12.3 角的平分线的性质-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

12. 3　 角的平分线的性质 一、置疑导入(一) 　 　 如图是小勋制作的风筝,他根据 AB = AD,BC=DC,不用度量就知道 AC 是∠DAB 的平分线,你知道其中的道理吗? 【教学与建议】 教学:以风筝为例导入,充分调动学生的学习兴趣. 建议:引导学生利用三角形“SSS”判定全等,得到 AC 是∠DAB 的平分线. 二、置疑导入(二) 　 　 用折纸的方法作角平分线时,将∠AOB 对折,再 折成直角三角形,然后展开(如图所示),观察两个 直角三角形全等吗? 两条直角边 PD,PE 与该角的 两边有什么关系? 你能归纳角平分线的性质吗? 你 能证明这个性质吗? 请用数学符号描述 此性质. 【教学与建议】 教学:动手折纸使学生从实践中发现角平分线的作 图方法及性质. 建议:运用教具(或动画)直观地进行讲述,提出探 究的问题. 三、类比导入 (1)角的平分线的性质定理是角的平分线上的点到 角的两边的距离相等. (2)我们学过很多定理,比如平行线的性质定理和 判定定理,它们的题设和结论是互换的,你能说出将 角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命 题吗? (3)你觉得这个新命题正确吗? 这节课我们将学习 角的平分线的判定. 【教学与建议】 教学:通过对已知定理转化命题的题设和结论的方 式,得到新命题,是探索新知识的一种重要手段. 建议:类比性质定理得到判定定理,以知识为载体感 受逆向思维与类比思想的重要意义. 命题角度 1　 角的平分线的作图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】根据题目要求,利用尺规作图的方法作一 个角的平分线,其依据是全等三角形的判定方法 “SSS”. 1. 如图,铁路 OA 和铁路 OB 交于 O 处,河道 AB 与铁路分别交于 A 处和 B 处,试在河岸 上建一座水厂 M,要求 M 到铁路 OA,OB 的距离相等,则该水厂 M 应建在图中什么位置? 请 在图中标出 M 点的位置. 解:作∠AOB 的平分线交 AB 于点 M,即 M 处为水厂 的位置. 命题角度 2　 利用角平分线的性质解决有关问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】利用角的平分线的性质解决问题的关键: 寻找角的平分线上的一点到角两边的垂线段,利用角 平分线的性质计算线段长度或面积. 2. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C= 90°,DE⊥AB 于点 E,BD=DF,求证:CF=EB. 证明:∵ AD 平分∠BAC,∠C= 90°,DE⊥AB, ∴ DE=DC. 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中, ∵ DF=DB,DC=DE, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL) . ∴ CF=EB. 命题角度 3　 利用角的平分线的判定解决有关问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】题目中如果要证明一条射线是角平分线, 要根据该线上任意一点到角两边的距离相等来证明, 也可以利用角平分线的定义来解决. 3. 如图,已知 DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C, 且 DB = DC, ∠BAC = 40°, ∠ADG= 130°,则∠DGF= 　 150°　 . 一、教学目标 1. 让学生学会用尺规作一个已知角的平分线. 2. 探索并证明角平分线的性质. 3. 掌握角的平分线的判定定理. 二、教学重难点 重点:1. 掌握角平分线的性质. 2. 角的平分线的判定. 难点:1. 灵活运用角平分线的性质解决问题. 2. 角的平分线的性质与判定定理的灵活运用. 一、问题导入 如图是一个平分角的仪器,其中 AB = AD,BC = DC. 将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角的两边放下, 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是这个角的平分线. 你 71 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 能说明它的道理吗? 二、探究新知 问题 1　 已知:∠AOB. 求作:∠AOB 的平分线. 解:作法: (1)以点 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于 点 M,交 OB 于点 N. (2)分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半 径画弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. (3)画射线 OC,射线 OC 即为所求. 问题 2　 如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB 的 平分线 OC. 在 OC 上任取一点 P,过点 P 画出 OA, OB 的垂线,分别记垂足为 D,E,测量 PD,PE 并作比 较,你得到什么结论? 在 OC 上再取几个点试一试. 通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质? 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知:如上图,∠AOC = ∠BOC,点 P 在 OC 上,PD⊥ OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E. 求证 PD=PE. 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°. 在△PDO 和△PEO 中, ∠PDO= ∠PEO, ∠AOC= ∠BOC, OP=OP, ì î í ïï ïï ∴ △PDO≌△PEO(AAS) . ∴ PD=PE. 【知识归纳】 1. 作已知角的平分线的方法有很多,主要有折叠法 和尺规作图法. 2. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3. 一般情况下,证明一个几何命题时,可以按照以下 的步骤进行: (1)明确命题中的已知和求证; (2)根据题意,画出图形,并用符号表示已知和 求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途 径,写出证明过程. 问题 3　 如图,要在 S 区建一个集贸市场,使它到公 路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处 500 m,这个集贸市场应建于何处? (在图上标出它 的位置,比例尺为 1 ∶20 000) 解:如图所示: 设距离交点 O xm,则: x 500 = 1 20 000 ,解得 x = 0. 025, 0. 025m = 2. 5cm,OP= 2. 5cm. 点 P 即为所求. 【知识归纳】 角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上. 三、例题精讲 1. 如图,△ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P,求 证:点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. 证明:过点 P 作 PD,PE,PF 分别垂直于 AB,BC, CA. 垂足分别为 D,E,F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线,点 P 在 BM 上, ∴ PD=PE. 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. 【知识归纳】 三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角 形三边的距离相等. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 角平分线的性质及应用. 2. 角平分线的判定及运用. 反思:学会运用角平分线的性质和判定解决几何证 明、计算与实际问题. 81