2.5.1 直线与圆的位置关系6题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.5.1直线与圆的位置关系6题型分类 一、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二、直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 三、求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． （一） 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系 1．几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 (1)直线与圆相离无交点； (2)直线与圆相切只有一个交点； (3)直线与圆相交有两个交点. 2．代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： (1)当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交. (2)当时，直线与圆有1个交点，直线与圆相切. (3)当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 题型1：判断直线与圆的位置关系 1-1．（2024高二下·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 1-2．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 1-4．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 2-1．（2024高二下·上海静安·期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 . 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C：，直线，若直线l与圆C总有交点，则r的取值范围为 2-3．（2024高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值 3-1．（2024·广西·模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·河南南阳·期末）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 . （二） 圆的弦长问题 直线与圆相交时的弦长求法： 1．几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：. 2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. 3．弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长. 题型4：圆的弦长问题 4-1．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 4-2．（2024高二下·四川凉山·期末）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（    ） A．2 B． C． D．3 4-3．（2024高二上·四川凉山·期末）过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 4-4．（2024高二下·浙江·阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求圆在轴截得的弦长． 4-5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 4-6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 4-7．（2024高二下·上海黄浦·期末）设直线与圆相交所得弦长为，则 ； （三） 求圆的切线方程 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 题型5：求圆的切线方程 5-1．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 5-2．（2024·北京通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 5-3．（2024·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 5-4．（2024高二上·福建福州·期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 5-5．（2024·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是 . 5-6．（2024高三下·湖北·阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . （四） 直线与圆的实际应用 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 题型6：直线与圆的实际应用 6-1．（2024高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程. (2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由. 6-2．（2024高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 6-3．（2024高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（    ） A． B． C．3 D．5 2．（2024高二下·海南·学业考试）若直线：与圆：交于A，B两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（    ） A．16 B．25 C．49 D．81 4．（2024高二下·上海黄浦·期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 5．（2024高二下·陕西安康·期末）坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 9．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 11．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 12．（2024·湖南益阳·三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 13．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 14．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线l：，则（    ） A．存在，使得l与圆C相切 B．对任意，l与圆C相交 C．存在，使得圆C截l所得弦长为1 D．对任意，存在一条直线被圆C截，所得弦长为定值 15．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 三、填空题 16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是 ． 17．（2024·陕西西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 . 18．（2024高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 19．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 20．（2024高二下·浙江·期末）若直线截圆所得弦长，则的值为 . 21．（2024高二下·江苏南京·期末）已知直线：与圆交于两点，则 . 22．（2024·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为 23．（2024高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 24．（2024高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 25．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 26．（2024高二下·天津西青·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 27．（2024高三·全国·课后作业）已知圆，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且，则直线l的方程是 . 28．（2024高二上·江苏盐城·期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 29．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 . 四、解答题 30．（2024高二下·河北张家口·阶段练习）已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. (1)求该圆的方程； (2)求过点的该圆的切线方程. 31．（2024高二下·四川内江·开学考试）已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点. (1)若，求b的值； (2)若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值； (3)当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 32．（2024高二上·江西萍乡·期末）已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 33．（2024高二上·福建宁德·期中）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 34．（2024高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 35．（2024高二下·湖北·阶段练习）已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 36．（2024高三·全国·专题练习）（1）求函数的最大值和最小值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）已知，求的最值． 37．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 38．（2024高二上·全国·课后作业）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 (1)求圆O的方程； (2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 浙江省丽水市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知圆经过点和，且圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程． 40．（2024高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 41．（2024高二·全国·课后作业）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求m的值； (2)若，求圆的面积． 42．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 43．（2024高二下·广西柳州·期中）已知圆：，直线：. (1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程. 44．（2024高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 45．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过点、，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值. 46．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.5.1直线与圆的位置关系6题型分类 一、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二、直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 三、求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． （一） 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系 1．几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 (1)直线与圆相离无交点； (2)直线与圆相切只有一个交点； (3)直线与圆相交有两个交点. 2．代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： (1)当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交. (2)当时，直线与圆有1个交点，直线与圆相切. (3)当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 题型1：判断直线与圆的位置关系 1-1．（2024高二下·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系. 【详解】由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 1-2．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：即，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】已知直线过定点， 将点代入圆的方程可得， 可知点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. 1-4．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 【答案】B 【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断． 【详解】由可得， 故圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆C相切． 故选：B 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 2-1．（2024高二下·上海静安·期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率即可. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1， 当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，由题意， 所以，平方化简得，解得或. 故答案为：或. 2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C：，直线，若直线l与圆C总有交点，则r的取值范围为 【答案】 【分析】直线l与圆C总有交点，则直线所过定点在圆内或圆上，列出不等式求解. 【详解】由l方程知，则l过定点， 若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上. 又因为圆C的圆心坐标为，半径为r， 则，即r的取值范围为. 故答案为： 2-3．（2024高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 题型3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值 3-1．（2024·广西·模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化为，求得直线过定点，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，直线可化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由，可得定点在圆内， 由圆的几何性质知，圆心到直线的距离． 故选：B. 3-2．（2024高二下·河南南阳·期末）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值. 【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点， 因为，所以无论m取何值，都有， 所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为， 设，则点P的轨迹方程为， 圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为． 由题可知，，则， 所以的面积的最小值为． 故选：B    3-3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】1 【分析】设，利用圆的方程可求出直线的方程为，再结合P是直线上的动点，可求得直线AB过定点，即可确定当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，即得答案. 【详解】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为， 则在以为直径的圆上，该圆的方程为， 将和相减得：， 即得到直线的方程为， 又因为点P是直线，故， 则直线的方程为，即， 当且，即，时该方程恒成立， 所以直线AB过定点， 当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大， 此时最大值即为Q，M之间的距离，而， 即点到直线AB的距离的最大值为1， 故答案为：1 （二） 圆的弦长问题 直线与圆相交时的弦长求法： 1．几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：. 2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. 3．弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长. 题型4：圆的弦长问题 4-1．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】，则圆C的圆心为，半径为， 圆心C到直线l（弦AB）的距离为， 则， 则到弦AB的距离的最大值为， 则面积的最大值是. 故答案为： 4-2．（2024高二下·四川凉山·期末）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，由垂径定理列出方程，求出答案. 【详解】整理得，故圆心为，半径为， 当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，    其中， 由垂径定理得，即，解得， 故选：D 4-3．（2024高二上·四川凉山·期末）过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】根据圆的性质得到过点与圆心垂直时，此时弦长最短，求得，即可求得直线的斜率. 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短， 因为，所以直线的斜率为. 故选：D. 4-4．（2024高二下·浙江·阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求圆在轴截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可； （2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为, 则. 化简得，解得, 所以点坐标为， 半径， 故圆的方程为. （2）圆心到轴的距离为， 所以圆在轴截得的弦长为. 4-5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦长. 【详解】由，得，则圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为 所以，解得． 故答案为： 4-6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 则圆心到直线的距离， ，，， ， （当且仅当时取等号）， 则当的面积最大时，，又，解得：. 故选：C. 4-7．（2024高二下·上海黄浦·期末）设直线与圆相交所得弦长为，则 ； 【答案】 【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线，即的距离， 由圆的弦长公式，即，得， 所以，解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. （三） 求圆的切线方程 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 题型5：求圆的切线方程 5-1．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 . 【答案】/0.75 【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解． 【详解】由题意圆心为，半径为2， 所以，解得． 故答案为：． 5-2．（2024·北京通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长. 【详解】如图所示，圆心为，连接，    因为直线，关于对称，所以垂直于直线， 故，而， 所以. 故选：C 5-3．（2024·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】解：圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离相等，即， 化简得， 解得，， 综上：直线方程为：， 故答案为： 5-4．（2024高二上·福建福州·期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得. 【详解】圆：，即，圆心为，半径， 又，所以点在圆上，且， 所以切线的斜率，所以切线方程为，即. 故选：C 5-5．（2024·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】 将点代入直线上得到的轨迹圆，数形结合法求直线OP的斜率的取值范围. 【详解】由题设，则， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，    如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小）， 当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为， 结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为， 由图知：直线OP的斜率的取值范围是. 故答案为： 5-6．（2024高三下·湖北·阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值 【详解】设，则有①， 又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，， 则点均在以为直径的圆上，设的中点为， 则圆的方程为， 化简得； 直线即为两圆的公共弦，所以对于和， 两式相减可得直线的方程为， 由①可得，，整理得， 由得 故直线过定点， 因为，说明在圆内， 当时，此时最小，为 故答案为： （四） 直线与圆的实际应用 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 题型6：直线与圆的实际应用 6-1．（2024高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程. (2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程； （2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论. 【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上， 设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为， 因为点、在圆上，则，解得，。 所以，圆弧所在圆的方程为， 因此，圆弧的方程为. （2）解：此火车不能通过该路口， 由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米， 所以货车右侧的最高点的坐标为， 因为，因此，该货车不能通过该路口. 6-2．（2024高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】 （1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 6-3．（2024高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】 （1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案. 【详解】的圆心为，半径为， 因为直线，与相切， 所以，即， 所以可设， 所以，其中， 故选：B 2．（2024高二下·海南·学业考试）若直线：与圆：交于A，B两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线所过的定点，结合圆的性质可得最小时，周长最小，进而根据垂直关系可得答案. 【详解】直线：的方程可化为，∴直线过定点，又∵，∴点D在圆C内． 由圆的性质可知当时，最小，此时的周长最小， 又，，∴，则． 故选：C. 3．（2024·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（    ） A．16 B．25 C．49 D．81 【答案】C 【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可. 【详解】由直线与圆相切可得： 圆心到直线的距离等于圆的半径， 即， 故，即点在圆O上， 的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方， 由圆心为， 因为， 所以点在圆外， 所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和， 即， 所以的最大值为. 故选：C. 4．（2024高二下·上海黄浦·期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果. 【详解】因为化为标准方程为， 所以圆心，圆的半径， 又因为圆心C到直线的距离为， 所以， 所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线的距离为的点共有3个. 故选：B. 5．（2024高二下·陕西安康·期末）坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论. 【详解】圆，即圆， 所以圆，半径， 因为圆心到轴的距离为1，且， 所以圆与轴相交，即与轴有两个交点， 因为圆心到轴的距离为2，且等于半径， 所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点， 综上坐标轴与圆有3个交点， 故选：C 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 找到圆上的点到直线距离的最大值作为的高，再由面积公式求解即可. 【详解】把圆变形为， 则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的最大值为，又， ∴的面积的最大值为． 故选：A． 7．（2024·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可. 【详解】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又， 所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离， 解得， 故选：C 8．（北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可. 【详解】圆：中，圆心，半径 设，则， 则, 当时，， 故选：C 9．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值. 【详解】圆，设， 则，则，， 则，所以圆心到直线的距离是， ，得，． 故选：A． 10．（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，即可得到当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，再由勾股定理即可得到结果. 【详解】圆C：的圆心，半径为2， 由直线l：为， ∴直线l过定点， 又，∴P在圆C内部， 当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小， ∵， ∴弦AB长的最小值为. 故选：C. 11．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将问题转化为半圆位于直线下方的区间长度为2，由此可得，求出直线与半圆的交点坐标即可求得的值. 【详解】解：如图所示： 因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆， 表示过坐标原点及第一三象限内的直线， 又因为不等式的解集为区间，且, 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以， 所以直线与半圆的交点， 所以. 故选：C. 12．（2024·湖南益阳·三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案. 【详解】是斜率为的直线， 曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆， 画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，（舍去）， 当直线过时，, 由图可以看出： 当时，直线与半圆有两个公共点， 故选：    13．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数. 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 二、多选题 14．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线l：，则（    ） A．存在，使得l与圆C相切 B．对任意，l与圆C相交 C．存在，使得圆C截l所得弦长为1 D．对任意，存在一条直线被圆C截，所得弦长为定值 【答案】BD 【分析】先求出圆的圆心及半径，求出圆心到直线的距离即可判断AB；若截所得弦长为1，则，解关于的方程即可判断C；圆的方程可变形为，令，求出交点坐标，从而可判断D． 【详解】由题意得圆，所以圆心，半径， 对于A，B：易知圆心到直线的距离， 所以恒成立， 所以，即对任意，l与相交，故A错误，B正确； 对于C：若截所得弦长为1，则，即， 因为，所以关于的方程无实数解， 即不存在，使得圆截所得弦长为1，故C错误； 对于D：圆的方程可变形为， 令，解得，所以圆过定点和， 所以存在直线被圆截，所得弦长为定值，故D正确. 故选：BD． 15．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确；    对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知将问题转化为圆上一点到直线与圆交点的最小距离. 【详解】由题意可知，的最小值即为圆上一点到直线与圆交点的最小距离， 圆心，半径，圆心到直线的距离为， 由题意可知． 故答案为：. 17．（2024·陕西西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 . 【答案】 【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值. 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 18．（2024高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【分析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，由可求得，圆心，可得圆的方程；由题意设，代入圆的方程可求支柱的高度． 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 19．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 . 【答案】12 【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长及圆心到直线得距离，即可求的面积. 【详解】圆：，得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，因此， 所以. 故答案为：. 20．（2024高二下·浙江·期末）若直线截圆所得弦长，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据直线截圆的弦长公式计算. 【详解】圆心到直线的距离为 ， 由得，解得或， 故答案为：或 21．（2024高二下·江苏南京·期末）已知直线：与圆交于两点，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得. 故答案为：. 22．（2024·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为 【答案】 【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解. 【详解】由，得， 因为直线平分圆C， 所以该直线经过圆心C，得，解得. 则， 当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意， 所以圆C以点为中点的弦弦长为. 故答案为：. 23．（2024高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 24．（2024高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 25．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【答案】 【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 26．（2024高二下·天津西青·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解. 【详解】圆的圆心， ∵，则点在圆上，即点为切点， 则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率， 故切线的方程，即. 故答案为：. 27．（2024高三·全国·课后作业）已知圆，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且，则直线l的方程是 . 【答案】 【分析】当直线的斜率不存在时，求出的坐标，经计算可知，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线，联立直线与圆的方程，根据韦达定理得和，再求出，根据，解方程得，即可求出直线的方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，，联立，得或， 不妨设，，则，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设，， 则，， 则， 所以, 解得，， 所以直线l的方程是. 故答案为： 28．（2024高二上·江苏盐城·期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】圆的圆心为， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接． 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为．    故答案为：. 29．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由圆的垂径定理可得，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案. 【详解】圆， 所以圆心为，半径为4，设， 由线段AB的中点为D，可得， 即有， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； 故答案为：. 四、解答题 30．（2024高二下·河北张家口·阶段练习）已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. (1)求该圆的方程； (2)求过点的该圆的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程； （2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 圆心到直线的距离为， 又圆被直线截得的弦长为，， 圆的方程为：. （2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由得：，切线方程为，即， 综上所述：过点的圆的切线方程为或. 31．（2024高二下·四川内江·开学考试）已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点. (1)若，求b的值； (2)若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值； (3)当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，定圆. 【分析】（1）根据可知直线过圆的圆心，可得； （2）由得原点到直线的距离为，得，再根据面积得，联立消去可得的值； （3）联立直线与圆，化为关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理可得和，利用和，将化为，利用求出点到直线的距离为，由此可得结果. 【详解】（1）因为，又在圆上， 所以直线过圆的圆心，所以. （2）因为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，得， 当时，直线与坐标轴不能围成三角形，故， 在中，令，得；令，得， 所以，得， 所以，解得或， 所以或. （3）联立，消去并整理得， ，即， 设，， 则，， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点到直线的距离为， 所以直线与以为圆心，为半径的圆相切， 所以存在一个定圆，使得直线与圆相切. 32．（2024高二上·江西萍乡·期末）已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，先得到点在圆上，从而根据垂直关系求出直线的斜率，得到直线的一般式方程；选②，求出，从而得到直线的一般式方程；选③，根据直线的一个方向向量求出的斜率，求出直线的一般式方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长. 【详解】（1）若选①：因为，故点在圆上， 且圆心与连线的斜率为， 因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2； 所以直线的一般式方程为； 若选②：设直线的倾斜角为，由得； 故直线的斜率； 所以直线的一般式方程为； 若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率； 所以直线的一般式方程为 （2）曲线，即； 故为圆，圆心为，半径为； 则圆心到直线的距离为； 所以弦长. 33．（2024高二上·福建宁德·期中）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，取得最大值时 【分析】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令得到不等式求解，结合即可得到答案； （2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）解法一： 由题意知：圆心到直线的距离 ， 因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形， 所以，得，解得且， 所以的取值范围为. 解法二： 联立，化简得： ，得， 因为A，B，O三点构成三角形，所以 所以的取值范围为. （2）直线：，即， 点O到直线距离：， 所以 所以，（且） 设，则， 所以 所以当，即，即时， 所以的最大值为2，取得最大值时. 34．（2024高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)为定值，且 【分析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. 【详解】（1）解：直线与直线垂直，且，. 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：，. ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又，. ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 35．（2024高二下·湖北·阶段练习）已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，此时直线方程为 【分析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证； （2）根据直线垂直于时，有最小值可解. 【详解】（1）直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. （2）直线经过圆内定点，圆心， 记圆心到直线的距离为d. 因为，所以当d最大时，取得最小值， 所以当直线时，被圆截得的弦最短， 此时， 因为，所以直线的斜率为，又直线过点， 所以当取得最小值时，直线的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线方程为.    36．（2024高三·全国·专题练习）（1）求函数的最大值和最小值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）已知，求的最值． 【答案】（1）最大值为2，最小值为1；（2）；（3）；（4）最大值为3，最小值 【分析】（1）利用三角换元法，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求解； （2）利用三角换元法，令，，结合辅助角公式及三角函数的性质求解； （3）解法一：利用三角换元法，设，结合辅助角公式及三角函数的性质求解； 解法二：由解法一得，则为与点连线的斜率，数形结合可求得结果； （4）令，，则，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）由于，故可令． 则原式变为． ， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． （2）函数的定义域为，令，． 则． 由于，． 而当时，为减函数，此时， 当时，为增函数，此时． 故函数的值域为． （3）解法一： ，可设． 则． 设，则，从而． （其中，）． ，，，且，， ，故函数的值域为． 解法二： 由解法一得， 则为与点连线的斜率． 设过点的直线方程为，即，显然， 点在半圆上，      当直线与半圆，相切时，，解得， 数形结合易得，即．． 故函数的值域为． （4）令，，则． 又． 当，时，； 当，时，． 37．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又圆心在， 联立，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的方程为.   . （2）因为，所以在圆外， 过作圆的切线， 若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切， 若切线斜率存在时，设切线方程，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上：切线方程为或. 38．（2024高二上·全国·课后作业）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 (1)求圆O的方程； (2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据圆与直线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案； （2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案. 【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切， 故圆的半径为， 故圆的方程为. （2）当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切； 故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为， 即，则，解得或， 故切线方程为或． 39．（浙江省丽水市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知圆经过点和，且圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)和. 【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可； （2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可. 【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，， ∴AB的垂直平分线为：， 由解得圆心，半径 故圆的方程为； （2）若直线的斜率存在，方程可设为，即 圆心到直线的距离为，解得， 所求的一条切线为； 当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切， 所以直线的方程为和． 40．（2024高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】(1)设，代入即可得到曲线C的方程. (2)由以AB为直径的圆过原点可以得到，利用韦达定理法即可求解. 【详解】（1）设，因为，故， 即，整理可得 所以曲线C的方程为. （2）设 联立整理得 得         ① 根据韦达定理得： 由以AB为直径的圆过原点，得到 所以 解得     满足①式 所以存在实数，使得以AB为直径的圆过原点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 41．（2024高二·全国·课后作业）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求m的值； (2)若，求圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案； （2）设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，从而可得圆的半径，即可得出答案. 【详解】（1）解：圆的圆心为， 半径，其中， 圆心到直线的距离， ，解得； （2）解：设， 联立，消得， ， 则， 又， 因为，所以， 即， 即， 所以，解得满足， 此时圆的半径， 所以圆的面积为. 42．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 【答案】(1)； (2)，；. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答. （2）利用点到直线的距离公式，求出边AB上的高，再求出弦AB长即可求解作答. 【详解】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内， 由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线， 直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即， 所以该直线的方程为. （2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得， 又直线l不过圆心，即，因此且， ， 的面积， 因为且，则，当，即或时，， 所以，，当或时，. 43．（2024高二下·广西柳州·期中）已知圆：，直线：. (1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （2）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程. 【详解】（1）圆的圆心为,半径为, 设圆心到直线的距离为d，因为，则，解得， 所以，， 故直线方程为或. （2）直线l：，过定点， 设弦AB的中点，则， 所以，即， 所以弦AB的中点的轨迹方程为.    44．（2024高二上·山东滨州·期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，将直线与直线的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据圆心到直线的距离求出直线的斜率，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又因为圆的圆心在直线上， 由，解得，即，圆的半径， 所以，圆的方程为． （2）解：设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 因为圆心为，所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或. 45．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过点、，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程； （2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【详解】（1）的中点为，斜率， 则直线的中垂线为 联立，解得， 即， 圆的方程为. （2）由于，点到直线的距离， 即，解得 46．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程； （2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解. 【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$