5.3 实际问题与一元一次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 5. 3　 实际问题与一元一次方程 第 1 课时　 配套问题和工程问题 一、情境导入 　 　 前面我们学习了一元一次方程的解法,本节课, 我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中,有很多需 要进行配套的问题,如课桌和凳子、螺钉和螺母、电 扇叶片和电机等,大家还能举出一些生活中配套问 题的例子吗? 　 　 　 　 【说明与建议】 说明:通过这一情境的导入,让学生认识到配套问题 无处不在,以及学会解决这样的问题的重要性. 建议:让学生例举日常生活中配套问题,并讨论它们 是如何配套的. 二、悬念导入 　 　 某市内要修一条公路,公路大约长 160 km. 有 两个工程队找到了局长,甲工程队说:“包给我们,保 证 30 天完成. ”乙工程队说:“包给我们,保证 20 天 就完成. ”如果你是局长,会怎么办呢? 【说明与建议】 说明:展示工程问题,明确本课学习的列一元一次方 程解应用题的方法技巧,调动学生的学习热情. 建议:小组内讨论说出自己的见解. 三、复习导入 回答下列问题 (1)列一元一次方程解应用题的步骤有哪些? (2)列方程解应用题的关键是什么? 【说明与建议】 说明:经过前两节课的学习,学生对列一元一次方程 解决实际问题的步骤和方法有了基本了解并积累了 一定的经验和方法,经过回顾为本课的学习做好 铺垫. 建议:小组内同学互相检查,特别注意每步的注意 事项. 命题角度 1　 配套问题 1. 某校某社团 28 名学生制作长方体礼品盒,每人每小 时可做 60 个侧面或 90 个底面,一个礼品盒要一个侧 面和两个底面组成,为了使每小时制作的成品刚好配 套,应该分配多少名学生做侧面,多少名学生做底面? 设分配 x 名学生做侧面,则可列方程为(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 60x= 2×90(28-x) B. 60x= 90(28-x) C. 90x= 60(28-x) D. 2×60x= 90(28-x) 命题角度 2　 工程问题 2. 一项工程,甲队单独完成需要 20 天,乙队单独完成需 要 30 天. 若先由甲队单独做 5 天,剩下的部分由甲、 乙两队合作完成,则还需要的天数是(　 A　 ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 一、教学目标 1. 熟练掌握利用一元一次方程解决产品配套问题和 工程问题的方法,抓住解决这两类问题的关键. 2. 熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路. 二、教学重难点 重点:列方程解决实际问题. 难点:根据题意找等量关系. 一、探究新知 问题 　 某车间有 22 名工人,每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母,1 个螺栓需要配 2 个 螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排 生产螺栓和螺母的工人各多少名? 分析:每天生产的螺母数量是螺栓数量的 2 倍时,它 们刚好配套. 解:设应安排 x 名工人生产螺栓,(22-x)名工人生 产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍,列 得方程 2 000(22-x)= 2×1 200x. 解方程,得 x= 10. 进而 22-x= 12. 答:应安排 10 名工人生产螺栓,12 名工人生产 螺母. 【知识归纳】 1. 配套问题关键是明确题目中的数量关系,根据数 量关系列出方程. 2. 工程问题常把总工作量看作 1,再利用“工作量 = 人均效率×人数×时间”的关系列出方程. 3. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程包括: (1)审清题意,找等量关系;(2)设未知数,一般设 所求的量为未知数;(3)列方程;(4)解方程;(5) 检验、作答. 64 二、例题精讲 1. 整理一批图书,由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计 划由一部分人先整理 4 h,然后增加 2 人与他们一 起整理 8 h,完成这项工作. 假设这些人的工作效 率相同,应先安排多少人进行整理? 分析:如果把总工作量设为 1,则人均效率(一个 人 1 h 完成的工作量)为 1 40 ,x 人先整理 4 h 完成 的工作量为 4x 40 ,增加 2 人后再整理 8 h 完成的工 作量为 8(x+2) 40 ,这两个工作量之和应等于总工 作量. 解:设先安排 x 人整理 4 h. 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作 量,列得方程4x 40 +8(x+2) 40 = 1. 解方程,得 x= 2. 答:应先安排 2 人进行整理. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 利用一元一次方程解决产品配套问题. 2. 利用一元一次方程解决工程问题. 反思:通过开放性问题的设计,培养学生创新能力和 自我挑战意识,增强学生的学习兴趣. 第 2 课时　 销售与利润问题 一、情境导入 　 　 同学们,请帮我解决一个问题. 一批服装的进价是每件 100 元,按成本价提高了 70%后销售,后来,又按标价的六折进行销售. 请你 帮老师计算一下,这批服装在打完折后还能赚到 钱吗? 【说明与建议】 说明:通过帮老师解决问题激发学生的学习兴趣,调 动学生的学习积极性. 建议:小组内讨论后列出方程. 二、复习导入 与销售有关的几个概念: 1. 进价:购进商品时的价格(有时也叫成本价) . 2. 售价:在销售商品时的售出价(有时也叫成交价, 卖出价) . 3. 标价:在销售时的标出价(有时称原价,定价) . 4. 利润:在销售商品的过程中的纯收入,在教材中规 定:利润=售价-进价. 5. 利润率:利润占进价的百分率,即利润率 = 利润÷ 进价×100%. 6. 打折:销售价占标价的百分率(如打八折,即按标 价的 80%出售) . 填空: 1. 进价 100 元的商品提价 30%后的价格为　 130　 元;提价后若打九折销售,则售价为　 117　 元;此 商品的利润为　 17　 元,利润率为　 17%　 . 2. 商 品 进 价 是 100 元, 售 价 是 60 元, 则 利 润 是　 -40　 元. 【说明与建议】 说明:复习相关概念,为新课的学习打好基础. 建议:学生独立完成问题. 通过简单的习题,使同学 们回顾销售相关概念. 命题角度 1　 利润问题 1. 炎炎夏日,某商场为让利顾客,对一批防晒衣打折销 售,已知一件防晒衣的进价为 80 元,商家以标价的八 折出售后仍可获利 20%,求这件防晒衣的标价. 解:设这件防晒衣的标价为 x 元. 根据题意得:0. 8x = 80×(1+20%),解得 x= 120. 答:这件防晒衣的标价是 120 元. 命题角度 2　 盈亏问题 2. 商店各以 400 元的价格出售了两副耳机,一副赚了 25%, 另 一 副 亏 了 20%, 那 么 商 店 的 盈 亏 情 况 是(　 C　 ) A. 亏 80 元　 　 　 　 　 B. 赚 20 元 C. 亏 20 元 D. 不亏不赚 一、教学目标 1. 熟练掌握利用一元一次方程解决销售和利润问题 的方法,抓住解决这类问题的关键. 2. 熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路. 二、教学重难点 重点:列方程解决实际问题. 难点:找等量关系列方程. 74 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 一、探究新知 一商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服,其中一件 盈利 25%,另一件亏损 25%. 卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损,或者是不盈不亏? (1)如何判定是盈利还是亏损? (2)盈利、亏损时商品的利润是多少? (3) 哪些是已知量? 哪些是未知量? 如何设未知 数? 等量关系是什么? 如何列方程? 解:(1)总进价大于总售价就亏损,反之就盈利. (2)假设一件商品的进价是 40 元,如果卖出后 盈利 25%,那么商品利润是 40×25%元;如果卖 出后亏损 25%,商品利润是 40×( -25%)元. (3)本问题中,设盈利 25%的那件衣服的进价是 x 元,它的商品利润就是 0. 25x 元. 根据进价与利润的和等于售价,列出方程 x+0. 25x= 60. 解得 x= 48. 类似地,可以设另一件衣服的进价为 y 元,它的 商品利润是-0. 25y 元,列出方程 y-0. 25y= 60. 解得 y= 80. 两件衣服的总进价是 x+y = 128(元),而两件衣 服的总售价是 60+60 = 120(元),总进价大于总 售价,由此可知卖这两件衣服总共亏损 8 元. 【知识归纳】 产品销售和利润问题中的关系式: (1)利润=售价-进价; (2)利润率=利润 进价 ×100%; (3)打 x 折后的售价=标价× x 10 . 二、试题精讲 1. 甲、乙两种商品的单价之和为 100 元,因为季节变 化,甲商品降价 10%,乙商品提价 5%,调价后, 甲、乙两商品的单价之和比原来的单价之和提高 了 2%,甲、乙两种商品原来的单价各是多少元? 解:设甲商品原来的单价为 x 元,则乙商品原来的 单价为(100-x)元. 依题意,得(1-10%) x+(1 +5%)(100-x) = 100(1+2%) . 解得 x = 20. 则 100-x= 80. 答:甲商品原来的单价为 20 元,乙 商品原来的单价为 80 元. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:利用利润、利润率、进价之间的关系解决实际 问题. 反思:通过合作探究实际问题,让学生去探索解决方 案,培养学生分析问题和用方程去解决实际问 题的能力. 第 3 课时　 积分问题 置疑导入 　 　 你喜欢看世界杯足球比赛吗? 下面是截至 6 月 17 日世界杯足球赛世预赛 2026 的 A 组的积分. 世界杯足球比赛积分榜 队名 比赛场次 胜场 负场 平场 积分 卡塔尔 6 5 0 1 16 科威特 6 2 3 1 7 印度 6 1 3 2 5 阿富汗 6 1 3 2 5 你对世界杯足球比赛的积分规则有理解吗? 【说明与建议】 说明:通过展示引人注目的世界杯足球赛和积分榜,激 发学生的兴趣,从分析表格中体会里面蕴含的数学 道理. 建议:让学生分析表格中的数据,理解其中各个数据的 含义,为下面的新课讲解做好铺垫. 命题角度　 积分问题 一次足球比赛,每队均赛 15 场,胜一场记 2 分,平一场 记 1 分,负一场记 0 分,某队所胜场数是所负场数的 2 倍,得了 19 分,则负的场数为(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 一、教学目标 1. 利用一元一次方程解决生活中的积分问题. 2. 将实际问题转化为数学问题,通过列方程解决 问题. 3. 了解分类讨论思想. 84 二、教学重难点 重点:用方程解决生活中的积分问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,利用一元一次方 程做决策. 一、探究新知 问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)胜一场和负一场各积多少分? (2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数 之间的数量关系. (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 分析:观察积分表,从最下面一行数据可以看出:负 一场积 1 分. 解:(1)设胜一场积 x 分,从表中其他任何一行可以 列方程,求出 x 的值. 例如,从第一行得方程 10x +1×4 = 24. 解得 x = 2. 用表中其他行可以验证, 得出结论:负一场积 1 分,胜一场积 2 分. (2)若一支球队胜 m 场,则负(14-m)场,胜场积 分为 2m,负场积分为 14-m,总积分为 2m+(14- m)= m+14; (3)设一支球队胜了 y 场,则负了(14-y)场. 若 这支球队的胜场总积分等于负场总积分,则得方 程 2y= 14-y. 解得 y= 14 3 . 因为 y(所胜的场数)的 值必须是整数,所以 y= 14 3 不符合实际,由此可以 判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总 积分. 【知识归纳】 (1)比赛总场数=胜场数+负场数+平场数. (2)比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分. 二、试题精讲 1. 某学校七年级共有 8 个班进行篮球比赛,规定进 行单循环赛(每两班赛一场),每一场篮球比赛的 积分规则为:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一 场得 0 分,某班级得了 15 分,且没有负场,那么此 班级共进行了多少场比赛? 胜了多少场? 解:由题可知,此班级共进行了 7 场比赛,设此班 级胜了 x 场,则平了(7-x)场. 所以 3x+7-x= 15,解得 x = 4,所以此班级共进 行了 7 场比赛,胜了 4 场. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:利用一元一次方程解决积分问题. 反思:通过解决各类实际问题,培养学生建模能力, 提高分析问题、解决问题的能力. 第 4 课时　 选择方案问题 置疑导入 问题 1　 用一元一次方程解应用题的一般步骤是什么? 问题 2　 某校计划添置 20 张办公桌和一批椅子(椅子 不少于 20 把),现在从 A、B 两家家具公司了解到:同一 款式的产品价格相同,办公桌每张 210 元,椅子每把 70 元. A 公司的优惠政策为:每买一张办公桌赠送一把椅 子;B 公司的优惠政策为:办公桌和椅子都实行 8 折 优惠. (1)若到 A 公司买办公桌的同时买 m(m>20)把椅 子,则应付款多少元? (2)若规定只能购买桌椅,在什么情况下到两家公 司购买付款一样多? 【说明与建议】 说明:通过复习列一元一次方程解应用题的一般步骤, 引出选择方案问题,为导入新课做好准备. 建议:充分发挥学生的主动性,注重训练学生的合作交 流意识,教师适时提出问题,引入新课. 命题角度　 方案选择问题 1. 某中学全体教师集体出去参观考察,出发前去购买饮 用水. 学校附近有两家超市同一款矿泉水的单价均为 94 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 1. 5 元,但优惠策略不同,A 超市:一律打九折优惠;B 超市:买 5 瓶赠送一瓶,如果需要购买 120 瓶矿泉水. 去哪家超市比较便宜? 解:A 超市:120×1. 5×0. 9 = 162(元),B 超市:设共买 x 瓶水,则赠送 x 5 瓶水,由题意可知:x+ x 5 = 120,解 得 x= 100,100×1. 5 = 150(元),因为 162>150,故 B 超市比较便宜. 一、教学目标 1. 利用一元一次方程解决生活中的选择方案问题. 2. 将实际问题转化为数学问题,通过列方程解决 问题. 3. 了解分类讨论思想. 二、教学重难点 重点:用方程解决生活中的选择方案问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,利用一元一次方 程做决策. 一、探究新知 问题　 不同能效空调的综合费用比较 　 　 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情 况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台,如 表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0. 5 元 / (kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合 费用较低. 匹数 能效 等级 售价 / 元 平均每年耗 电量 / (kW·h) 1. 5 1 级 3 000 640 1. 5 3 级 2 600 800 分析:在这个问题中,综合费用=空调的售价+电费. 选定一种空调后,售价是确定的,电费则与使用的时 间有关. 解:设空调的使用年数是 t,则 1 级能效空调的综合 费用(单位:元) 是 3 000 + 0. 5 × 640t,即 3 000 +320t. 3 级能效空调的综合费用(单位:元) 是 2 600 + 0. 5×800t,即 2 600+400t. 先来看 t 取什么值时,两款空调的综合费用相 等,列方程 3 000+320t= 2 600+400t,解得 t= 5. 为了比较两款空调的综合费用,我们把表示 3 级 能效空调的综合费用的式子 2 600+400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式子的和, 即(3 000+320t) +(80t-400),也就是 3 000+320t +80( t-5) . 这样,当 t<5 时,80( t-5)是负数,这表明 3 级能 效空调的综合费用较低;当 t>5 时,80( t-5)是正 数,这表明 1 级能效空调的综合费用较低. 由此可见,同样是 1. 5 匹的空调,1 级能效空调 虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过 5 年)时综合费用反而低. 根据相关行业标准,空 调的安全使用年限是 10 年(从生产日期计起), 因此购买、使用 1 级能效空调更划算. 【知识归纳】 解决方案决策问题的一般方法: (1)将题目中变化的一个量设为未知数 x,并用含 x 的代数式表示其他相关的量; (2)列方程求出特殊情况下未知数的值; (3)研究在特殊情况之外的未知数的值产生的结 果,并比较这些结果决定最优方案. 二、试题精讲 1. 为落实“五育并举”,全面发展素质教育,我校为 学生量身定制了“趣味运动会”活动. 为此,某班 级准备购买 5 副球拍和若干盒(不少于 5 盒)的羽 毛球,现去市场进行调研,得到的情况如下:甲、乙 两家商店出售两种同样品牌的羽毛球和羽毛球 拍,羽毛球拍每副定价 30 元,羽毛球每盒定价 5 元,经洽谈后,甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球, 乙店全部按定价的 9 折优惠. 问: (1)若购买的羽毛球为 x 盒,则在甲家商店购买这 些羽毛球和羽毛球拍时应该支付的费用为 　 　 　 　 元,则在乙家商店购买这些羽毛球和羽 毛球拍时应该支付的费用为 　 　 　 　 元(用含 x 的代数式表示,要求写出化简后的结果); (2)该校在哪个商店购买比较节省费用? 解:(1)(5x+125)　 (4. 5x+135) (2)当在甲、乙商店购买所需费用一样,则得 方程 5x+125 = 4. 5x+135,解得 x= 20. 5x+125 = 4. 5x+135+0. 5x-10 = 4. 5x+135+0. 5 (x-20),当 x<20 时,x-20 是负数,这表明在 甲商店购买所需费用较低;当 x> 20 时,x- 20 是负数,这表明在乙商店购买所需费用较低. 当 x= 20 时,在甲、乙商店购买所需费用一样. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:利用一元一次方程解决选择方案问题. 反思:通过解决各类实际问题,培养学生建模能力, 提高分析问题、解决问题的能力. 05