第09讲 正比例函数（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09讲 正比例函数（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点2．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点3．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点4．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 题型强化 题型一．正比例函数的定义 1．（2023秋•杨浦区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有　　 A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 2．（2022秋•青浦区校级期中）已知是正比例函数，则　　． 3．（2022秋•普陀区校级期中）若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 　 　关系． 题型二．正比例函数的图象 4．正比例函数的图象是经过原点的一条　　 A．射线 B．双曲线 C．线段 D．直线 5．正比例函数的图象特点：正比例函数的图象是一条 　　的直线． 6．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象 （1） （2） （3） （4）． 题型三．正比例函数的性质 7．在中，随的增大而减小，，则在同一坐标系中，，的图象大致为　　 A． B． C． D． 8．（2024•虹口区三模）若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是　　． 9．函数是正比例函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．过点的正比例函数解析式是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 　　． 12．（嘉定区期末）正比例函数的图象经过点、，求这个函数的解析式和的值． 分层练习 一、单选题 1．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．点、点在正比例函数的图像上，当时，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 3．下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（　　） A．＜ B．＝ C．＞ D．无法确定 6．下面问题中，两个变量成正比例关系的是（    ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．长方形的长确定，它的面积与宽 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．等边三角形的面积和它的长 二、填空题 7．正比例函数的图像经过第 象限． 8．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ； 9．已知点在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为 ． 10．如果函数y＝（m﹣1）是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值 ． 11．正比例函数的图像经过第 象限． 12．已知是的正比例函数，则 ． 13．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 14．已知函数，当 ．时，这个函数为正比例函数． 15．已知正比例函数的图像过点（3，2），（a，6），则a的值＝ ． 16．已知直线（k≠0）,当直线与x轴正半轴夹角为30º时，直线解析式是 17．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k= ． 18．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 三、解答题 19．正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值． 20．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 21．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 22．已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 23．如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 24．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    25．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当时，与之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 26．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 27．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 正比例函数（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点2．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点3．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点4．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 题型强化 题型一．正比例函数的定义 1．（2023秋•杨浦区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有　　 A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意； 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 2．（2022秋•青浦区校级期中）已知是正比例函数，则　　． 【分析】根据正比例函数的次数是1，系数不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 3．（2022秋•普陀区校级期中）若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 　反比例　关系． 【分析】根据正比例函数与反比例函数的定义进行解答即可． 【解答】解：与成正比例关系， ； 与成 反比例关系， 故答案为：反比例． 【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的关系，熟练掌握函数的比例关系式解答本题的关键． 题型二．正比例函数的图象 4．正比例函数的图象是经过原点的一条　　 A．射线 B．双曲线 C．线段 D．直线 【分析】正比例函数的图象是一条过原点的直线，由此可得出答案． 【解答】解：由正比例函数图象的特点可得：正比例函数的图象是一条过原点的直线． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的图象的特点，属于基础题，注意掌握正比例函数的图象是一条过原点的直线． 5．正比例函数的图象特点：正比例函数的图象是一条 　经过原点　的直线． 【分析】根据正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线， 故答案为：经过原点． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟记正比例函数的性质是解决问题的关键． 6．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象 （1） （2） （3） （4）． 【分析】根据正比例函数图象的性质可得出它们所经过的两点：原点和，画图象即可． 【解答】解：如图： （1）图象过和； （2）图象过和； （3）图象过和； （4）图象过和． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正比例函数的图象一定过，． 题型三．正比例函数的性质 7．在中，随的增大而减小，，则在同一坐标系中，，的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据正比例函数的性质判断出的符号，即可根据判断的符号，再根据正比例函数的性质判断即可． 【解答】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键． 8．（2024•虹口区三模）若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是　　． 【分析】先根据在正比例函数中，的值随着值的增大而增大得出，求出的取值范围即可． 【解答】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 9．函数是正比例函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到关于的等式，然后求得值即可； （2）代入求得的值即可． 【解答】解：（1）该函数是正比例函数， ， 解得：； （2）当时，该函数的解析式为：， 当时，， 解得：． 【点评】考查了正比例函数的定义及正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的一般形式，难度不大． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．过点的正比例函数解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】正比例函数的一般形式是：，根据待定系数法即可求解． 【解答】解：设正比例函数解析式是， 把点代入函数得， 解得：． 故过点的正比例函数解析式是． 故选：． 【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数的值即可求出函数的解析式． 11．（2023秋•黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 　　． 【分析】设，然后把已知的一组对应值代入求出即可． 【解答】解：设， 把，代入得， 解得， 所以与的函数关系式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：求正比例函数，则需要一组，的值． 12．（嘉定区期末）正比例函数的图象经过点、，求这个函数的解析式和的值． 【分析】设正比例函数解析式为，再把点代入即可求出的值，进而得出正比例函数的解析式，把点代入正比例函数的解析式，求出的值即可． 【解答】解：设正比例函数解析式为 正比例函数的图象经过点 ，即 正比例函数解析式为 正比例函数的图象经过点 ，即． 【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 分层练习 一、单选题 1．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义知，且，由此可求得m的值，从而可知正比例函数图象所经过的象限． 【详解】由题意知：且 由得： 由得： ∴m=-1 此时正比例函数解析式为y=－2x ∵－2<0 ∴函数图象经过第二、四象限 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的概念，把形如y=kx（k≠0）的函数称为正比例函数，掌握正比例函数概念是解题关键．特别注意一次项系数不为零． 2．点、点在正比例函数的图像上，当时，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据函数增减性即可求解． 【详解】∵正比例函数中y随x增大而减小 ∴当时， 故选B． 【点睛】此题主要考查正比例函数函数值的比较，解题的关键是熟知函数增减性的运用． 3．下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【点睛】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 4．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（　　） A．＜ B．＝ C．＞ D．无法确定 【答案】A 【分析】利用待定系数法求得k=-2＜0，则该正比例函数经过第二、四象限，且y随x的增大而减小，据此可以比较与的大小． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，-4）， ∴k==-2．则k＜0， ∴正比例函数y=-2x的图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小． 又∵1＞-1， ∴＜． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特点．熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 6．下面问题中，两个变量成正比例关系的是（    ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．长方形的长确定，它的面积与宽 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．等边三角形的面积和它的长 【答案】B 【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可． 【详解】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意； B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意； C、长方形的长确定，它的周长等于2倍长加2倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意； D、设等边三角形的边长为，则面积，不是正比例关系，选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的关键，形如的函数为正比例函数． 二、填空题 7．正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】直接根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】∵正比例函数中， ， ∴此函数的图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，函数图象经过二、四象限是解答此题的关键． 8．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限．据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴． 故答案为：． 9．已知点在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】正比例函数解析式为，把点代入计算出的值，即可求解函数的解析式． 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上，设正比例函数解析式为， ∴，则， ∴这个函数的解析式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数解正比例函数，掌握正比例函数是解题的关键． 10．如果函数y＝（m﹣1）是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义可得，根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义可得，解得 y的值随x的值的增大而增大，可得即 所以 故答案为 【点睛】此题考查了正比例函数的定义以及性质，解题的关键是掌握正比例函数的定义以及性质． 11．正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过一、三象限． 【详解】解：由题意可知函数的图象过一、三象限． 故答案为一、三． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，根据函数式判断出函数图象的位置是解题的关键． 12．已知是的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义可得，，从而可得答案． 【详解】解：由正比例函数的定义可得：，， 则． 故答案为：． 13．若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知函数，当 ．时，这个函数为正比例函数． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意得 且， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数． 15．已知正比例函数的图像过点（3，2），（a，6），则a的值＝ ． 【答案】9 【分析】先根据点（3，2）坐标求出正比例函数解析式，再把点（a，6）代入解析式，即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）， ∵正比例函数的图像过点（3，2）， ∴3k=2， ∴k=， ∴正比例函数解析式是， 再把x=a，y=6代入得， ， 解得a=9． 故答案为：9 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和已知正比例函数求字母的值，根据待定系数法求出正比例函数解析式是解题关键． 16．已知直线（k≠0）,当直线与x轴正半轴夹角为30º时，直线解析式是 【答案】y=x. 【分析】依题意作图，根据含30°的直角三角形的特点设AO=2a，得到AB=a,OB=a,故求出A点坐标，再代入解析式即可求解. 【详解】如图，AB⊥x轴，设OA=2a,∵∠AOB=30°， ∴AB=a,OB==a, ∴A（，a） 代入，即a=k× 解得k= ∴直线解析式是y=x 故填：y=x. 【点睛】此题主要考查正比例函数的解析式，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质. 17．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k= ． 【答案】2 【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 18．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．先求出点P的坐标，再求出点Q的坐标，进而求出直线解析式，设，然后根据的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 三、解答题 19．正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵函数函数为正比例函数， ∴， ∴， 又∵正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴m＞0， ∴ 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键． 20．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． （2）∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键． 21．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1＋y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式； （2）将x＝－1代入计算即可求出值． 【详解】（1）设y1＝ax，y2＝k（x﹣2）， ∴y＝ax+k（x﹣2） 由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得， ， 解得：， ∴y与x之间的关系式为：y＝2x﹣2； （2）当x＝﹣1时,． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法． 22．已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣＜x＜． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式； （2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可； （3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了． 【详解】（1）设y=k（x﹣1）， 把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2， 所以y=2（x﹣1）， 即y=2x﹣2； （2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4； （3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3， 解得：x=﹣， 当y=5时，2x﹣2=5， 解得：x=， ∴x的取值范围是﹣＜x＜． 【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 23．如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 【答案】点与点都在该函数图象上． 【分析】根据题意先设直线l的解析式为y=kx（k≠0），再把（-1，3）代入求出k的值，把A、B两点代入进行检验即可． 【详解】解：设直线l的解析式为y=kx（k≠0）， ∵直线过点（-1，3）， ∴3=-k，解得k=-3， ∴直线l的解析式为y=-3x． ∵当x=-4时，y=12；当x=3时，y=-9， ∴点A（-4，12），B（3，-9）在该函数的图象上． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 24．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    【答案】见解析 【分析】根据两点法画出函数图像即可求解． 【详解】解：如图所示，同一直角坐标平面内画出下列函数图像．    【点睛】本题考查了画正比例函数图像，数形结合是解题的关键． 25．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当时，与之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米； （2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可； （3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程． 【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟． 故答案为 ，； （2）设函数关系式为，图像过 可得：， 解得：， 所以解析式为：， 故答案为； （3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟， 妈妈到达缆车终点的时间：分， 此时爸爸比妈妈迟到分， 妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米， 故答案为；． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． 26．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 27．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB． 【答案】（1）；（2）24；（3）或 【分析】（1）直线l是正比例函数的图象，用待定系数法即可求得； （2）过点A作AC⊥OB于点C，则可得AC的长度，从而可求得△AOB的面积； （3）设点P的坐标为，分点P在线段OA上和点P在线段OA的延长线上两种情况考虑即可． 【详解】（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0 ∵点A（6，4）在直线y=kx上 ∴6k=4 ∴ ∴直线l的解析式为 （2）过点A作AC⊥OB于点C，如图 ∵A（6，4），B（12，0） ∴AC=4，OB=12 ∴ （3））设点P的坐标为 ∵ S△ABP＝S△AOB ∴S△ABP＝8 当点P在线段OA上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24-8=16 即 解得：a=4 此时点P的坐标为 当点P在线段OA的延长线上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24+8=32 即 解得：a=8 此时点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，图形面积，正比例函数的图象等知识，涉及分类讨论思想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$