精品解析：河南省驻马店市2024-2025学年高二上学期青桐鸣开学联考数学试题

2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式得M，根据交集的概念计算即可. 【详解】解不等式得，即， 所以. 故选：C 2. 已知为虚数单位，，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据除法运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断. 【详解】因为，则， 所以的共轭复数. 故选：A. 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 4. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 所以，即. 故选：C. 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面，面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可. 【详解】对于A，若，则直线可能平行，异面，相交，故A错误； 对于B，若，则直线可能平行，异面，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行或相交，故C错误； 对于D，若，又，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以该矩形周长的最小值为16. 故选：D. 7. 已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知为偶函数，由对称性可知的唯一零点为0，解得，并代入检验. 【详解】因为的定义域为，且，可知为偶函数， 若函数在上有且仅有1个零点，由对称性可知的唯一零点为0，则，解得； 若，则， 因，即，当且仅当时，等号成立， 且，即，当且仅当时，等号成立， 可知，当且仅当时，等号成立， 所以有且仅有一个零点0，符合题意； 综上所述：. 故选：A. 8. 记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】因为，且， 则，即， 可得， 因为，则， 即，可得， 所以的取值范围为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 与的最小正周期相同 B. 与有相同的最大值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 曲线与在上有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由的周期可得的周期，根据周期公式求出的周期，并判断；对B，求出与的最大值判断；对C，根据图象求出与的对称轴判断；对D，根据图象可判断. 【详解】对于A，因为的周期为，所以的最小正周期为，又函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，的最大值为1，的最大值为1，故B正确； 对于C，的对称轴为，， 令，解得，，所以的对称轴为，， 所以与的对称轴不同，故C错误； 对于D，如图作出与的图象，与在上有4个交点，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 不可能为互斥事件 C. 若，则事件相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相互独立事件性质可判断A；根据互斥事件的概率加法公式进行判断B；根据相互独立事件性质可判断C；根据相互独立事件性质及概率的加法公式可判断D. 【详解】对于A，若，则事件相互独立，无法确定，故A错误； 对于B，若为互斥事件，则， 所以，故不可能为互斥事件，故B正确； 对于C，若，所以事件相互独立，故C正确； 对于D，若，互相独立，则相互独立， 所以.故D错误. 故选：BC. 11. 已知圆台的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台的体积为 C. 该圆台的外接球的表面积为 D. 挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据圆台的结构特征求高；对于B：根据圆台的体积公式运算求解；对于C：根据台体的结构特征求外接球的半径，即可得表面积；对于D：根据题意分析剩余几何体的表面构成，进而求表面积. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：，则， 对于选项A：该圆台的高为，故A错误； 对于选项B：圆台的体积为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：外接球的球心，设外接球的半径为， 因为，即，解得， 所以该圆台的外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：剩余的几何体的表面有：上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面， 所以剩余的几何体的表面积为，故D正确； 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合齐次化问题可得，再利用倍角公式运算求解. 【详解】因为，解得， 所以. 故答案为：. 13. 设的三个内角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可. 【详解】由余弦定理知， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则__________. 【答案】30 【解析】 【分析】根据幂函数性质可得，再结合对数函数性质分析求解. 【详解】因为，则， 可得，即， 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内最小值为， 所以； 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内的最大值为， 所以. 故答案为：30. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用两角差的正切公式求解可得； （2）利用两角和的余弦公式与二倍角公式展开化简，可得有关正余弦的齐次比式的形式，再上下同除化弦为切代入可求. 【小问1详解】 ，且， . 的值为. 【小问2详解】 . 故的值为. 16. 某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数，中位数；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下： （1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数，中位数；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况. （2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在和内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率. 【答案】（1），；乙镇种植的新品种玉米更稳定； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数，再根据定义运算判断两镇玉米品种谁更稳定； （2）根据分层随机抽样确定抽取的6亩构成，利用古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 根据题意，， ， 因为，， 所以乙镇种植的新品种玉米谁更稳定. 【小问2详解】 由频率分布直方图，亩产量在的有10亩，亩产量在的有5亩， 所以样本中共抽取的6亩有亩在，有2亩在， 设在的4亩为，，，，在的2亩为， 则从这6亩中随机抽取2亩的情况有： 所以抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，，，侧面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理先证，取中点E，由面面垂直得，结合线面垂直的判定得平面，从而证明得出，最后利用线面平行的判定证明即可； （2）利用线面角定义得出，再根据锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，即，所以， 如图所示，取中点E，连接， 因，所以， 又侧面平面，侧面平面，侧面， 所以底面， 而底面，所以， 因为，，平面， 所以平面, 因为平面，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由上知底面，且， 则直线与平面所成角为， 即， ， 故三棱锥的体积为. 18. 已知函数的图象的对称中心为. （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减； （3）若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称性的性质有，待定系数计算即可； （2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可； （3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出单调递减，计算其值域即可. 【小问1详解】 根据题意有， 整理得， 即， 所以， 经检验，符合题意； 【小问2详解】 由上知，令， 不妨设令， 则， 易知， 又，所以， 则，即， 则在定义域上单调递减，证毕； 【小问3详解】 方程上有解， 即两个函数与有交点， 令，设，则时，， 则，显然时，该函数单调递减， 而单调递增， 根据复合函数的单调性知在时单调递减， 结合（2）的结论有单调递减， 所以，而接近0时，y接近正无穷， 所以，即实数的取值范围为. 19. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、三角形内角和及正弦定理化简条件等式为，根据正弦的和差公式化简得即可； （2）先根据角的关系求出，作三角形的高，利用锐角三角函数解三角形即可求面积； （3）利用正弦的和角公式及正弦定理化简，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 易知， 整理得， 即， 所以， 因为， 所以，即, 所以，证毕； 【小问2详解】 由（1）知，则， 如图所示作，垂足为D， 由题意知， 根据勾股定理有，且， 所以，故； 【小问3详解】 由（1）知 ， 根据正弦定理知： 又为锐角三角形，即， 则, 所以，当且仅当， 即时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A B. C. D. 4. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 6. 已知长为､宽为矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 与的最小正周期相同 B. 与有相同的最大值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 曲线与在上有4个交点 10. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 不可能互斥事件 C. 若，则事件相互独立 D. 若相互独立，则 11. 已知圆台的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（ ） A. 该圆台的高为 B. 该圆台的体积为 C. 该圆台的外接球的表面积为 D. 挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 设的三个内角的对边分别为，已知，则__________. 14. 已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数，中位数；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下： （1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数，中位数；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况. （2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在和内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率. 17. 如图，在四棱锥中，，，侧面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积. 18. 已知函数的图象的对称中心为. （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减； （3）若方程在上有解，求实数的取值范围. 19. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$