专题14 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题14 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、抽象函数定义域 4 题型二、抽象函数求值 4 题型三、抽象函数解析式 5 题型四、抽象函数的单调性 6 题型五、抽象函数的奇偶性 6 压轴能力测评（12题） 8 一、抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 二、抽象函数的性质 1.周期性：；； ；（为常数）； 2.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 三、抽象函数的模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【余弦函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 【正切函数模型】（供提前了解） 模型：若，则 模型3：若，则 【题型一 抽象函数定义域】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 6．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【题型二 抽象函数求值】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 二、多选题 4．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 6．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数满足：(为实数），且，那么代数式 ． 【题型三 抽象函数解析式】 一、填空题 1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可） 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 5．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【题型四 抽象函数的单调性】 一、解答题 1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【题型五 抽象函数的奇偶性】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 5．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 三、解答题 7．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 8．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 二、多选题 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 8．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 13．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 14．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 16．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、抽象函数定义域 4 题型二、抽象函数求值 5 题型三、抽象函数解析式 8 题型四、抽象函数的单调性 10 题型五、抽象函数的奇偶性 13 压轴能力测评（12题） 19 一、抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 二、抽象函数的性质 1.周期性：；； ；（为常数）； 2.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 三、抽象函数的模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【余弦函数模型】（供提前了解） 模型1：若，则 模型2：若，则 【正切函数模型】（供提前了解） 模型：若，则 模型3：若，则 【题型一 抽象函数定义域】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【详解】由于函数的定义域为，故，解得， 即函数的定义域为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解. 【详解】对于函数：因为，则， 所以的定义域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】可根据相同对应关系括号内取值范围一样解出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 又因为函数， 所以，即或， 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 6．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型二 抽象函数求值】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案. 【详解】令，得，则.故A错误，C正确； 令，得.故B错误，D正确. 故选：CD. 三、填空题 5．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； . 【答案】 【分析】令可求得；令得，令得， ，相减即可求得. 【详解】因为对任意实数x，y都成立，所以令得， ，解得；令得， ，令得， ，所以，所以. 故答案为：；. 6．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数满足：(为实数），且，那么代数式 ． 【答案】 【分析】根据题目规律，先求出，进而求得答案. 【详解】根据题意，令，则， 所以. 所以， 因为共有个， 所以. 故答案为：. 【题型三 抽象函数解析式】 一、填空题 1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【详解】若设，则由， 得，解得， 所以， 故答案为：（答案不唯一） 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法先求出解析式，再求解不等式可得答案. 【详解】令，得． 令，则，即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为： 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 三、解答题 4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 【答案】 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 5．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【答案】 【分析】利用赋值法可求的解析式. 【详解】由已知条件得，又， 设，则， 所以即 ∴. 此时, 而, 符合题设要求，故. 【题型四 抽象函数的单调性】 一、解答题 1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)，. (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 【题型五 抽象函数的奇偶性】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】C 【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD. 【详解】对于A，令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 对于C，令，则有， 则，故函数是奇函数，故C错误； 对于D，有，即， 则函数是减函数，故D正确； 对于B，由，令，有，故B正确. 故选：C 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 5．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上有最大值 【答案】ABC 【分析】令，求得，可判定A正确；令，推得，可判定C正确；用代替，可判定B正确；由，因为的符号不确定，可判定D不正确. 【详解】由定义在上的函数满足， 令，可得，可得，所以A正确； 令，可得，因为，可得， 所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确； 用代替，可得，所以B正确； 任取，且，则， 则， 其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定， 所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得， 再令，得到，可判定D正确. 【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有， 对于A中，令，得，所以A正确； 对于B中，令，得，则，所以B正确； 对于C中，令，得， 再令，得， 可得，所以C错误. 对于D中，令，得，则， 再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 三、解答题 7．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 8．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域为，可得的范围，也是的范围，解出的范围即是的定义域. 【详解】因为的定义域为， ，对于函数有，解得定义域为. 故选： 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】通过赋值得，，由此即可得解. 【详解】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 故选：D 5．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 二、多选题 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（   ） A． B．可能是偶函数 C． D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确； 令，得，则， 对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确； 对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误； 对于选项C，令，得，所以选项C错误； 故选：AB. 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【详解】A.， 令，则，故A错误； 令，则，又，所以， 令，则， 所以函数关于对称， 令，则， 令，且，则，所以， 又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确； 令，则， 又，所以，故C正确； 因为，所以，所以函数的一个周期为8， 令，则，所以， 所以，所以， ， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，关键是根据条件等式，将赋值数字或变量. 三、填空题 9．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，则，则， 即的定义域为； 故答案为： 10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，即可得答案. 【详解】由题意知是定义域为的奇函数，， 故，则， 由是偶函数，得， 令，则，即； 令，则，即， 故， 故答案为：. 11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值. 四、解答题 12．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 13．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 14．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题. 15．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 16．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$