23.3 相似三角形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 23. 3　 相似三角形 第 1 课时　 相似三角形 相似三角形的相关概念 1. (3 分)下列说法正确的是(　 　 ) A. 锐角三角形都是相似三角形 B. 直角三角形都是相似三角形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 等腰三角形都是相似三角形 2. (3 分)已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A = 50°, ∠B= 95°,则∠C1 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 95° B. 50° C. 35° D. 25° 3. (6 分) (湖北怀化模拟) 如图,已知△ABC∽ △ADE ,AE = 50 cm, EC = 30 cm,BC = 70 cm, ∠BAC= 45°,∠ACB= 40°. 求:(1)∠AED 和∠ADE 的度数; (2)DE 的长. 相似比 4. (3 分)已知△ABC∽ △A1 B1 C1,且相似比为 2 3 . 若 BC= 8,则 B1C1 的长为(　 　 ) A. 16 B. 6 C. 12 D. 8 5. (3 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,若 DE∥BC, AD DB = 3 4 ,则AE AC 的值为　 　 　 　 . 6. (6 分)【教材 P63 练习第 2 题变式】如果一个 三角形的三边长分别是 3、4 和 5,与其相似的 三角形的最长边长是 30,那么较大三角形的 周长是多少? 较小三角形与较大三角形周长 的比是多少? 利用平行线判定三角形相似 7. (3 分)【教材 P63 练习第 1 题变式】如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上,射线 CF 交 DA 的延长线于点 E,在不添加辅助线的情况 下,与△AEF 相似的三角形有(　 　 )个. A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3 第 7 题图 　 第 8 题图 　 第 9 题图 8. (3 分)(浙江杭州中考)如图,DE∥BC,DE 分 别与 AB,AC 相交于点 D,E. 若 AD= 4,DB = 2, 则 DE ∶BC 的值为(　 　 ) A. 2 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 5 9. (3 分)(河南汝阳期末)如图,点 F 是▱ABCD 的边 CD 上一点,直线 BF 交 AD 的延长线于 点 E,则下列结论错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. ED EA =DF AB B. DE BC =EF FB C. BC DE =BF BE D. BF BE =BC AE 24 10. (3 分)如图,EF∥BC,若 AE ∶ EB = 2 ∶ 1,EM = 1,MF = 2. 则 BN ∶NC= 　 　 　 　 . 对于相似三角形要明确其对应边和对 应角 11. (3 分)如图所示,△AOB∽△COD,下列各式 中正确的有(　 　 ) ①AB CD =BO CO ;　 ②AB CD = AO DO ; ③AO OD =BO CO ;　 ④AO CO =BO DO . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12. (3 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别为边 AB,AC 上的点,且 DE∥BC. 若 AD = 5,BD = 10,AE= 3,则 AC 的长为(　 　 ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 第 12 题图 　 第 13 题图 13. (3 分) (四川成都模拟)如图,在△ABC 中, BF 平分∠ABC,D 为 AB 的中点,DF =DB,延 长 DF 交 AC 于点 E,连结 AF. 若 AB = 10,BC = 16,则线段 EF 的长为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14. (3 分)(河南邓州期中)如 图,在 ▱ABCD 中, AE = 2 3 AD,连结 BE, 交 AC 于 点 F, AC = 15. 则 AF 为　 　 　 　 . 15. (6 分) 如图,在▱ABCD 中,M,N 为对角线 BD 的三等分点,连结 AM 并延长交 BC 于点 E,连结 EN 并延长交 AD 于点 F,求FN NE 的值. 16. (6 分)(湖北怀化中考)如图,△ABC 为锐角 三角形,AD 是 BC 边上的高,正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上,顶点 E,H 分别在 AB, AC 上,已知 BC= 40 cm,AD= 30 cm. (1)求证:△AEH∽△ABC. (2)求这个正方形的边长与面积. 34 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 2 课时　 相似三角形的判定(1) 　 　 利用两角相等判定三角形相似 1. (3 分) 如图所示的三个三角形中,相似的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (1)和(2) B. (2)和(3) C. (1)和(3) D. (1)和(2)和(3) 2. (3 分)如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AB, AC 上,且∠1 = ∠2 = ∠B,则图中相似三角 形有(　 　 ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 4 题图 3. (3 分)(辽宁鞍山一模)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,∠ACD = ∠B,那么下列判断中,不正确的是(　 　 ) A. △ADE∽△ABC B. △CDE∽△BCD C. △ADE∽△ACD D. △ADE∽△DBC 4. (3 分) (广东佛山模拟) 如图,D,E 分别是 △ABC 的边 AB,AC 上的点,∠ADE = ∠ACB, 若 AD= 2,AB= 6,AC= 4,则 AE 的长是(　 　 ) A. 1　 　 B. 2　 　 C. 3　 　 D. 4 5. (5 分) 【教材 P67 练习第 2 题变式】如图,三 角形 ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°,过点 C 作 CD ⊥ AB 交 AB 于 点 D. 求 证: △ACD ∽△ABC. 未考虑相似三角形对应边的关系致错 6. (3 分)在△ABC 中,AB = 9,AC = 6,点 E 在 AB 上,且 AE = 3, 点 F 在 AC 上, 连结 EF. 若 △AEF 与△ABC 相似,则 AF= 　 　 　 　 . 7. (3 分)(辽宁沈阳中考改编)如图,△ABC 中, AE 交 BC 于点 D,∠C = ∠E,AD ∶DE = 3 ∶5,AE = 8,BD= 4,则 DC 的长等于(　 　 ) A. 15 4 B. 12 5 C. 20 3 D. 17 4 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. (3 分) (四川遂宁中考)如图,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,CD⊥AB 于点 D,下列结论: ①AC·BC=AB·CD;②AC2 =AD·DB; ③BC2 =BD·BA;④CD2 =AD·DB. 正确的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. (3 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,若 AC = 8,BC = 6,DE = 3,则 AD 的长为　 　 　 　 . 44 第 9 题图 　 第 10 题图 　 第 11 题图 10. (3 分) (江苏泰州中考)如图,在△ABC 中, 点 D 为 BC 上一点,∠BAD = ∠C,AB = 6,BD = 4,则 CD 的长为　 　 　 　 . 11. (3 分)如图,AC⊥AB,BD⊥AB,P 是 AB 上任 意一点, 当 ∠CPD = 　 　 　 　 ° 时, △ACP ∽△BPD. 12. (7 分)(辽宁抚顺四模)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连结 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE= ∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若 AB= 4,AD= 3 3 ,AE= 3,求 AF 的长. 13. (8 分)如图,在△ABC 中, AB=AC,P,D 分别 是 BC, AC 边上的点,且∠APD= ∠B. (1)求证:AC·CD=CP·BP. (2)若 AB= 10,BC = 12,当 PD∥AB 时,求 BP 的长. 14. (10 分) (陕西中考) 如图,在▱ABCD 中, ∠ABC 的平分线 BF 分别与 AC,AD 交于点 E,F. (1)求证:AB=AF; (2)当 AB= 3,BC= 5 时,求AE AC 的值. 54 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 3 课时　 相似三角形的判定(2) 　 　 利用两边成比例且夹角相等判定三角 形相似 1. (3 分)如图,能保证△ADE 与△ABC 相似的 条件是(　 　 ) A. AD AB =DE BC 　 　 B. AE AC =DE BC C. AD AC =AE AB D. AD AC =DE BC 2. (3 分)【追梦原创】如图,已知△ABC,则下面 四个三角形中与△ABC 相似的是(　 　 ) A B C D 3. (3 分) (河南唐河一模)如图,小正方形的边 长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与 △ABC 相似的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 4. (3 分) 如图,已知 AB,CD 交于点 O,AO = 4,BO = 2, CO= 6,OD= 3,则△AOD 与 △COB　 　 　 　 . (填“相似”或“不相似”) 5. (3 分)一个直角三角形的两边长为 6 和 8,另 一个与它相似的直角三角形的三边长为 3 和 4 及 x,则 x 的值为　 　 　 　 . 6. (7 分)【教材 P69 例 4 变式】如图,证明△AOB ∽△DOC. 7. (7 分)如图,点 C,D 在线段 AB 上,△PCD 是 等边三角形,且 AC = 1,CD = 2,DB = 4,连结 PA,PB. 求证:△ACP∽△PDB. 在应用相似三角形的判定定理 2 时,考 虑问题不全面漏解 8. (3 分) (湖北随州中考)在△ABC 中,AB = 6, AC= 5,点 D 在边 AB 上,且 AD = 2,点 E 在边 AC 上,当 AE = 　 　 　 　 时,以 A,D,E 为顶点 的三角形与△ABC 相似. 64 9. (3 分) (云南昆明模拟)下列各组条件中,一 定能推得△ABC 与△EFD 相似的是(　 　 ) A. ∠A= ∠E 且∠D= ∠F B. ∠A= ∠B 且∠D= ∠F C. ∠A= ∠E 且AB AC =EF ED D. ∠A= ∠E 且AB BC =DF ED 10. (3 分) (江苏无锡中考)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且将这个四边 形分成①,②,③,④四个三角形,若 OA ∶OC = OB ∶ OD, 则下列结论中一定正确的是 (　 　 ) A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 第 10 题图 　 　 第 12 题图 11. (3 分)在等边三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上,且AD AC = 1 3 ,AE=BE,则有(　 　 ) A. △AED∽△BED　 　 　 B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD 12. (3 分)如图,已知直线 y= - 1 2 x+2 与 x 轴交于 点 A,与 y 轴交于点 B. 若在 x 轴上有一点 C (不与点 A 重),使 B,O,C 三点构成的三角形 与△AOB 相似,则点 C 的坐标为　 　 　 　 . 13. (8 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,∠AED= ∠B,射线 AG 分别交线段 DE,BC 于点 F,G,且AD AC =DF CG . (1)求证:△ADF∽△ACG; (2)若AD AC = 1 2 ,求AF FG 的值. 14. (8 分)(河南期末) 如图, 在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,CD 上的点,AE = ED, DF= 1 4 DC,连结 EF 并延长,交 BC 的延长线 于点 G,连结 BE. (1)求证:△ABE∽△DEF. (2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长. 74 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 4 课时　 相似三角形的判定(3) 　 　 利用三边成比例判定三角形相似 1. (3 分)若△ABC 和△A′B′C′满足下列条件,其 中使△ABC 和△A′B′C′相似的是(　 　 ) A. AB= 2. 5 cm,BC= 2 cm,AC= 3 cm; A′B′= 3 cm,B′C′= 4 cm,A′C′= 6 cm B. AB= 2 cm, BC= 3 cm, AC= 4 cm; A′B′= 3 cm,B′C′= 6 cm,A′C′= 4. 5 cm C. AB= 10 cm, BC=AC= 8 cm; A′B′= 6 cm,B′C′=A′C′= 5 cm D. AB= 1 cm,BC= 5 cm,AC= 3 cm; A′B′= 15 cm,B′C′= 2 3 cm,A′C′= 6 cm 2. ( 3 分 ) 如 图, 点 O 是 △ABC 内任一点,点 D, E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,则图中相似三角形有(　 　 ) A. 1 对　 　 B. 2 对　 　 C. 3 对　 　 D. 4 对 3. (3 分) (湖南常德模拟)有甲、乙两个三角形 木框,甲三角形木框的三边长分别为 1, 2 , 5 ,乙三角形木框的三边长分别为 5, 5 , 10 ,则甲、乙两个三角形(　 　 ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断 4. (3 分)一个三角形的三边长分别为 3,5,7,另 一个与它相似的三角形最长边的长是 21,则 其他两边长的和是(　 　 ) A. 19 B. 17 C. 24 D. 21 5. (6 分)(河南南阳期中)如图,已知AB AD = BC DE = AC AE ,∠BAD= 20°,求∠CAE 的大小. 网格上相似三角形的判断 6. (3 分)如图,下面图形及各个选项均是由边长 为 1 的小方格组成的网格,三角形的顶点均在 小方格的顶点上,下列四个选项中哪一个阴 影部分的三角形与已知△ABC 相似(　 　 ) A B C　 　 D　 　 7. (3 分)如图,若 A,B,C,P,Q 及甲、乙、丙、丁 都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC, 则点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. (3 分)若△ABC 各边分别为 AB = 10 cm,BC = 8 cm,AC= 6 cm,△DEF 的两边为 DE = 5 cm, EF= 4 cm,则当 DF = 　 　 　 　 cm 时,△ABC ∽△DEF. 84 9. (3 分)(河南中考)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 1,BC = a,点 E 在 边 BC 上,且 BE = 3 5 a. 连结 AE, 将△ABE 沿 AE 折叠,若点 B 的对应点 B′落在 矩形 ABCD 的边上,则 a 的值为　 　 　 　 . 10. ( 8 分 ) ( 福 建 南 安 模 拟 ) 在 △ABC 和 △A1B1C1 中,已知:AB = 6 cm,BC = 8 cm,AC = 11 cm,A1B1 = 18 cm,B1C1 = 24 cm,A1C1 = 33 cm. 求证:△ABC∽△A1B1C1 . 11. (9 分)如图,△ABC 各顶点的坐标分别为 A (3,0),B(0,4),C(4,2),过点 C 作 CD⊥x 轴,垂足为点 D. 求证:△ACD∽△ABC. 12. (13 分) 【综合性试题】如图,在边长为 1 的 小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的 顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5 是△DEF 边上的 5 个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明△ABC 为直角三角形; (2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明 理由; (3)画一个三角形,使它的三个顶点为 P1, P2,P3, P4, P5 中的 3 个 格 点 并 且 与 △ABC 相似(不写作法与证明) . 94 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 5 课时　 相似三角形的性质　 　 相似三角形对应线段的比 1. (3 分)(重庆中考)若△ABC∽△DEF,相似比 为 3 ∶2,则对应高的比为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 ∶2 B. 3 ∶5 C. 9 ∶4 D. 4 ∶9 2. (3 分)已知△ABC∽△DEF,相似比是 3 4 ,BC 上 的 中 线 长 为 1, 则 边 EF 上 的 中 线 长 为(　 　 ) A. 3 4 B. 4 3 C. 4 D. 3 3. (3 分)若△ABC∽△A′B′C′,AB = 16 cm,A′B′ = 4 cm,AD 平分∠BAC,A′D′平分∠B′A′C′, A′D′= 3 cm,则 AD= 　 　 　 　 cm. 相似三角形周长的比 4. (3 分) △ABC 与△DEF 的相似比为 1 ∶ 4,则 △ABC 与△DEF 的周长比为(　 　 ) A. 1 ∶2 B. 1 ∶3 C. 1 ∶4 D. 1 ∶16 5. (3 分)一个三角形的边长分别为 4,5,6,和它 相似的另一个三角形的最长边为 24,则较大 三角形的周长为　 　 　 　 . 6. (10 分)(河南镇平一模)如图,在△ABC 中,点D 在边 AB 上,满足∠ACD=∠B,若 AC=2,AD=1. (1)求 DB 的长; (2)若△ABC 的周长为 10,求 CD 的长. 相似三角形面积的比 7. (3 分)(广东佛山模拟)如图,在△ABC 中,D, E 分别是 AB,AC 边上的中点,则△ADE 与 △ABC 的面积之比是(　 　 ) A. 1 ∶2　 B. 1 ∶4　 C. 1 ∶3　 D. 2 ∶1 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. (3 分)如图,在△ABC 中,EF∥BC,AB= 3AE, 若 S四边形BCFE = 16,则 S△ABC = (　 　 ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 9. (6 分)如图所示,在▱ABCD 中,E 是 BC 上一 点,AE 交 BD 于点 F. 已知 BE ∶EC= 3 ∶1,S△EFB = 18 cm2,求△AFD 的面积. 10. (3 分)已知△ABC∽△DEF,且周长之比为 1 ∶9,则△ABC 与△DEF 的高的比为(　 　 ) A. 1 ∶3 B. 1 ∶9 C. 1 ∶18 D. 1 ∶81 05 11. (3 分)(江西萍乡模拟)如图,E,F 是平行四 边形 ABCD 对角线 AC 上两点,AE = CF = 1 4 AC,连结 DE,DF 并延长,分别交 AB,BC 于 点 G,H,连结 GH,则 S△ADG S△BGH 的值为(　 　 ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 1 12. (3 分)如图,在▱ABCD 中,AE ∶DE = 2 ∶3,若 AE 的长为 4,△AEF 的面积为 8,则下列结 论:①BC = 10;②AF·CF = EF·BF;③四边 形 CDEF 的面积为 62;④AD 与 BC 之间的距 离为 14. 其中正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 第 12 题图 　 第 13 题图 13. (3 分)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,CM 是∠BCD 的平分线,且 CM⊥AB,M 为垂足, AM= 1 3 AB. 若四边形 ABCD 的面积为15 7 ,则 四边形 AMCD 的面积是　 　 　 . 14. (6 分) (河南新乡期中)如图,△ABC 中,BC = 24 cm,高 AD= 12 cm,矩形 EFGH 的两个顶 点 E、F 在 BC 上,另两个顶点 G、H 分别在 AC、AB 上,且 EF ∶EH = 4 ∶3. 求矩形 EFGH 的 面积. 15. (12 分) (河南邓州期中)如图,在平行四边 形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,M 为 AD 上的点,且 DM = 2MA,连结 CM 交 BD 于 点 N,且 ON= 1. (1)求 BD 的长; (2)若△DMN 的面积为 4,求四边形 ABNM 的面积. 16. (3 分)【跨学科试题】如图是小孔成像原理 示意图,若点 O 到 AB 的距离为 18 cm,O 到 CD 的距离是 6 cm,物体 AB 的高度是 9 cm, 则像 CD 的高度是　 　 　 　 cm. 15 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 6 课时　 相似三角形的应用　 　 相似三角形的应用 1. (3 分)(河南桐柏期末)如图,放映幻灯片时, 通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上, 若光源到幻灯片的距离为 20 cm,到屏幕的距 离为 60 cm,且幻灯片中的图形的高度为 6 cm,则屏幕上图形的高度为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 cm B. 12 cm C. 18 cm D. 24 cm 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分) (福建泉州模拟)我国古代数学著作 《九章算法比类大全》有题如下:“方种芝麻斜 种黍,勾股之田十亩无零数. 九十股差方为 界,勾差十步分明许. 借问贤家如何取,多少 黍田多少芝麻亩. 算的二田无误处,智能才华 算中举. ”大意是:正方形田种芝麻,斜形(三角 形)种黍,有一块直角三角形 ABC 是 10 亩整. 股差 AD= 90 步,勾差 BF= 10 步. 请问黍田、芝 麻各多少亩? (1 亩= 240 平方步)(　 　 ) A. 芝麻田 3. 75 亩,黍田 6. 25 亩 B. 芝麻田 3. 25 亩,黍田 6. 75 亩 C. 芝麻田 3. 70 亩,黍田 6. 30 亩 D. 芝麻田 3. 30 亩,黍田 6. 70 亩 3. (3 分)已知有两堵墙 AB,CD,AB 墙高 2 米,两 墙之间的距离 BC 为 8 米,小明将一架木梯放 在距 B 点 3 米的 E 处靠向墙 AB 时,木梯有很 多露出墙外,将木梯绕点 E 旋转 90°靠向墙 CD 时, 木梯刚好达到墙的顶点, 则墙 CD 的高为　 　 　 　 米. 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4. (3 分)(河南淅川期中)如图,甲、乙两名同学 分别站在点 C、D 的位置时,乙的影子与甲的 影子的末端恰好在同一点 A,已知甲、乙两同 学相距 1 m,甲身高 1. 8 m,乙身高 1. 5 m,则 甲的影子是　 　 　 　 m. 5. (3 分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影 子如图所示,其中木竿 AB= 2 m,它的影子 BC = 1. 6 m,木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙 上,PM = 1. 2 m,MN = 0. 8 m,则木竿 PQ 的 长度为　 　 　 　 m. 构建合适的三角形模型 6. (6 分)某高中为高一新生设计的学生板凳的 正面视图如图所示,其中 BA=CD,BC= 20 cm, BC,EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离 分别为 40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端 A,D 之间的距离为 50 cm,那么横梁 EF 应为多长? (材质及其厚度等忽略不计) 25 7. (3 分)【跨学科试题】光在传播到不同物质时 会发生反射,反射光线与入射光线与法线在 同一平面上;反射光线和入射光线分居在法 线的两侧;反射角等于入射角. 可归纳为:“三 线共面,两线分居,两角相等” . 如图,小明为 了测量一凉亭的高度 AB (顶端 A 到水平地面 BD 的距离) ,在凉亭的旁边放置一个与凉亭 台阶 BC 等高的台阶 DE,DE =BC = 0. 5 m,A、 B、C 三点共线,把一面镜子水平放置在平台 上的点 G 处,测得 CG = 15 m,然后沿直线 CG 后退到点 E 处,这时恰好在镜子里看到凉亭 的顶端 A,测得 EG = 3 m,小明身高 1. 6 m,则 凉亭的高度 AB 约为(　 　 )m. A. 8. 5 B. 9 C. 9. 5 D. 10 8. (8 分)(四川中考改编)在公园有两个垂直于 水平地面且高度不一的圆柱,两个圆柱后面 有一堵与地面互相垂直的墙,且两个圆柱与 墙的距离皆为 120 cm. 敏敏观察到高度为 90 cm 的矮圆柱的影子落在地面上,其影长为 60 cm;而高圆柱的部分影子落在墙上,如图所 示. 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂 直,并视太阳光为平行长,在不计圆柱厚度与 影子宽度的情况下,请回答下列问题: (1)若敏敏的身高为 150 cm,且此刻她的影子 完全落在地面上,则影长为多少厘米? (2)若同一时间量得高圆 柱落在墙上的影长为 150 cm,则高圆柱的 高度为多少厘米? 9. (8 分) (山东泰安一模改编)如图,∠ABD = ∠BCD= 90°,DB 平分∠ADC,过点 B 作 BM∥ CD 交 AD 于点 M,连结 CM 交 DB 于点 N. (1)求证:BD2 =AD·CD. (2)若 CD= 6,AD= 8,求 CM 的长. 10. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, AC= 6 cm,BC= 8 cm. 动点 M 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 3 cm 的速度向定点 A 运动, 同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒 2 cm 的速度向点 B 运动,运动时间为 t 秒 (0<t<10 3 ),连结 MN. (1)若△BMN 与△ABC 相似,求 t 的值; (2)连结 AN,CM,若 AN⊥CM,求 t 的值. 35 AB= 4,设 FD 为 x. AD = 2+x,则 x(2+x)= 4,( x+ 1) 2 = 5,x1 = 5 -1,x2 = - 5 -1(舍去),∴ AD= 5 - 1+2 = 5 +1. 故选 B. 13. B　 14. C 15. 2 3 　 【解析】∵ 原矩形的长为 6,宽为 x,小矩形 与原矩形相似,∴ 小矩形的长为 x,宽为 2. ∴ x 6 = 2 x ,∴ x= 2 3 或-2 3 (舍) . 16. 解:(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四 周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 不相似; 由题意,得30 +2a 30 = 15+a 15 ,20 +2a 20 = 10+a 10 ,∴ 30+2a 30 ≠20 +2a 20 . ∴ 小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩 形 ABCD 不相似; (2) 当 x y = 2 3 时, 小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和 矩 形 ABCD 相 似, 20 +2x 20 = 30+2y 30 ,解得 x y = 2 3 . ∴ 路的宽 x 与 y 的比值为 2 ∶3时,能使小 路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似. 23. 3　 相似三角形 第 1 课时　 相似三角形 1. C　 2. C 3. 解:(1) ∵ ∠A = 45°,∠ACB = 40°,∴ ∠ABC = 95°. ∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠AED= ∠ACB= 40°, ∴ ∠ADE= ∠ABC= 95°. (2)∵ △ADE∽△ABC,∴ AE AC =DE BC . ∵ AE= 50cm,EC= 30cm,BC = 70cm,∴ DE = 175 4 cm. 4. C　 5. 3 7 6. 解:∵ 一个三角形的三边长分别为 3、4、5,与其相 似的三角形的最长的边为 30,∴ 其相似比 = 5 30 = 1 6 . 设较大三角形的周长为 L,3 +4+5 L = 1 6 ,解 得 L= 72. ∴ 较小三角形与较大三角形周长的 比是 1 6 . 7. C 8. A　 【解析】∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AD AB = AD AD+DB = 4 4+2 = 2 3 . 故选 A. 9. C 10. 1 ∶2　 【解析】∵ EF∥BC,∴ AE AB = EM BN =MF NC ,∴ BN NC = EM MF = 1 2 ,即 BN ∶NC= 1 ∶2. 11. A　 【解析】 AB CD =BO DO ,故①错;AB CD = AO CO ,故②错;OA OC =OB OD ,故③错;④正确. 故选 A. 12. C 13. B　 【解析】∵ D 为 AB 的中点,∴ AD =BD = 1 2 AB. ∵ AB= 10,∴ DB= AD = 5. ∵ DF =DB,∴ DF = 5. ∵ BF 平分∠ABC,∴ ∠DBF = ∠CBF. ∵ DB =DF,∴ ∠DBF = ∠DFB,∴ ∠DFB = ∠CBF,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB =DE BC . ∵ AD = 5,AB = 10,BC = 16, 5 10 =DE 16 ,∴ DE = 8. ∵ DF = 5,∴ FE =DE-DF = 8-5 = 3. 故选 B. 14. 6　 【解析】∵ ▱ABCD 中,AD∥BC,且 AD =BC,AE = 2 3 AD,∴ △AEF∽△CBF,∴ AE CB = AF CF = 2 3 ,∵ AC =AF+CF= 15,∴ AF= 15× 2 3+2 = 6. 15. 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∴ △FND∽△ENB. ∵ N 为 BD 的 三等分点,∴ FN NE =DN BN = 1 2 . 16. 证明:(1)∵ 四边形 EFGH 是正方形,∴ EH∥BC, ∴ △AEH∽△ABC. (2)设 AD 与 EH 交于点 M. ∵ ∠EFD= ∠FEM= ∠FDM= 90°, ∴ 四边形 EFDM 是矩形,∴ EF=DM. 设正方形 EFGH 的边长为 xcm, ∵ △AEH∽△ABC,∴ EH BC =AM AD , ∴ x 40 = 30-x 30 ,∴ x= 120 7 ,∴ x2 = 14 400 49 . ∴ 正 方 形 的 边 长 为 120 7 cm, 面 积 为 14 400 49 cm2 . 第 2 课时　 相似三角形的判定(1) 1. A 2. D 　 【解析】 △ADE ∽ △ABC ∽ △ACD, △BDC ∽ △CED,即 4 对. 故选 D. 3. D　 4. C 5. 证明:∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCD= 90°. ∵ CD ⊥AB,∴ ∠A+∠ACD = 90°,∴ ∠BCD = ∠A. 又 ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°, ∴ △ACD ∽ △ABC. 6. 2 或 4. 5　 【解析】∵ ∠EAF = ∠BAC,∴ 当∠AEF = —21— ∠ABC 时,△AEF∽△ABC,AE AF = AB AC , 3 AF = 9 6 ,AF = 2;当∠AEF = ∠ACB 时,△AEF∽△ACB, 3 AF = 6 9 , AF= 4. 5. 7. A 8. C　 【解析】由题可知△ABC∽△ACD∽△CBD,∴ AC AB =CD BC ,即 AC·BC=AB·CD,故①正确;AD AC = AC AB , 即 AC2 =AD·AB,故②错;AB BC = BC BD ,即 BC2 = BD· AB,故③正确;AD CD = CD BD ,即 CD2 = AD·BD,故④正 确,故选 C. 9. 5　 【解析】由题可知△ABC∽△ADE,∴ AC BC = AE DE , 8 6 =AE 3 ,∴ AE= 4. ∴ AD= AE2 +DE2 = 42 +32 = 5. 10. 5　 11. 90 12. ( 1) 证明:四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AD∥BC,∴ ∠B+∠C= 180°,∠ADF = ∠DEC. ∵ ∠AFD + ∠AFE = 180°, ∠AFE= ∠B,∴ ∠AFD = ∠C,∴ △ADF ∽△DEC; ( 2 ) 解: ∵ AE ⊥ BC, AD = 3 3 , AE = 3, ∴ 在 Rt△DEA 中,DE= AD2 +AE2 = 6,由(1) 知 △ADF ∽ △DEC, 得 AF DC = AD DE , AF = 4×3 3 6 = 2 3 . 13. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. ∵ ∠APD= ∠B,∴ ∠APD= ∠B= ∠C. ∵ ∠APC = ∠BAP + ∠B, ∠APC = ∠APD + ∠CPD, ∴ ∠BAP= ∠CPD,∴ △ABP∽△PCD, ∴ BP CD = AB CP ,∴ AB·CD=CP·BP. 又∵ AB=AC,∴ AC·CD=CP·BP. (2)解:∵ PD∥AB,∴ ∠APD= ∠BAP. ∵ ∠APD= ∠B= ∠C,∴ ∠BAP= ∠C. 又∵ ∠B = ∠B, ∴ △BAP ∽ △BCA, ∴ AB BC = BP AB . ∵ AB= 10,BC= 12,∴ 10 12 =BP 10 ,∴ BP= 25 3 . 14. (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC, ∴ ∠AFB = ∠CBF. 又 ∵ BF 是 ∠ABC 的平分线,∴ ∠ABF = ∠CBF,∴ ∠AFB= ∠ABF,∴ AB=AF; (2 ) 解: ∵ ∠AEF = ∠BEC, ∠AFB = ∠CBF, ∴ △AEF∽ △CEB. ∵ AF = AB = 3, ∴ AE EC = AF BC = 3 5 ,∴ AE AC = 3 8 . 第 3 课时　 相似三角形的判定(2) 1. C　 2. C　 3. B　 4. 不相似　 5. 5 或 7 6. 证明:∵ AO= 4. 5,OD= 12,OB= 2,OC= 16 3 . ∴ AO DO = 4. 5 12 = 3 8 ,BO CO = 2 16 3 = 3 8 . ∴ AO DO =BO CO . 又∵ ∠AOB= ∠DOC,∴ △AOB∽△DOC. 7. 证明:∵ △PCD 是等边三角形, ∴ ∠PCD= ∠PDC= 60°,PC=CD=PD= 2. ∴ ∠PCA= ∠PDB= 120°. ∵ AC= 1,BD= 4,∴ AC PD = 1 2 ,PC BD = 2 4 = 1 2 , ∴ AC PD =PC BD . ∴ △ACP∽△PDB. 8. 5 3 或 12 5 9. C　 10. B 11. B 12. ( -1,0)或(1,0)或( -4,0) 　 【解析】∵ 直线 y = - 1 2 x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,∴ A(4, 0),B(0,2) . 当△AOB∽△BOC 时,OA OB =OB OC ,即 4 2 = 2 OC ,解得 OC= 1. ∴ C(-1,0)或(1,0);当△AOB ∽△COB 时,点 C 与点 A 不重合,∴ C(-4,0) . 综 上所述,点 C 的坐标为( - 1,0)或(1,0)或( - 4, 0) . 13. ( 1) 证明: ∵ ∠DAE = ∠CAB, ∠AED = ∠B, ∴ ∠ADF= ∠ACG. ∵ AD AC = DF CG ,∴ △ADF ∽△ACG. (2)解:由( 1) 可知AD AC = AF AG = 1 2 ,∴ AF = 1 2 AG = FG. ∴ AF FG = 1. 14. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD=AB=DC=BC,∠A= ∠D= 90°. ∵ AE = ED,∴ AE AB = 1 2 . ∵ DF = 1 4 DC,∴ DF DE = 1 2 . ∴ AE AB = DF DE . ∵ ∠A = ∠D = 90°, ∴ △ABE ∽ △DEF; (2)解:∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ED∥BG. ∴ △FDE∽△FCG,∴ ED CG =DF CF . ∵ DF= 1 4 DC,正方形的边长为 4, ∴ ED= 2,CG= 6. ∴ BG=BC+CG= 10. —31— 第 4 课时　 相似三角形的判定(3) 1. B 2. D 　 【解析】 △AOB ∽ △DOE, △AOC ∽ △DOF, △BOC∽△EOF,△DEF∽△ABC. 故选 D. 3. A　 4. C 5. 解: AB AD = BC DE = AC AE , ∴ △ABC ∽ △ADE, ∴ ∠BAC - ∠DAC=∠EAD-∠DAC,∴ ∠BAD=∠EAC=20°. 6. A　 7. C 8. 3 　 【解析】 AB DE = BC EF = AC DF = 2,∴ DF = AC 2 = 6 2 = 3 (cm) . 9. 5 3 或 5 3 　 【解析】当 B′落在边 AD 上,则四边形 ABEB′是正方形,BE=AB = 1 = 3 5 a,a = 5 3 ;当 B′落在 边 DC 上,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD= ∠B = ∠C=∠D= 90°,AD=BC=a. 将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B′落在 CD 边上. ∴ ∠B = ∠AB′E = 90°, AB=AB′= 1. ∴ EB=EB′= 3 5 a,∴ DB′= B′A2 -AD2 = 1-a2 ,EC=BC-BE=a- 3 5 a= 2 5 a. 在△ADB′与△B′ CE 中, ∠B′AD =∠EB′C= 90°-∠AB′D ∠D=∠C= 90°{ ,∴ △ADB′ ∽△B′CE. ∴ DB′ CE = AB′ B′E ,即 1 -a2 2 5 a = 1 3 5 a ,解得 a1 = 5 3 ,a2 = - 5 3 (舍去) . 综上所述,所求 a 的值为 5 3 或 5 3 . 10. 证明: ∵ AB = 6cm,BC = 8cm,AC = 11cm,A1B1 = 18cm,B1C1 = 24cm,A1C1 = 33cm,∴ A1B1 AB = B1C1 BC = A1C1 AC = 3. ∴ △ABC∽△A1B1C1 . 11. 证明:∵ A(3,0),B(0,4),C(4,2), ∴ AB = 32 +42 = 5, BC = 42 +(4-2) 2 = 2 5 ,AC= (3-4) 2 +22 = 5 . ∵ CD⊥x 轴,∴ AD= 4-3 = 1,CD= 2. ∵ AB AC = 5 5 = 5 ,BC CD = 2 5 2 = 5 ,∴ AC AD = 5 . ∴ AB AC =BC CD = AC AD . ∴ △ABC∽△ACD. 12. 解:(1)由勾股定理,得 AB= 2 5 ,AC= 5 ,BC= 5. 显然有 AB2 +AC2 =BC2 . 由勾股定理的逆定 理,得△ABC 为直角三角形. (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由: 根据勾股定理,得 AB = 2 5 ,AC = 5 ,BC = 5,DE= 4 2 ,DF= 2 2 ,EF= 2 10 . ∵ AB DE = AC DF =BC EF = 10 4 ,∴ △ABC∽△DEF. (3)如图,△P2P4P5 . 第 5 课时　 相似三角形的性质 1. A　 2. B 3. 12　 【解析】由题可知 AB A′B′ = AD A′D′ ,即16 4 = AD 3 ,AD = 12(cm) . 4. C 5. 60　 【解析】∵ 6 ∶24 = 1 ∶4,∴ (4+5+6)×4 = 60. 6. 解: ( 1) ∵ ∠A = ∠A, ∠ACD = ∠B, ∴ △ACD ∽ △ABC. ∴ AC AB =AD AC ,∴ AB = AC 2 AD = 4. ∴ DB = 4-1 = 3. (2) ∵ △ACD∽△ABC,∴ △ACD 与△ABC 的 周长比等于 AD ∶AC= 1 ∶2. ∵ △ABC 的周长 为 10,则△ACD 的周长为 5. ∴ CD= 5-AC- AD= 2. 7. B　 8. B 9. 解:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC,∴ △AFD∽△EFB, 又∵ BE ∶EC=3 ∶1,∴ BE ∶BC=3 ∶4,∴ BE ∶AD=3 ∶4, ∴ S△AFD S△EFB = ( 4 3 ) 2 = 16 9 , ∵ S△EFB = 18cm2,∴ S△AFD = 16 9 ×18 = 32(cm2). 10. B 11. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD =BC,DC = AB. ∵ AC = CA,∴ △ADC≌△CBA. ∴ S△ADC =S△ABC . ∵ AE=CF= 1 4 AC,AG∥CD,CH∥AD, ∴ AG ∶DC=AE ∶CE= 1 ∶3,CH ∶AD=CF ∶AF= 1 ∶3. ∴ AG ∶AB= 1 ∶3 =CH ∶BC,∴ BG ∶AB=BH ∶BC= 2 ∶3. ∵ ∠B= ∠B,∴ △BGH∽ △BAC. ∴ S△ADC S△BGH = S△BAC S△BGH = (BA BG ) 2 =( 3 2 ) 2 = 9 4 . ∵ S△ADG S△ADC = 1 3 ,∴ S△ADG S△BGH = 9 4 × 1 3 = 3 4 . 故选 C. 12. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD =BC,AD∥BC,∵ AE DE = 2 3 ,且 AE = 4,∴ DE = 3AE 2 = 3×4 2 = 6,∴ BC=AD=AE+DE= 4+6 = 10,故①正确; ∵ AE∥CB,∴ △AEF∽△CBF,∴ AF CF = EF BF ,∴ AF· BF=EF·CF,故②错误;∵ EF BF = AE BC = 4 10 = 2 5 ,∴ —41— EF BE = 2 7 ,∵ S△AEF = 2 7 S△ABE,且 S△AEF = 8,∴ S△ABE = 7S△AEF 2 = 7×8 2 = 28,设 AD 与 BC 的距离为 h,则 S△ABE = 1 2 ×4h = 28,∴ h = 14,故④正确;∵ S△ACD = 1 2 × 10 × 14 = 70, S△AEF = 8,∴ S四边形CDEF = S△ACD - S△AEF = 70-8 = 62,故③正确;综上所述,①③④正 确. 故选 B. 13. 1　 【解析】延长 BA,CD 交于点 E,∵ AM = 1 3 AB, ∴ AM = 1 2 BM. ∵ AD∥BC, ∴ ∠EAD = ∠EBC, ∠AED = ∠BEC. ∴ △AED ∽ △BEC. ∵ CM 是 ∠BCD 的 平 分 线, 且 CM ⊥ AB, ∴ ∠CME = ∠CMB,∠ECM = ∠BCM,CM = CM,∴ △ECM≌ △BCM,∴ BM=EM = EA+AM = EA+ 1 2 BM. ∴ EA = AM= 1 2 BM= 1 4 BE. ∴ S△AED S△BEC = ( AE EB ) 2 = ( 1 4 ) 2 = 1 16 . ∵ S△ECM = S△BCM = 1 2 S△BEC, ∵ S△BEC = S△AED + S四边形ABCD,S四边形ABCD = 15 7 ,∴ S△BEC = 16 7 ,S△AED = 1 7 , S△ECM = 8 7 . ∴ S四边形AMCD =S△ECM-S△AED = 8 7 - 1 7 = 1. 14. 解:设 AD 与 HG 的交点为 K. 设 EF = 4kcm,EH = 3kcm,则 AK= (12-3k) cm. ∵ 四边形 EFGH 为 矩形,∴ HG∥BC,∴ △AHG∽ △ABC. ∴ GH BC = AK AD ,即4k 24 = 12-3k 12 ,解得 k = 2. 4. ∴ EF = 4×2. 4 = 9. 6(cm),HE= 2. 4×3= 7. 2(cm). ∴ 四边形 EF- GH 的面积=EF·EH= 9. 6×7. 2= 69. 12(cm2). 15. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD = BC,OB =DO,∴ △MND∽ △CNB,∴ MD BC =DN NB . ∵ DM= 2MA,∴ MD= 2 3 AD,∴ DN NB = 2 3 , ∴ DN BD = 2 5 ,∴ DN OD = 4 5 . ∵ ON = 1,∴ OD = 5, BD= 10. (2)∵ MD∥BC,∴ △DMN∽△BCN, ∵ MD BC = 2 3 ,∴ S△MDN S△BNC = ( 2 3 ) 2 = 4 9 , ∵ S△MDN = 4,∴ S△BNC = 9, ∵ DN NB = 2 3 ,∴ S△DCN = 9× 2 3 = 6, ∴ S△BCD = 15,S四边形ABNM = 15-4 = 11. 16. 3 第 6 课时　 相似三角形的应用 1. C 2. A　 【解析】根据题意知,△AED∽△EBF,则AD DE = EF FB . 又∵ DE = EF,∴ DE = AD·FB = 90×10 = 30. 所以,芝麻田的面积为:S芝麻 = 30 × 30 ÷ 240 = 3. 75(亩) . 黍田的面积为:S黍 = 1 2 AC·CB÷ 240 - S芝麻 = 1 2 (AD+DC)(CF+FB)÷240-S芝麻 = 1 2 ×(90+ 30)×(30+10) ÷240-3. 75 = 6. 25(亩) . 综上所述, 芝麻田 3. 75 亩,黍田 6. 25 亩. 故选 A. 3. 15 2 　 【解析】 ∵ AB ⊥ BE,DC ⊥ EC, AE ⊥ DE. ∴ ∠AEB= ∠EDC,∠ABE = ∠ECD = 90°. ∴ △ABE∽ △ECD. ∵ BC= 8,BE= 3,∴ EC= 8-3 = 5(米) . ∴ AB EC =BE DC . ∴ DC=EC·BE AB = 5×3 2 = 15 2 (米) . 4. 6　 【解析】由题可知△BCA∽△EDA,∴ BC CA = DE DA , 即 1. 8 DA+1 = 1. 5 DA ,∴ DA = 5(m) . ∴ CA = 5+1 = 6(m) . 即甲的影子为 6m. 5. 2. 3 　 【解析】如图,连结 AC、 QN 并延长 QN 交 PM 的延长 线于 D 点,由题可知△ABC∽ △QPD∽△NMD. ∴ AB BC = QP PD = MN MD ,PD = PM +MD = 1. 2 +MD,即 2 1. 6 = PQ 1. 2+MD = 0. 8 MD ,∴ MD= 0. 64m,PQ= 2. 3m. 6. 解:过点 C 作 CM∥AB,交 EF,AD 于 N,M, 作 CP⊥AD,交 EF,AD 于 Q,P. 由题意,得四边形 ABCM 是平行四边形, ∴ EN=AM=BC= 20cm. ∴ MD=AD-AM= 50-20 = 30(cm). 由题意知 CP= 40cm,PQ= 8cm,∴ CQ= 32cm, ∵ EF∥AD,∴ △CNF∽△CMD, ∴ NF MD =CQ CP ,即NF 30 = 32 40 . 解得 NF= 24cm, ∴ EF=EN+NF= 20+24 = 44(cm), 即横梁 EF 应为 44cm. 7. A　 【解析】由题意得∠AGC = ∠FGE,∵ ∠ACG = ∠FEG= 90°,∴ △ACG∽△FEG ,∴ AC FE = CG EG . ∵ CG = 15m,EG= 3m,FE= 1. 6m. ∴ AC = 8m,∴ AB = AC+ BC= 8. 5(m) . 故选 A. 8. 解:(1)设敏敏的影长为 xcm. 根据题意,得150 x = —51— 90 60 , 解得 x= 100. 经检验,x = 100 是原分式方程 的解. ∴ 敏敏的影长为 100cm; (2)如图,连结 AE,过点 F 作 FC ∥EA 交 AB 于点 C. ∵ AB∥EF,∴ 四边形 ACFE 是平行四边形. ∴ AC=EF= 150cm. 设 BC= ycm. 根据题意, 得 BC 落在地面上的影长为 120cm, ∴ y 120 = 90 60 ,解得 y= 180. ∴ AB=AC+BC= 150+180 = 330(cm). ∴ 高圆柱的高度为 330cm. 9. (1)证明:∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB= ∠BDC. ∵ ∠ABD = ∠BCD = 90°, ∴ △ABD ∽ △BCD, ∴ BD CD = AD BD . ∴ BD2 =AD·CD; (2)解:∵ MB∥CD,∴ ∠DBM= ∠BDC, ∠CBM+∠BCD= 180°,∴ ∠CBM= 90°. 而∠ADB = ∠BDC, ∴ ∠ADB = ∠DBM, ∴ BM=DM, ∵ ∠DBM+∠ABM= 90°,∠ADB+∠A= 90°, ∴ ∠ABM= ∠A,∴ BM = AM,∴ BM = 1 2 AD = 4. BD2 =AD·CD= 8×6 = 48. 在 Rt△BCD 中,由勾股定理, 得 BC= BD2 -CD2 = 48-62 = 2 3 . 在 Rt△BCM 中,由勾股定理, 得 CM= BM2 +BC2 = 42 +(2 3 ) 2 = 2 7 . 10. 解:(1)由题意知,BM= 3tcm,CN= 2tcm, ∴ BN = ( 8 - 2t) cm, BA = 62 +82 = 10 (cm) . 当△BMN∽△BAC 时,BM BA =BN BC , ∴ 3t 10 = 8-2t 8 ,解得 t= 20 11 . 当△BMN∽△BCA 时,BM BC =BN BA , ∴ 3t 8 = 8-2t 10 ,解得 t= 32 23 . ∴ 当△BMN 和△ABC 相似时,t 的值为20 11 或 32 23 ; (2)过点 M 作 MD⊥CB 于点 D,∵ AC⊥CB, MD⊥CB,∴ △BMD∽△BAC,∴ DM = 9 5 t ( cm),BD = 12 5 t ( cm),BM = 3tcm,CN = 2tcm,∴ CD = ( 8 - 12 5 t) cm. ∵ AN⊥CM, ∠ACB = 90°, ∴ ∠CAN + ∠ACM = 90°, ∠MCD+∠ACM = 90°. ∴ ∠CAN = ∠MCD. ∵ MD⊥CB, ∴ ∠MDC = ∠ACB = 90°, ∴ △CAN ∽ △DCM, ∴ AC CN = CD DM , ∴ 6 2t = 8-12 5 t 9t 5 ,解得 t= 13 12 或 t= 0(舍去) . ∴ t= 13 12 . 23. 4　 中位线 1. B　 2. B 3. 证明:连结 EF,∵ E、F 分别是 AC、BC 的中点, ∴ EF∥AB,EF AB = 1 2 . ∴ △ADB∽△FDE, ∴ AD DF =BD DE = 2. ∴ AD AF =BD BE = 2 3 . 4. D　 5. B　 6. A 7. C　 【解析】由题可知 M,N 分别为 AD、AE 的中点, △ABE 和△ACD 是等腰三角形. 即 AB = BE,AC = CD,周长 AB+AC+BC = 19,BE+DC+BC = 19,2BC+ DE= 19,∵ BC = 7,∴ DE = 5,∵ MN 为△ADE 的中 位线,∴ MN= 1 2 DE= 5 2 . 故选 C. 8. A　 【解析】延长 CF 交 AB 与 G,∵ AD 为△ABC 的 角平分线,CG 垂直 AD,∴ △ACG 是等腰三角形,∴ AG=AC= 4,FG=CF,∴ BG = AB-AG = 6-4 = 2,∵ AE 为△ABC 的中线,∴ EF 是△BCG 的中位线,∴ EF = 1 2 BG= 1. 故选 A. 9. B　 【解析】延长 BN 交 AC 于点 D,∵ BN⊥AN,AN 平分∠BAC,∴ AB=AD,且 N 是 BD 的中点,∵ M 是 BC 中点,∴ CD= 2MN,∴ AC=AD+DC=AB+2MN= 8 +3×2 = 14. 故选 B. 10. 1 ∶4　 【解析】延长 PQ 分别交 AB、AC 于点 M、N, 由题可知 MQ = 1 2 BC,PN = 1 2 BC,MP = QN = 1 2 ED,ED= 1 2 BC. 则 MQ+PN=MP+PQ+PQ+QN=ED +2PQ= 1 2 BC+2PQ=BC. ∴ PQ= 1 4 BC,即 PQ ∶BC = 1 ∶4. 11. 4. 5 12. 解:∵ 点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点, ∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC,∴ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = (DE BC ) 2 = 1 4 . ∵ △ADE 的面积为 S,∴ S△ABC = 4S. —61—