因为原方程在区间上恰有3个实根，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 5. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量；②，三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 长方体的体积 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义可判断A，C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断B；根据新定义计算等号左右两边可判断D，进而可得正确答案. 【详解】对于A：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系， 且，， 所以，故，所以选项A正确； 对于B：长方体的体积为， 又因为，所以长方体的体积，故选项B正确； 对于C：根据定义可得：，，所以，故选项C不正确； 对于D：因为，且与同向共线，，且与同向共线，又因为与同向共线，所以，且与同向共线，故选项D正确； 所以结论错误的是选项C， 故选：C. 6. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，整理得，令，所以，即可求解． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 令， 所以，其中， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 7. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ） A. 存在和，使得不变 B. 存在和，使得变为原来的2倍 C. 若，则最多可变为原来的2倍 D. 若，则最多可变为原来的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】由，当不变，与均变为原来的2倍时，，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以当不变，与均变为原来的2倍时，， 对于A，若不变，则，所以，因为，所以上式无解， 所以不存在和，使得不变，所以A错误， 对于B，若变为原来的2倍，则，所以， 当，时，，所以， 所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误， 对于C，若，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误， 对于D，由，得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确. 故选：D 8. 已知函数与其导函数为定义域均为，且满足，，，给出以下四个命题： ① ② ③函数的图象关于直线对称 ④ 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】对两边同时求导可判断①； 将代入的值，再由和比较大小即可判断②； 令，由可判断③； 令，则，对方程两边同时求导可得，进而结合等差数列的概念得到，从而可判断④. 【详解】对两边同时求导：，令，即，故①正确； 令，则有，即，不满足，故②错误； 由得， 令，则有， 若，则，所以关于直线对称，故③正确； 令，则，对方程两边同时求导可得： ，即， 因为，所以， 从而得. 当时，， 当时，，，即， 当时，是以为首项，公差为4的等差数列， 所以，； 当时，，则，又， 所以， 即，进而 得； 综上所述，，故④正确. 故选：D. 二、多选题（共3小题） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【解析】 【分析】求导得，根据判别式确定导函数的根，即可结合极值定义求解ABC，求解函数的切线方程，联立方程求解交点，即可判断D． 【详解】对于A，是上的增函数， ，，解得，A正确； 对于B，当时，，有两个异根， 函数有两个极值，B正确； 对于C，令，则或， 当时，当，即时，有相等的根， 此时有两零点； 当，即时，有相异的两根， 此时有三个零点，C错误； 对于D，当时，， ，又， 在点,处的切线方程为， 由，得或， 当时，在点处的切线与有2个公共点，D错误． 故选：AB． 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 平面 C. 平面与平面所成的二面角为 D. 异面直线与所成角的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A应用等体积法，根据特殊点：与 重合时求的体积；B利用面面平行的性质证面；C根据正方体的结构特征证面面即可；D由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围. 【详解】A：，因为 到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与 重合时得，故A正确； B：连接，，，，易证面面，又面，所以面，故B正确； C：根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误； D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则（ ） A. 若n为奇数，则 B. C. 若数列单调递增，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，结合等差数列的前项和公式，可得.结合等差数列的性质，可判断A的真假；由可判断B的真假；结合数列的单调性，可判断C的真假；结合数列求和，可判断D的真假. 【详解】由数列是等差数列且，得，所以， 对于A，当n为奇数时，，故A正确； 对于B，由得，故选项B错误； 对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确； 对于D：由，其中， 所以， 因为，， 所以 ，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：在D的判断过程中，利用这一结论，作为选择题，该结论可以熟记，直接应用. 三、填空题（共3小题） 12. 某圆锥的侧面展开图为一个扇形，已知该扇形的圆心角为，半径为，则该圆锥的体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，高为，根据题意，求得和，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为， 因为圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，半径为， 可得，所以， 又因为圆锥的母线长为，所以高为， 所以该圆锥的体积为. 故答案为：. 13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ . 【答案】 【解析】 【分析】运用等式性质变形，结合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则时取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 14. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由正弦定理边角关系得，结合三角形内角性质、三角恒等变换化简可得，即可求大小，进而求得外接圆半径，结合正弦定理可得，即可求三角形面积. 【详解】由题设，而， 所以， 则，又，可得，，故. 所以外接圆半径为， 等腰中，且， 所以，则，即，故， 又，，则的面积为. 故答案为：， 四、解答题（共5小题） 15. 已知不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 所以，，得，， 则不等式即， 解得，故解集； 【小问2详解】 由（1）知，，而是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知中，角所对的边分别为已知. （1）求的取值范围； （2）求最大时，的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角形面积公式可得，再结合三角形三边关系可列不等式求解的范围； （2）由余弦定理结合基本不等式可得的最大值为，此时，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由于， 所以. 由三角形的三边关系知:. 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得，，当时取等， 又，所以的最大值为，此时. 17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． （1）证明：MN∥平面A'BE； （2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线，利用直线和平面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值. 【小问1详解】 取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面. 【小问2详解】 连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ， ，， ，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，为平面的法向量， ，令 ，令， 设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角， ， 平面与平面的夹角的正切值为. 18. 设是数列的前n项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 【答案】（1）由已知得， 所以， 其中，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）正整数n为1，2 【解析】 【分析】（1）由定义能证明数列是等比数列； （2）由，得，从而； 由求和式子由此能求出满足的所有正整数n的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 所以， 所以 ， 当时，单调递减，其中，，， 所以满足的所有正整数n为1，2. 19. 已知函数， （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【答案】（1）. （2）证明：解法1：当 时，且 ，此时 ； 当时，且，此时 ， 故综上. 解法2：，令，在上恒成立， 故在上单调递增，即在上单调递增， 因此当时，； 当； 因此在上单调递减，在 上单调递增， 故. （3）证明：不妨取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在 处的切线， 则 ，得 ，则 的坐标 ， 由于，所以， 则有， 综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在 处的切线斜率， 所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【解析】 【分析】（1）由，得，再利用换元法求； （2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明； （3）取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在 处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在 处的切线斜率即可. 【小问1详解】 因为的图象与的图象关于直线 对称，所以 . 又因为 ， 所以， 令，则 ， 所以， 因此. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科 一、选择题（共8小题） 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 2. 设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量；②，三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 长方体的体积 C. D. 6. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ） A. 存在和，使得不变 B. 存在和，使得变为原来的2倍 C. 若，则最多可变为原来的2倍 D. 若，则最多可变为原来的2倍 8. 已知函数与其导函数为定义域均为，且满足，，，给出以下四个命题： ① ② ③函数的图象关于直线对称 ④ 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（共3小题） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 平面 C. 平面与平面所成的二面角为 D. 异面直线与所成角的范围是 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则（ ） A. 若n为奇数，则 B. C. 若数列单调递增，则 D. 三、填空题（共3小题） 12. 某圆锥的侧面展开图为一个扇形，已知该扇形的圆心角为，半径为，则该圆锥的体积为______________． 13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ . 14. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________. 四、解答题（共5小题） 15. 已知不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知中，角所对的边分别为已知. （1）求的取值范围； （2）求最大时，的面积. 17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． （1）证明：MN∥平面A'BE； （2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 18. 设是数列的前n项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 19. 已知函数， （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $