8.3 列联表与独立性检验课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3列联表与独立性检验 1.分类变量 在现实生活中,人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间 是否存在关联性或互相影响的问题. 例如:就读不同学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于 体育锻炼的时间是否存在区别,吸烟是否会增加患肺癌的风险等。 在讨论上述问题时 , 为了表述方便 , 我们经常会使用一种特殊的随机变量 , 以区别 不同的现象或性质 , 这类随机变量称为分类变量. 分类变量:用实数表示不同的现象或性质. 如:班级:1、2、3, 男生、女生:0、1. 本节主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性 问题1:为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本 校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生 的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼,601名男生中有473名经常锻炼.你能利 用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 解1:比较经常锻炼的学生在女生和男中的比率. f0 = 经常 生数,f1 = 经常 生数. ≈ 0.633,f1 = ≈ 0.787. f1 0 = 0.787-0.633=0. 154. 男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点,所以该校的女生和男生在体育锻 炼的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼. 男生总数 锻炼的男 女生总数 锻炼的女 若性别对体育锻炼的经常性没有影响,可描述为 P (Y = 1 X = 0) = P(Y = 1 X = 1) 若性别对体育锻炼的经常性有影响,可描述为 P (Y = 1 X = 0) ≠ P(Y = 1 X = 1) 性别 锻炼 合计 不经常(Y =0) 经常(Y =1) 女生(X =0) 192 331 523 男生(X =1) 128 473 601 合计 320 804 1124 P(Y = 1X = 1)>P(Y = 1X = 0) [0,该生不经常锻炼, Y = { 0,该生为女生, 1,该生为男生,, 解2: 对于 中的每一名学生,分别令 ∴性别对体育锻炼的经常性有影响 l1 ,该生经常锻炼, [ X = { l X Y 合计 Y =0 Y=1 X =0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b +d n =a+b +c+d 2.2 2列联表的概念 分类变量X和Y的抽样数据的2 2列联表 2 2列联表给出成对分类变量数据的交叉分类频数 例1.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生. 通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名 数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 解:用 表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以 为样本空间的古典概型.对 于 中每一名学生,定义分类变量X和Y如下: 因此,甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 ≈ 0.7674, ≈ 0.2326. 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 ≈ 0.8444, ≈ 0. 1556. 学校 数学成绩 合计 不优秀 Y= 优 = 甲校 ( 乙校(X 1) 38 7 合计 71 17 [0, 该生数学成绩不优秀, Y = { 0, 该生来 自 甲校, 1,该生来 自 乙校,, l 1 ,该生数学成绩优秀, [ X = { l 两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法: (1)频率分析法:通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频 率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系. (2)图形分析法:与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是 否互相影响,常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征. 你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的? 有可能 “两校学生的数学成绩优秀率存在差异 ”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出 来的.有可能出现这种情况:在随机抽取的这个样本中,两个频率间确实存在差异,但 两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言,因为频率具有随 机性,频率与概率之间存在误差,所以我们的推断可能犯错误,而且在样本容量较小时, 犯错误的可能性会较大.因此,需要找到一种更为合理的推断方法, 同时也希望能对出 现错误推断的概率有一定的控制或估算. 独立性检验方法 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如果零假设H0成立,则应 满足 ≈ , 即ad-bc≈0.因此在列联表中|ad-bc|越小,说明两个分类变量之间 关系越弱 ; |ad-bc|越大,说明两个分类变量之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准 基于上述分析 我们构造一个随机变量 用 2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它比较大时推断H0不成 立,否则认为H0成立。这种利用 2 的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为 2 独立性检验,读作“卡方独立性检验 ”,简称独立性检验(test of independence). 3.独立性检验公式及定义 提出零假设(原假设)H0 :分类变量X和Y独立 4.临界值的定义 对于任何小概率值 , 可以找到相应的正实数x , 使得P(x≥x )= 成立,我们称x 为 的临界值,这个临界值可作为判断 2大小的标准,概率值 越小,临界值x 越大. 2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 基于小概率值 的检验规则: 当 2 ≥x 时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过 , 即大约有(1- ) 的可能性认为X和Y有关系; 当 2 <x 时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例2 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法 对治疗情况进行检查,得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名,其中未治愈 15名,治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概 率值 =0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 解:零假设为H0:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据的列联表, 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 没有充分证据推断H0不成立, 因此可以认为 H0成立,即认为 两种疗法效果没有差异. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 0.001 52,60 则当m取下面何值时,X与Y的关系最弱 A.8 B.9 √C.14 D.19 解析 由10 26≈18m ,解得m ≈14.4 ,所以当m =14时,X与Y的关系最弱. y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 在列联表中|ad-bc|越小,说明两个分 类变量之间关系越弱 ; |ad-bc|越大, 说明两个分类变量之间关系越强. 3.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1 ,x2}和{y1,y2}, 其2 2列联表为 X Y 合计 Y =0 Y=1 X =0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b +d n =a+b +c+d 因为|ad-bc|的值越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,故选A. 5.在2 2列联表中,两个比值相差越大 , 两个分类变量有关系的可能性就越大 ,那 么这两个比值为 √ 6.(1)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算的 2为5.003 ,又 已知P( 2 ≥3.841) =0.05 ,P( 2 ≥6.635) =0.01 ,则下列说法正确的是 ( ) √A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“X和Y有关系 ” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“X和Y没有关系 ” C.依据小概率值 =0.01的独立性检验,认为“X和Y有关系 ” D.依据小概率值 =0.01的独立性检验,认为“X和Y没有关系 ” 解: ∵ 3.841 =x0.05< 2 =5.003<6.635 =x0.01 ,又P( 2 ≥3.841) =0.05, : 依据小概率值 =0.05的独立性检验,在犯错误的概率不超过5%的前提 下,即大约95%的可能性认为“X和Y有关系 ”. x 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)有关独立性检验的四个命题,其中不正确的是 ( ) A.两个变量的2 2列联表中,对角线上数据的乘积之差的绝对值越大, 说明两个变量有关系成立的可能性就越大 B.对分类变量X与Y的随机变量 2来说, 2越小,认为“X与Y有关系 ”的 犯错误的概率越大 √C.由独立性检验可知:在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为秃顶与患心脏病 有关,我们说某人秃顶,那么他有95%的可能患有心脏病 D.依据小概率值 =0.01的独立性检验,认为吸烟与患肺癌有关,是指在犯错误的概 率不超过1%的前提下,即大约有99%的可能性认为吸烟与患肺癌有关 √ √ x 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析 由题意可知 a>5 ,且15-a>5 ,a∈Z, 8.(多选)针对时下的“抖音热 ”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关 ”作了一次调 查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ,女生喜欢抖音 的人数占女生人数的 ,若在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为是否喜欢抖音和性别 有关,则调查人数中男生可能有( )人 A.25 √B.45 √C.60 D.75 解析 设男生的人数为5n(n ∈N*) ,根据题意列出2 2列联表如表所示: 男生 女生 合计 喜欢抖音 4n 3n 7n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 5n 5n 10n 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 :n=9,10,11,12 : 5n=45,50,55,60 则x0.05=3.841≤ 2<6.635=x0.01, 得8.066 1≤n<13.933 5, P67-71 课外资料相应练习 $$