5.1 方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 第五章　一元一次方程 5. 1　 方程 5. 1. 1　 从算式到方程 第 1 课时　 列方程 置疑导入 　 　 丢番图是古希腊数学家. 人们对他的生平事迹知道 的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安 葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历 的人生旅程. 上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二 分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚 的蜡烛,五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅 及其父之半便入黄泉,悲伤只有用数学研究去弥补,又 过四年,他也走完了人生的旅途. ———出自《希腊诗文选》 你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗? 大家讨论 一下. 我们小学也学过方程,利用所学的知识可以设他的年龄 为 x 岁,列方程为: 1 6 x+ 1 12 x+ 1 7 x+5+ 1 2 x+4 = x. 你对方程有什么认识? 列方程解决实际问题的关键是 什么? 问题 1　 含有未知数的等式叫作方程. 问题 2　 判断下列式子是不是方程,正确的打“ √”,错 误的打“ ×” . (1)1+2 = 3　 　 　 (2)x+2>1　 　 　 (3)1+2x= 4 (4)x+y= 2 (5)x2 = x+2 (6)x+3-5 (7)x= 8 【说明与建议】 说明:从古代数学趣味题入手,有效地激发了学生的学 习兴趣,唤起了他们的求知欲望. 建议:教师引导学生列方程解答. 命题角度　 列方程 1. 方方同学用 50 元钱去购买笔记本和彩色水笔共 20 件,已知每本笔记本 4 元,每支彩色水笔 2 元,设方方 同学买了 x 本笔记本,则(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x+4(20-x)= 50 B. 2(20-x) +4x= 50 C. 2x+4(50-x)= 20 D. 2(50-x) +4x= 20 2. 一个长方形的周长为 26 cm, 这个长方形的长减 少 1 cm,宽增加 2 cm,就可成为一个正方形,设长方 形的长为 x cm,则可列方程(　 B　 ) A. x-1 = (26-x) +2 B. x-1 = (13-x) +2 C. x+1 = (26-x) -2 D. x+1 = (13-x) -2 一、教学目标 1. 理解什么是方程. 2. 根据条件列方程. 二、教学重难点 重点:方程的概念. 难点:找等量关系列方程. 一、问题导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发, 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发,每小时行进 1. 2 km;乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发,每 小时行进 0. 8 km. 多长时间后,甲队在途中追上 乙队? 分析:甲、乙两队的行进速度是已知的,行进的时间和 路程是未知的,如果设两队行进的时间为 x h,根据“路 程=速度×时间”,甲队和乙队的行进路程可以分别表示 为1. 2x km 和0. 8x km.从而甲、乙两队距大本营的路程 可以分别表示为(1. 2x+1) km 和(0. 8x+3) km. 甲队追上乙队时,他们处于同一位置,此时甲队距大 本营的路程= 乙队距大本营的路程,因此 1. 2x+1 = 0. 8x+3. 这样,我们就根据实际问题中的相等关系,得到了一 个含有未知数 x 的等式. 通过本章的学习,我们将能 够从这个含有未知数 x 的等式中解出未知数的值 x= 5,从而求出 5 h 后甲队追上乙队. 二、探究新知 问题 1 　 用买 12 个大水杯的钱,可以买 16 个小水 杯,大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元,两种水杯 的单价各是多少元? 分析:如果设大水杯的单价为 x 元,那么小水杯的单 价为(x-5)元,因为用买 12 个大水杯的钱,可以买 16 个小水杯,所以 12x= 16(x-5) . 由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单 价,进而可以求出小水杯的单价. 问题 2　 一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周 年纪念币,其面积是 4000 mm2,长和宽的比为 8 ∶5 63 (即宽是长的 5 8 ) . 这枚纪念币的长和宽分别是多少 毫米? 分析:如果设这枚纪念币的长为 x mm,则纪念币的 宽可以表示为 5 8 x mm,面积可以表示为 5 8 x2 mm2 . 已 知纪念币的面积为 4 000 mm2,所以 5 8 x2 = 4 000. 由这个含有未知数 x 的等式可以求出这枚纪念币的 长,进而可以求出纪念币的宽. 【知识归纳】 (1)含有未知数的等式叫作方程. (2)根据实际问题列方程的步骤:先设字母表示未 知数(通常用 x,y,z 等字母表示未知数,在实际问题 中,设未知数有两种方法,一种是直接设,即问什么 设什么,另一种是间接设) . 再根据问题中的相等关 系写出含有未知数的等式,便得到方程. 三、例题精讲 1. 根据下列问题,设未知数并列出方程: (1)某校女生占全体学生数的 52%,比男生多 80 人,这所学校有多少名学生? (2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m, 扩大后的绿地面积是 500 m2,求正方形绿地的 边长. 解:(1)设这所学校的学生数为 x,那么女生数为 0. 52x,男生数为(1-0. 52)x. 根据“女生比男生 多 80 人”,列得方程 0. 52x-(1-0. 52)x= 80. (2)设正方形绿地的边长为 x m,那么扩大后 的绿地面积为(x2 +5x) m2 . 根据“扩大后的绿 地面积是 500 m2” . 列得方程 x2 +5x= 500. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 方程的概念. 2. 体会方程在实际生活中的应用. 反思:通过经历“方程”这一数学概念的形成与应用 过程,感受到“问题情境———分析讨论———建 立模型———解释应用———转换拓展”的模式, 从而更好地理解“方程” 的意义. 结合例题培 养学生观察、 类比的能力和渗透数形结合 思想. 第 2 课时　 一元一次方程 复习导入 根据下列问题,设未知数并列出方程. 1. x 的 5 倍比 x 的 2 倍大 12. 2. 某数的 2 3 比它的倒数小 5. 3. x 的 20%与 15 的差的一半等于-2. 4. 有个长方形的周长为 18 厘米,且长比宽多 1 厘米,求 这个长方形的宽. 【说明与建议】 说明:通过复习列方程导入新课,为学习一元一次方程 的概念做好铺垫. 建议:通过列方程,找出共同特征,然后让学生列出更多 的一元一次方程,教师顺势引入新课. 命题角度 1　 方程的解 1. 下列方程中,解为 x= 4 的是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x-3 = -1 B. 6- x 2 = x C. 1 2 x+3 = 7 D. x -4 5 = 2x-4 2. 若 x=-1 是方程 2x+m-6=0 的解,则 m 的值是(　 D　 ) A. -4 B. 4 C. -8 D. 8 命题角度 2　 一元一次方程 3. 下列方程中,是一元一次方程的是(　 C　 ) A. 3x-y= 6 B. 7+x2 = 8 C. 6x+1 = 9 D. xy= 4 一、教学目标 1. 理解什么是一元一次方程. 2. 理解方程的解和解方程是两个不同的概念. 二、教学重难点 重点:一元一次方程与方程的解的概念. 难点:一元一次方程与方程的解的概念. 一、知识回顾 1. 什么是方程? 2. 列方程解决实际问题的关键是什么? 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 二、探究新知 问题 1　 如何求出方程中的未知数的值? 　 　 对于上一节列出的方程 1. 2x+1 = 0. 8x+3,可以 发现,当 x= 5 时,左边= 1. 2×5+1 = 7,右边= 0. 8×5+ 3 = 7,这时方程左、右两边的值相等. 【知识归纳】 (1)一般地,使方程左、右两边的值相等的未知数的 值,叫作方程的解. (2)求方程的解的过程,叫作解方程. 问题 2　 观察方程 1. 2x+1 = 0. 8x+3,12x= 16(x-5), 0. 52x-(1-0. 52)x= 80,它们有什么共同特征? 【知识归纳】 一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含 有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是 1,这 样的方程叫作一元一次方程. 三、例题精讲 1. (1)x= 2,x= 3 2 是方程 2x= 3 的解吗? (2)x= 10,x= 20 是方程 3x= 4(x-5)的解吗? 解:(1)当 x= 2 时,方程 2x= 3 的左边= 2×2 = 4,右 边= 3,方程左、右两边的值不相等,所以 x = 2 不是方程 2x= 3 的解. 当 x= 3 2 时,方程 2x= 3 的左边= 2× 3 2 = 3,右边 = 3,方程左、右两边的值相等,所以 x = 3 2 是方 程 2x= 3 的解. (2)当 x= 10 时,方程 3x = 4(x-5)的左边 = 3× 10 = 30,右边= 4×(10-5)= 20,方程左、右两边 的值不相等,所以 x= 10 不是方程 3x= 4(x-5) 的解. 当 x= 20 时,方程 3x= 4(x-5)的左边= 3×20 = 60,右边= 4×(20 - 5) = 60,方程左、右两边的 值相等,所以 x= 20 是方程 3x= 4(x-5)的解. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 方程的解. 2. 一元一次方程的定义. 反思:积极创设问题情境,引导学生更好地理解“一 元一次方程”的定义,及如何求方程的解. 5. 1. 2　 等式的性质 一、情境导入 　 　 小明和王力在玩跷跷板,当他们位于跷跷板两 端的时候,恰好处于平衡位置. 这时,李强和小丽也 来了,如果他们两人的体重相等,他们这时也分别坐 在跷跷板的两端,这时跷跷板是否仍然平衡? 【说明与建议】 说明:通过学生非常熟悉的跷跷板让学生感受等式 可以类比跷跷板,利用跷跷板可以形象直观地展现 等式的性质,还可以直观地展现方程的求解过程,从 而激发学生的求知欲. 建议:充分发挥学生的主动性,注重训练学生的合作 交流意识,通过解决问题,回顾已学过的知识,并与 新知识进行对比. 二、置疑导入 　 　 上节课我们学习了一元一次方程,但只列出了 方程,并没有求出方程的解. 其实,在小学,我们利用 逆运算能够去求形如 ax+b = c 的方程,比如 6x-3 = 5. 但对于比较复杂的方程,如x +2 4 = 2x-3 3 -2x,又该 怎么解呢? 要想求出复杂的一元一次方程的解,我 们必须要研究等式的性质. 【说明与建议】 说明:让学生感受到自己具有的知识已不能够解决 现有问题,从而激发学生的求知欲. 建议:可让学生尝试解这个复杂的方程,然后小组 讨论. 命题角度 1　 等式的性质 1. 下列变形中,不正确的是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 若 a+1 = b+1,则 a= b B. 若 ac2 = bc2,则 a= b C. 若 3a= 3b,则 a-3 = b-3 D. 若 a c = b c ,则 a= b 命题角度 2　 利用等式的性质解方程 2. 填写下列各等式变形的依据及方法: (1)若 3x+ 1 = 2,则 3x = 2 - 1,应用的是等式的性质 　 1　 ,变形的方法是　 3x+1-1 = 2-1　 . (2)若- 2x = - 6,则 x = 　 3 　 ,应用的是等式的性质 　 2　 ,变形的方法是　 -2x÷( -2)= ( -6) ÷( -2)　 . 83 一、教学目标 1. 认识并掌握等式的性质. 2. 应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x = m”的形式并检验. 二、教学重难点 重点:等式的性质. 难点:利用等式的性质解方程. 一、问题导入 小颖种了一棵树苗,开始时树苗高为 40 cm,栽种后 每周树苗长高约 5 cm,大约几周后树苗长高到 1 m? 如果设 x 周后树苗长高到 1 m,那么可以得到方程: 40+5x= 100. 你能求出 x 吗? 解:能. x= 12. 二、探究新知 　 　 像 m+n=n+m,x+2x = 3x,3×3+1 = 5×2,3x+1 = 5y 这样的式子,都是等式. 我们可以用 a = b 表示一 般的等式. 　 　 等式的两个基本事实. 等式两边可以交换. 如果 a= b,那么 b=a. 相等关系可以传递. 如果 a = b,b = c, 那么 a= c. 　 　 在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或 减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同 一个不为 0 的正数,结果仍相等. 引入负数后,这些 性质还成立吗? 你可以用一些具体的数试一试. 【知识归纳】 (1)等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或 式子),结果仍相等. 如果 a= b,那么 a±c= b±c. (2)等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同 一个不为 0 的数,结果仍相等. 如果 a= b,那么 ac= bc; 如果 a= b(c≠0),那么 a c = b c . 三、例题精讲 1. 根据等式的性质填空,并说明依据: (1)如果 2x= 5-x,那么 2x+　 　 　 = 5; (2)如果 m+2n= 5+2n,那么 m= 　 　 　 ; (3)如果 x= -4,那么　 　 　 ·x= 28; (4)如果 3m= 4n,那么 3 2 m= 　 　 　 ·n. 解:(1)2x+　 x 　 = 5;根据等式的性质 1,等式两 边加 x,结果仍相等. (2)m= 　 5　 ;根据等式的性质 1,等式两边减 2n,结果仍相等. (3) 　 -7　 ·x = 28;根据等式的性质 2,等式 两边乘-7,结果仍相等. (4) 3 2 m= 　 2　 ·n;根据等式的性质 2,等式 两边除以 2,结果仍相等. 2. 利用等式的性质解下列方程: (1)x+7 = 26; (2) -5x= 20; (3) - 1 3 x-5 = 4. 分析:要使方程 x+7 = 26 转化为 x =m(常数)的形 式,需去掉方程左边的 7,利用等式的性质 1,方程 两边减 7 就得出 x 的值. 类似地,利用等式的性 质,可以将另外两个方程转化为 x=m 的形式. 解:(1)方程两边减 7,得 x+ 7 - 7 = 26 - 7. 于是 x = 19. (2)方程两边除以-5,得 -5x -5 = 20 -5 . 于是 x= -4. (3)方程两边加 5,得- 1 3 x-5+5 = 4+5. 化简, 得- 1 3 x= 9. 方程两边乘-3,得 x= -27. 　 　 一般地,从方程解出未知数的值以后,通常需要 代入原方程检验,看这个值能否使方程左、右两边的 值相等. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 等式的性质. 2. 利用等式的性质解方程并检验. 反思:积极创设问题情境,引导学生运用已有经验、 知识、方法去探索与发现等式的性质,让学生 学到获取知识的思想和方法,为学生今后获取 知识以及探索和发现打下基础. 93