精品解析：北京市北京师范大学第二附属中学未来科学城学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

北师大二附中未来科学城学校开学学情诊断 初三年级 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可解答． 【详解】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入解析式，即可求解． 【详解】∵反比例函数的图象经过点 故选：D． 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方程的解，以及解一元一次方程，将代入方程求解，即可解题． 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得， 故选：D． 4. 下列判断错误的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线相互垂直的矩形是正方形 C. 一组邻角互补的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质，据此相关内容性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故该说法是正确的； B、对角线相互垂直的矩形是正方形，故该说法是正确的； C、一组邻角互补的四边形不能证明是平行四边形，故该说法是错误的； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该说法是正确的； 故选：C 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用， 先根据待定系数法求出解析式，代入函数求值即可，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】设电流与电阻函数关系为， ∵图象经过点， ∴， 解得：； ∴， 当时，， 故选：． 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可解题． 【详解】解：由题可得：四月份绿化投入为25万元，五月份绿化投入为万元，六月份绿化投入为万元， 可列方程为：， 故选：D． 7. 如图，在中，点E在的延长线上，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8. 北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下： 根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是（ ） A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位 B. 4月份最高气温的最低值出现在4月29日 C. 4月中旬（11日至20日）的最高气温平均值大于 D. 若记4月中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图提供的数据信息以及方差的概念逐项分析各选项，即可解答．本题考查折线统计图和方差，解题的关键是读懂图象信息，利用数形结合的方法解答． 【详解】解：A、由图可知，4月10日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日不排在第30位，故本结论错误，不符合题意； B、由图可知，4月29日的气温高于10日，所以4月份最低气温并不是出现在4月29日而是出现在4月10号，故本结论错误，不符合题意． C、由图可知，4月中旬（11日至20日）的最高气温这10天有9天都是大于，14号稍微小于，所以4月中旬（11日至20日）的最高气温平均值大于，符合题意； D、4月中旬（11日至20日）的最高气温大致分布在20度到30度，下旬（21日至30日）的最高气温的大致分布在10度到30度，可以看出4月下旬的数据波动比中旬的波动大，稳定性也较小，所以4月下旬的方差较大，即，不符合题意． 故答案为：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】x≤5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可． 【详解】若使函数y＝有意义， ∴5−x≥0， 即x≤5． 故答案为x≤5． 【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10. 在反比例函数的图象上有两点，，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，因为的，所以反比例函数经过第一、三象限，所以在每个象限内，随的增大而较小，然后两点，在该函数上，得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的 ∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而较小， ∵两点，在该函数上， ∴ 故答案为： 11. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 12. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解方程，先移项再配方得，与对比，得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵用配方法解方程时，可将方程变为的形式 ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，正确理解一次函数图象的交点与不等式的解集的关系是解题的关键．根据不等式的解集，即为直线的图象在直线图象的上方部分的x的值，根据图象直接得出即可． 【详解】解：由图知，不等式的解集是， 故答案为：． 14. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 15. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据已知条件可推出，从而可知，根据得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，．如果直线与线段有交点，那么______（写出一个满足题意的值即可）． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数解析式．理解题意是解题的关键． 由直线与线段有交点，可知线段上的点满足即可，将线段上一点代入，计算求解即可． 【详解】解：∵直线与线段有交点， ∴线段上的点满足， 将代入得，， 故答案为：1． 三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27～28题，每小题7分，共68分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．化简原式后直接利用因式分解法解题即可． 【详解】解： 或， 解得：，． 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图像； （3）当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，以及已知反比例函数自变量范围求函数值取值范围，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据画函数图象步骤，列表、描点、连线画出图象即可； （3）根据（2）中图象与数据，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 故该反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 根据表格数据画函数图象如下： 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，的取值范围为． 19. 如图，在四边形中，，E，F是上的两点且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定定理是解题的关键． 先根据题意用证明，得到，从而得到，继而证明四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 【答案】（1）且； （2）当时，，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解即可； （2）因为方程的两个根都是有理数．所以根的判别式为有理数，且不为零，可当时，然后代入解方程即可． 【小问1详解】 由题意可得， ， 解得， 又， ∴， ∴的取值范围：且； 【小问2详解】 ∵方程的两个根都是有理数， ∴为有理数且不为0， 即为有理数且不为0， ∴当时，原方程化为， ∴ ∴或 解得，． 21. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B （1）求A， B两点的坐标； （2）若点在一次函数的图象上，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数图象上点的特征： （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可； （2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解： 对于， 当时， ， 解得：， ∴点A的坐标为 当时， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解∶ ∵点在一次函数的图象上， ∴． ∴． 23. 为比较营养液A和营养液B对某种小西红柿产量的影响，甲、乙两个生物小组各选取了10株长势相近的小西红柿秧苗进行对照实验，甲组使用营养液A，乙组使用营养液B．将每株的产量记录整理，并绘制了如下两个条形图． 解答下列问题： （1）甲组产量的众数为______，乙组产量的中位数为_______； （2）经过计算发现两组产量的平均数接近，为了使产量更稳定，则应选择营养液______（填“A”或“B”）； （3）产量30个及以上为秧苗长势良好．现在选用第（2）问推荐的营养液培育100株秧苗，请估计长势良好的大约为______株． 【答案】（1）30，31.5 （2）A （3）70 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）利用方差的意义解答即可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由条形统计图知：甲组产量的众数为30， 乙组产量第5个数是31，第6个数是32， 乙组产量的中位数为==31．5， 故答案为：30，31．5； 【小问2详解】 甲=×（28×2+29×1+30×3+31×2+32×2）=30．1， 乙=×（26+27+28+30+31+32×2+33×2+34）=30．5， 由条形统计图得，甲组产量的波动较小，方差较小，产量更稳定， 所以应选择营养液A． 故答案为：A； 【小问3详解】 估计长势良好的大约为100×=70（株）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查中位数、众数和方差以及条形统计图，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的意义． 24. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2） 已知点是直线上位于第三象限的点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）k的值是3，m的值是 （2）①；理由见解析；②或 【解析】 【分析】（1）将A点代入中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值． （2）①当时，分别求出M、N两点的坐标即可求出与的关系； ②由题意可知：P的坐标为，由于，从而可知，根据图象可求出a的范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象与直线交于点． ∴， ∴， ∴， 即k的值是3，m的值是． 【小问2详解】 解：①；理由如下： 当时，又点是直线上， ∴， 把代入，得： 解得：， ∴， ∴， 把，代入得：，，， ∴． ②∵点是直线上位于第三象限的点， ∴， ∵过点P作平行于x轴的直线，交直线于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点， ∴， 当时，， 解得：或， 如图：，， ∴根据函数可知：当时，或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，求反比例函数解析式，平行于x轴和y轴的直线上两点间的距离，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 27. 如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据题意补全图形即可；②由等边对等角得出，由平行四边形的性质得出，推出，证明，即可得证； （2）延长至点，使得，连接，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质得出，从而推出，即可得证． 【小问1详解】 解：① 依题意补全图形 ②证明：∵， ∴． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：线段，和的数量关系为． 证明：延长至点，使得，连接． 由（1）②可得 ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ． 28. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t= s时，杯中水位最高，是 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 【答案】（1）见解析 （2）3；6 （3）2 （4）6 （5） 【解析】 【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键． （1）描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）由表格即知； （5）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间． 【小问1详解】 解：描点如下 【小问2详解】 解：由表格知，当时，杯中水位最高，最高水位为； 故答案为：3；6； 【小问3详解】 解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为； 故答案为：2； 【小问4详解】 解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为， 把代入，即， 解得：， ， 由表知，排水的速度为， ∵当时，， 当时，， 可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为， 可得方程组， 解得：， 时，停止注水， 停止注水时t的值为6； 故答案为：6； 【小问5详解】 解：由(4)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为， 所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大二附中未来科学城学校开学学情诊断 初三年级 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 若是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 4. 下列判断错误的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线相互垂直的矩形是正方形 C. 一组邻角互补的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点E在的延长线上，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下： 根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是（ ） A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位 B. 4月份最高气温的最低值出现在4月29日 C. 4月中旬（11日至20日）的最高气温平均值大于 D. 若记4月中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 10. 在反比例函数的图象上有两点，，则______．（填“”或“”） 11. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 12. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则不等式的解集是______． 14. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 16. 在平面直角坐标系中，点，．如果直线与线段有交点，那么______（写出一个满足题意的值即可）． 三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27～28题，每小题7分，共68分） 17. 解方程：． 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图像； （3）当时，的取值范围． 19. 如图，在四边形中，，E，F是上的两点且，．求证：四边形是平行四边形． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 21. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． （3）当时，直接写出的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B （1）求A， B两点的坐标； （2）若点在一次函数的图象上，求的面积． 23. 为比较营养液A和营养液B对某种小西红柿产量的影响，甲、乙两个生物小组各选取了10株长势相近的小西红柿秧苗进行对照实验，甲组使用营养液A，乙组使用营养液B．将每株的产量记录整理，并绘制了如下两个条形图． 解答下列问题： （1）甲组产量的众数为______，乙组产量的中位数为_______； （2）经过计算发现两组产量的平均数接近，为了使产量更稳定，则应选择营养液______（填“A”或“B”）； （3）产量30个及以上为秧苗长势良好．现在选用第（2）问推荐的营养液培育100株秧苗，请估计长势良好的大约为______株． 24. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 25. 如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2） 已知点是直线上位于第三象限的点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 27. 如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 28. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t= s时，杯中水位最高，是 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $