第一讲菱形的性质与判定基础讲义（10个考点梳理）-2024-2025学年 北师大版九年级上册

第一讲 菱形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．菱形的定义： 2 2．菱形的性质： 2 3．菱形的面积： 2 4．菱形的判定： 2 【考点一】利用菱形的性质求角度 3 【考点二】利用菱形的性质求长度 4 【考点三】菱形的面积公式及运用 5 【考点四】利用菱形的性质证明 6 【考点五】菱形的判定：利用定义判定 8 【考点六】利用对角线特征判定菱形 9 【考点七】利用边的特征判定菱形 10 【考点八】添条件判定菱形 11 【考点九】含60°的菱形 13 【考点十】利用菱形的性质与判定证明 15 【课堂过关检测】 17 【综合达标训练】 23 【知识清单】 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 3．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 4．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 【考点归纳】 【考点一】利用菱形的性质求角度 【例1】（2024•茅箭区校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【针对训练】1、（2024春•鞍山期末）如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　 　． 【针对训练】2、（2024春•临沂月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E、F分别是边AB、BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【针对训练】3、（2024•铜山区二模）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A．55° B．57.5° C．60° D．62.5° 【考点二】利用菱形的性质求长度 【例2】（2024春•桥西区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．30 B．20 C．15 D．12 【针对训练】1、（2024春•禹州市期末）如图，在菱形ABCD中，CE垂直平分AB，若AE＝4，则BD的长为（　　） A．8 B． C． D． 【针对训练】2、（2024春•池州月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，BD＝8，则OM的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【针对训练】3、（2024春•船营区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，E是AC的中点，F是AB的中点，连接EF，则EF＝　 　． 【考点三】菱形的面积公式及运用 【例3】（2024春•宜兴市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　） A． B． C． D．4 【针对训练】1、（2024•江南区校级开学）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB＝7，BD＝6，则CE的长是 　 　． 【针对训练】2、（2024春•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积是 　 　． 【针对训练】3、（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，求出DE的长度． 【考点四】利用菱形的性质证明 【例4】（2024春•金东区期末）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【针对训练】1、（2024春•桦甸市期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：DE＝DF． 【针对训练】2、（2024春•安次区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 【针对训练】3、（2024•仪陇县模拟）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连结BE． （1）求证：△DCE≌△BCE； （2）求证：∠AFD＝∠EBC． 【考点五】菱形的判定：利用定义判定 【例5】（2024•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 【针对训练】1、（2023•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE 【针对训练】2、（2023•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【针对训练】3、（2023春•金安区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AO，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 【考点六】利用对角线特征判定菱形 【例6】（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【针对训练】1、（2024•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 【针对训练】2、（2024春•青龙县期末）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由． 【针对训练】3、（2024春•山阳县期末）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接DE，DF，BE，BF． （1）求证：DE＝BF； （2）当AB＝AD时，求证：四边形DEBF为菱形． 【考点七】利用边的特征判定菱形 【例7】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【针对训练】1、（2023春•金凤区校级期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其他字母） 【针对训练】2、（2024•大冶市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A关于BC的对称点为D，连接BD，CD．求证：四边形ABDC是菱形． 【考点八】添条件判定菱形 【例8】（2024春•江岸区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，直线BE交AD的延长线于点E． （1）求证：∠CBE＝∠E． （2）当BC＝DE时，连接DB、CE，请添加一个条件，使四边形BCED是菱形．（不用证明） 【针对训练】1、（2024•祁县模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，平移线段AB，使点A与点E重合．点B与点D重合，连接AE，BE，AD． （1）若∠BAC＝70°，∠ACB＝48°，求∠AED的度数． （2）请再添加一个条件，使四边形ABDE为菱形． 【针对训练】2、（2024春•南陵县期末）如图，已知△ABC中，BD、CE为AC、AB边上的中线，M、N是BO、CO的中点． （1）四边形EMND为平行四边形吗？为什么？ （2）连接AO，当线段AO与线段BC有怎样的关系时，四边形EMND是菱形？为什么？ 【针对训练】3、（2024春•洛阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，（不与A、D重合）EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE、DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）填空：若AB＝3，BC＝5，∠B＝60°，则当AE＝　 　时，四边形CEDF是菱形． 【考点九】含60°的菱形 【例9】（2024•船营区校级开学）如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【针对训练】1、（2024春•霞山区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝9cm，∠ADC＝120°，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s．若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C．3 D．2 【针对训练】2、（2024春•宽城县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【针对训练】3、（2024春•定州市期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求证：AE＝EF 【考点十】利用菱形的性质与判定证明 【例10】（2024•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E分别是AB，AC的中点，AF∥DE，EF∥AD． （1）求证：四边形ADEF是菱形； （2）连接CF，若AB＝10，AC＝12，求CF的长． 【针对训练】1、（2024春•长沙期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积． 【针对训练】2、（2024春•西华县月考）如图，在平行四边形ABCD中，，BE＝CE，AF＝DF，且AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝12，∠ABC＝60°，求OC的长． 【针对训练】3、（2024春•富顺县月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG． （1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数； 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•昆明期末）在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是　　 A．48 B．24 C．20 D．14 2．（2024春•仓山区校级期末）菱形不具有的性质是　　 A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．（2024•河口区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•天山区校级期中）如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为　　 A． B．1 C． D． 5．（2024春•城关区校级期末）如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　　 A．48 B．24 C．12 D．6 6．（2024•海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点处，若点表示的数是3，则点表示的数是　　 A．1 B． C．0 D． 7．（2024•西和县模拟）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 8．（2024春•东坡区校级期末）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•商南县期末）菱形中，，高是，则菱形的周长是　 　． 10．（2024春•陵城区期末）如图，在菱形中，，相交于点，且，若，，则的长等于 　　． 11．（2024春•北海期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　　． 12．（2024春•濮阳期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 　　． 13．（2024春•祁阳市期末）如图所示，，分别在和上，，则　　． 14．（2024春•蒸湘区校级期末）如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•海州区校级三模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 16．（2024春•南关区校级月考）如图，在四边形中，，平分，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的面积． 17．（2024•河口区校级模拟）如图，在平行四边形中，，交于点，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）求证：当，四边形为菱形． 18．（2024春•崇义县期末）如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若交于点，且，，求的长． 19．（2024•东莞市校级一模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20．（2024•钢城区一模）如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：． 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•南阳期末）如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，是线段上一点，过点作，交于点，则线段的长为　　 A． B．8 C． D．10 2．（2024春•五莲县期末）如图，在菱形中，对角线，，，则的长为　　 A． B． C．8 D． 3．（2024•武冈市校级模拟）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．4.8 D．5 4．（2024•泌阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点的坐标是 A． B． C． D． 5．（2024•昌黎县一模）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于　　 A． B． C． D． 6．（2024春•平湖市期末）如图，在菱形中，点，分别是边，的中点，连接，，．若菱形的面积为16，则的面积为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 7．（2024•龙亭区一模）如图，菱形的对角线、交于点，菱形的周长为40，直线过点，且与，分别交于点，，若，则四边形的周长是　　 A．20 B．23 C．26 D．29 8．（2024春•香河县期末）如图，在菱形中，，点和点分别在边和上运动（不与、、重合），满足，连接、交于点，在运动过程中，则下列四个结论正确的是　　 ①； ②的度数不变； ③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共6小题） 9．（2024•新城区校级模拟）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 　　． 10．（2024春•上虞区期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 　　． 11．（2024春•柯桥区期末）如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作交直线于点．若是以为底边的等腰三角形，则的长为 　　． 12．（2024春•杭州月考）如图，菱形的边长为4，，对角线与相交于点，点在上，且，则线段的长度为 　　． 13．（2024春•船营区校级期末）如图，菱形的周长为20，是的中点，是的中点，连接，则　　． 14．（2024春•久治县期末）如图，在菱形中，是的中点，且，，则对角线的长为 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•胶州市校级二模）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 16．（2023秋•贵阳期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17．（2024•崇明区模拟）如图1，在平行四边形中，点，分别在线段，上，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，（如图，若，求证：四边形是菱形． 18．（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长． 19．（2024•乌鲁木齐模拟）如图，在四边形中，，． （1）求证：； （2）若，试证明四边形是菱形． 20．（2024春•来宾期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当在中点时，求证：四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 菱形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．菱形的定义： 2 2．菱形的性质： 2 3．菱形的面积： 2 4．菱形的判定： 2 【考点一】利用菱形的性质求角度 3 【考点二】利用菱形的性质求长度 6 【考点三】菱形的面积公式及运用 8 【考点四】利用菱形的性质证明 11 【考点五】菱形的判定一：利用定义判定 15 【考点六】利用对角线特征判定菱形 18 【考点七】利用边的特征判定菱形 21 【考点八】添条件判定菱形 23 【考点九】含60°的菱形 26 【考点十】利用菱形的性质与判定证明 31 【课堂过关检测】 35 【综合达标训练】 51 【知识清单】 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 3．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 4．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 【考点归纳】 【考点一】利用菱形的性质求角度 【例1】（2024•茅箭区校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　） A．70° B．40° C．75° D．30° 【答案】A 【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝40°． ∵BA＝BE，∴∠BAE＝＝70°． 故选：A． 【针对训练】1、（2024春•鞍山期末）如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　55°　． 【答案】55°． 【解答】解：如图，连接BE， ∵菱形 ABCD中，∠ABC＝70°， ∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAB＝180°﹣70°＝110°，∠DAC＝∠BAC＝55°， ∵AB的垂直平分线交对角线AC于点E， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝55°， ∴由菱形的轴对称的性质可得： ∠ADE＝∠ABE＝55°， 故答案为：55° 【针对训练】2、（2024春•临沂月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E、F分别是边AB、BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】A 【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠GBF＝∠PCF， ∵F是边BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BGF与△CPF中， ， ∴△BGF≌△CPF（ASA）， ∴GF＝PF， ∴F为PG中点． 又∵由题可知，∠BEP＝90°， ∴EF＝PG， ∵PF＝PG， ∴EF＝PF， ∴∠FEP＝∠EPF， ∵∠BEP＝∠EPC＝90°， ∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝80°， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣80°）＝50°， ∴∠FPC＝50°； 故选：A． 【针对训练】3、（2024•铜山区二模）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A．55° B．57.5° C．60° D．62.5° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△AEB和△AFD中， ， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AB∥CD，∠B＝55°， ∴∠B＝180°﹣∠C， ∵∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣∠C， ∴∠EAF＝∠B＝55°， ∵∠AEF+∠AFE+∠EAF＝2∠AEF+55°＝180°， ∴∠AEF＝62.5°， 故选：D． 【考点二】利用菱形的性质求长度 【例2】（2024春•桥西区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．30 B．20 C．15 D．12 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC，OD＝BD， ∵AC＝8，BD＝6， ∴OA＝4，OD＝3， ∴AD＝＝5， ∴菱形的周长＝4×5＝20． 故选：B． 【针对训练】1、（2024春•禹州市期末）如图，在菱形ABCD中，CE垂直平分AB，若AE＝4，则BD的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AC，交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝， ∵CE垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2AE＝8， ∴AO＝4， ∴BO＝＝4， ∴BD＝2BO＝8， 故选：C． 【针对训练】2、（2024春•池州月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，BD＝8，则OM的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【解答】解：∵M，N分别是边AD，CD的中点， ∴AC＝2MN＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AC⊥BD， ∴AB＝＝＝5， ∵点M是AD中点，BO＝DO， ∴OM＝AB＝2.5， 故选：C． 【针对训练】3、如图，菱形ABCD的周长为20，E是AC的中点，F是AB的中点，连接EF，则EF＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴BC＝20÷4＝5， ∵E是AC的中点，F是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC＝×5＝， 故答案为：． 【考点三】菱形的面积公式及运用 【例3】（2024春•宜兴市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5， ∵DH⊥BC， ∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD， 即5DH＝×8×6， 解得：DH＝， 故选：C． 【针对训练】1、（2024•江南区校级开学）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB＝7，BD＝6，则CE的长是 　　． 【答案】． 【解答】在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴OB＝BD＝3，∠AOB＝90°， 在Rt△AOB中，AO＝＝＝2， ∴AC＝2AO＝4； ∵S菱形ABCD＝•AC•BD＝AB•CE， ∴×4×6＝7CE， ∴CE＝， 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣2），则菱形ABCD的面积是 　8　． 【答案】8． 【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABO＝∠ABC＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴OA＝OB•tan60°＝2， ∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝8， 故答案为：8． 【针对训练】3、（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，求出DE的长度． 【答案】DE的长是． 【解答】解：设AC交BD于点F， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，AF＝CF＝AC＝8，BF＝DF＝BD＝6， ∴∠AFB＝90°， ∴AB＝＝＝10， ∵DE⊥AB于点E， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD， ∴10DE＝×16×12， ∴DE＝， ∴DE的长是． 【考点四】利用菱形的性质证明 【例4】（2024春•金东区期末）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）30°． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝45°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°﹣α＝45°+α， ∴α＝30°， ∴∠BAP＝α＝30°． 【针对训练】1、（2024春•桦甸市期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：DE＝DF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AB＝CB＝AD＝DC， ∵BE＝BF， ∴AB﹣BE＝CB﹣BF， 即AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF． 【针对训练】2、（2024春•安次区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB， ∴ED∥BC，∠AEF＝∠G， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠G＝∠AFE， 又∵∠AFE＝∠GFB， ∴∠G＝∠GFB， ∴GB＝FB， ∵AD＝AB，AE＝AF， ∴ED＝BF， ∴GB＝ED， ∴四边形EGBD是平行四边形． （2）解：过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）可得，GE∥BD， ∵∠FGB＝30°，GE∥BD， ∴∠DBC＝30°， ∴∠ABH＝2∠DBC＝60°， ∵GB＝AE＝6， ∴AB＝AD＝12， ∵∠ABH＝90°， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴GH＝12， 在Rt△ABH中，， 在Rt△AGH中，． 【针对训练】3、（2024•仪陇县模拟）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连结BE． （1）求证：△DCE≌△BCE； （2）求证：∠AFD＝∠EBC． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB， 在△DCE和△BCE中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS）； （2）∵△DCE≌△BCE， ∴∠CDE＝∠CBE， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠AFD， ∴∠EBC＝∠AFD，即∠AFD＝∠EBC． 【考点五】菱形的判定一：利用定义判定 【例5】（2024•德州）下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 【答案】B 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【针对训练】1、（2023•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE 【答案】A 【解答】解：添加∠BAC＝90°时， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD＝BC＝CD， ∴四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE＝90°， ∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 添加AB＝AC，可得到AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形，选项C错误； 添加AB＝AE， ∵AE＝AB，AB＞AD， ∴AE＞AD， 故选项D不能判定四边形ADCE是菱形； 故选：A． 【针对训练】2、（2023•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　AB＝AD（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【针对训练】3、（2023春•金安区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AO，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 【答案】3． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，DC＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝3×2＝6， ∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×6＝1.5， ∵四边形OCED是菱形， ∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×1.5＝3． 【考点六】利用对角线特征判定菱形 【例6】（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【答案】C 【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形． 故选：C． 【针对训练】1、（2024•通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 【答案】D 【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵AD2+OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【针对训练】2、（2024春•青龙县期末）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：四边形AFCE是菱形， 理由是：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴＝， ∵AO＝OC， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形． 【针对训练】3、（2024春•山阳县期末）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接DE，DF，BE，BF． （1）求证：DE＝BF； （2）当AB＝AD时，求证：四边形DEBF为菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O A＝O C，O B＝O D， ∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE＝BF； （2）∵AB＝AD，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即BD⊥EF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF为菱形． 【考点七】利用边的特征判定菱形 【例7】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B 【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形． 故选：B． 【针对训练】1、（2023春•金凤区校级期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：　BC＝CD　，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其他字母） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴， ∴AB＝BC，AD＝CD， ∴当添加BC＝CD或AB＝AD时，四边形ABCD成为菱形． 故答案为：BC＝CD． 【针对训练】2、（2024•大冶市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A关于BC的对称点为D，连接BD，CD．求证：四边形ABDC是菱形． 【答案】详见解析． 【解答】解：如图，连接AD交BC于O， ∵A关于BC的对称点为D， ∴BC垂直平分AD， ∴AO＝DO，AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 ∴BO＝CO， ∴四边形ABDC是菱形． 【考点八】添条件判定菱形 【例8】（2024春•江岸区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，直线BE交AD的延长线于点E． （1）求证：∠CBE＝∠E． （2）当BC＝DE时，连接DB、CE，请添加一个条件，使四边形BCED是菱形．（不用证明） 【答案】（1）证明见解析； （2）BD＝BC（答案不唯一）． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠CDE， ∵∠A＝∠C， ∴∠CDE＝∠C， ∴BC∥AD， ∴∠CBE＝∠E； （2）解：添加条件BD＝BC，证明如下： 由（1）可知，BC∥AD， ∵BC＝DE， ∴四边形BCED是平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCED是菱形． 【针对训练】1、（2024•祁县模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，平移线段AB，使点A与点E重合．点B与点D重合，连接AE，BE，AD． （1）若∠BAC＝70°，∠ACB＝48°，求∠AED的度数． （2）请再添加一个条件，使四边形ABDE为菱形． 【答案】（1）62°； （2）AB＝BD，AD⊥BE（答案不唯一）．理由见解析． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ACB＝48°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝62°， 根据平移的性质，可得AB∥ED，AB＝ED， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴∠AED＝∠ABC＝62°； （2）AB＝BD，AD⊥BE（答案不唯一）． 证明：由（1）知四边形ABDE是平行四边形， ∵AB＝BD， ∴四边形ABDE为菱形． 【针对训练】2、（2024春•南陵县期末）如图，已知△ABC中，BD、CE为AC、AB边上的中线，M、N是BO、CO的中点． （1）四边形EMND为平行四边形吗？为什么？ （2）连接AO，当线段AO与线段BC有怎样的关系时，四边形EMND是菱形？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点， ∴ED∥BC且ED＝BC， MN∥BC且MN＝BC， ∴ED∥MN且ED＝MN， ∴四边形MNDE是平行四边形． （2）连接OA，∵点E、M分别是AB、OB的中点， ∴EM是△ABO的中位线， ∴EM＝OA． 由（1）知，MN＝BC． ∵OA＝BC， ∴EM＝MN． 又由（1）知，四边形EMND是平行四边形， ∴▱EMND是菱形． 【针对训练】3、（2024春•洛阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，（不与A、D重合）EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE、DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）填空：若AB＝3，BC＝5，∠B＝60°，则当AE＝　2　时，四边形CEDF是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥1AD， ∴CF∥ED， ∴∠FCD＝∠EDG， ∵G是CD的中点， ∴CG＝DG， 在△FCG和△EDG中， ， ∴△CFG≌△EDG（ASA）， ∴FG＝EG， ∵CG＝DG， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形CEDF是菱形． ∴CE＝DE， ∵∠CDE＝∠B＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD＝3， ∴AE＝AD﹣DE＝2， 故答案为：2 【考点九】含60°的菱形 【例9】（2024•船营区校级开学）如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 故选：D． 【针对训练】1、（2024春•霞山区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝9cm，∠ADC＝120°，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s．若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝9cm，∠ADB＝∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°， ∴∠CBD＝， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝60°， 又∵∠ADB＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， 由题意得AE＝t，cmCF＝2t cm， ∴BF＝BC﹣CF＝（9﹣2t）cm， ∴t＝9﹣2t， ∴t＝3， 故选：C． 【针对训练】2、（2024春•宽城县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】（1）△AMN是等边三角形，证明过程见解答； （2）四边形AMCN的面积不发生变化，理由见解答． 【解答】解：（1）△AMN是等边三角形， 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（ASA）， ∴AM＝AN， ∵∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形； （2）四边形CMAN的面积不发生变化，理由如下： ∵△BAM≌△CAN， ∴S△BAM＝S△CAN， ∴四边形AMCN的面积＝S△ACD＝2×＝， ∴四边形AMCN的面积不发生变化． 【针对训练】3、（2024春•定州市期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求证：AE＝EF 【答案】（1）32； （2）见解析过程． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝8，AC⊥BD，BD＝2OB， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BA＝8，， ∴， ∴菱形ABCD的面积＝； （2）证明：连接EC， ∵BD垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴∠EAC+∠DAC＝∠ECA+∠DCA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∵∠AEF＝120°，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD+∠F＝360°﹣∠AEF﹣∠ADC＝180°， ∵∠ECD+∠ECF＝180°， ∴∠F＝∠ECF， ∴EF＝EC， ∴EF＝AE． 【考点十】利用菱形的性质与判定证明 【例10】（2024•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E分别是AB，AC的中点，AF∥DE，EF∥AD． （1）求证：四边形ADEF是菱形； （2）连接CF，若AB＝10，AC＝12，求CF的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵AF∥DE，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AB，DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵AB＝BC， ∴AD＝DE， ∴四边形ADEF是菱形； （2）解：连接DF交AE于O， ∵四边形ADEF是菱形， ∴AE⊥DF，AO＝，OD＝， ∵D，E分别是AB，AC的中点，AB＝10，AC＝12， ∴AD＝5，AE＝6， ∴AO＝3， ∴DO＝＝4， ∴OF＝DO＝4，OC＝AC﹣AO＝12﹣3＝9， ∴CF＝＝＝． 故答案为：． 【针对训练】1、（2024春•长沙期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解答； （2）2． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴AC＝2CE＝2，AB＝2BO， ∴AO＝CO＝， ∵AB2＝AO2+BO2， ∴4BO2﹣BO2＝3， ∴BO＝1（负值舍去）， ∴BD＝2， ∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×2×2＝2． 【针对训练】2、（2024春•西华县月考）如图，在平行四边形ABCD中，，BE＝CE，AF＝DF，且AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝12，∠ABC＝60°，求OC的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD． ∵BE＝CE，AF＝CF， ∴BE＝AF． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵BC＝2AB， ∴AB＝BE． ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）过点O作OG⊥BC于点G， ∵E是BC的中点，BC＝2AB， ∴BE＝CE＝AB， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴BE＝CE＝AB＝12，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OE＝6，∠OEB＝60°． ∴GE＝3，， ∴GC＝GE+CE＝15． 在Rt△OCG中，． 【针对训练】3、（2024春•富顺县月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG． （1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数； 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②60°． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴EF∥CF∥AB， ∴∠BAE＝∠GEF，∠DAE＝∠CEF， ∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠GEF＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠GFE＝∠GEF， ∴EG＝GF， ∴平行四边形ECFG是菱形； （2）①证明：由题知，EC∥AD， 在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝∠FCE＝120°， 由（1）知，平行四边形ECFG是菱形， ∴∠CEG＝180°﹣120°＝60°， ∴△GEC、△GFC是等边三角形， ∴GE＝GC， ∵∠BAD＝180°﹣∠ABC＝60°＝2∠BAE， ∴∠BAE＝∠BEA＝30°， ∴BE＝AB＝DC， ∵∠GEB＝180°﹣∠CEG，∠GCD＝180°﹣∠GCF，∠GEC＝∠GCE＝60°， ∴∠GEB＝∠GCD， 在△DGC和△BGE中， ， ∴△DGC≌△BGE（SAS）； ②解：∵△DGC≌△BGE（SAS）， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°． 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•昆明期末）在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是　　 A．48 B．24 C．20 D．14 【答案】 【解答】解：菱形的面积． 故选：． 2．（2024春•仓山区校级期末）菱形不具有的性质是　　 A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】 【解答】解：菱形不具有的性质是对角线相等， 选项符合题意， 故选：． 3．（2024•河口区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， 四边形是菱形， ， 则点的横坐标为， 故的坐标为：， 故选：． 4．（2024春•天山区校级期中）如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【解答】解： 过作于，于， 则，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在△和△中 △△， ， 四边形是菱形， ， 在△中，，，， ，， ， 重叠部分的面积是， 故选：． 5．（2024春•城关区校级期末）如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　　 A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】 【解答】解：菱形的两条对角线的长分别为6和8， 菱形的面积， 是菱形两条对角线的交点， 阴影部分的面积． 故选：． 6．（2024•海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点处，若点表示的数是3，则点表示的数是　　 A．1 B． C．0 D． 【答案】 【解答】解：如图，过点作的垂线，垂足为点， 四边形是菱形， ，平分，， ， ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 点表示的数是3， 点表示的数是． 故选：． 7．（2024•西和县模拟）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 8．（2024春•东坡区校级期末）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•商南县期末）菱形中，，高是，则菱形的周长是　64　． 【解答】解： 菱形的周长是． 故答案为64． 10．（2024春•陵城区期末）如图，在菱形中，，相交于点，且，若，，则的长等于 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是菱形， ， ，， 菱形的面积为； ，， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024春•北海期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【解答】解：过点作轴于点， 点，的坐标分别为，， ，， 四边形是菱形， ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 12．（2024春•濮阳期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 　96　． 【答案】96． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：96． 13．（2024春•祁阳市期末）如图所示，，分别在和上，，则　80　． 【答案】80． 【解答】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ，， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：80． 14．（2024春•蒸湘区校级期末）如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 　　． 【解答】解：在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在上，， 当点在上，过点作于点，如图1， 四边形是菱形， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 解得， ． 当点在上，过点于点，连接，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•海州区校级三模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点， ， ， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； （2）解：作于， 四边形是菱形，，， ，，， ， ， 即， 解得， ． 16．（2024春•南关区校级月考）如图，在四边形中，，平分，，为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：为的中点， ． ， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分， ． ， ， ． ． 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，，， ，， ，， ，是等边三角形， ，， ， ， ． 17．（2024•河口区校级模拟）如图，在平行四边形中，，交于点，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）求证：当，四边形为菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点，分别是，的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：在和中， ，，， ， ， ， ，即， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 18．（2024春•崇义县期末）如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若交于点，且，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 也是等腰三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 19．（2024•东莞市校级一模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在△中，，， ， ． 20．（2024•钢城区一模）如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：． 【解答】证明：解法一： 四边形是菱形， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． 解法二： 连接， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ． 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•南阳期末）如图，菱形的周长为52，对角线的长为10，是线段上一点，过点作，交于点，则线段的长为　　 A． B．8 C． D．10 【答案】 【解答】解：连接，交于， 菱形的周长为52，对角线的长为10， ，，，，， 在中，，则， ，， 是菱形边上的高， 由得， 解得， 故选：． 2．（2024春•五莲县期末）如图，在菱形中，对角线，，，则的长为　　 A． B． C．8 D． 【答案】 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， 在中，， 菱形的边长为13，即， ， ， ， 故选：． 3．（2024•武冈市校级模拟）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（2024•泌阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点的坐标是 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图所示，设与轴交于点， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形，则， 是菱形的对角线的中点， 轴，则， ，， ，关于对称， ， 故选：． 5．（2024•昌黎县一模）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，两点的坐标分别是，， ，， ， 四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故选：． 6．（2024春•平湖市期末）如图，在菱形中，点，分别是边，的中点，连接，，．若菱形的面积为16，则的面积为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】 【解答】解：连接和， 则，， 又点，分别是边，的中点， ，， ， 点，分别是边，的中点， ， ， 故选：． 7．（2024•龙亭区一模）如图，菱形的对角线、交于点，菱形的周长为40，直线过点，且与，分别交于点，，若，则四边形的周长是　　 A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】 【解答】解：菱形的周长为40，， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长是： ， 四边形的周长是26． 故选：． 8．（2024春•香河县期末）如图，在菱形中，，点和点分别在边和上运动（不与、、重合），满足，连接、交于点，在运动过程中，则下列四个结论正确的是　　 ①； ②的度数不变； ③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【解答】解：是菱形，，， ， 是等边三角形， ，即 ， ，，，故①正确； ， ，故③正确； ，， ， ，故②正确． 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•新城区校级模拟）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，设与的交点为， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024春•上虞区期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 　12　． 【答案】12． 【解答】解：作于，于，连接、交于点． 由题意知：，， 四边形是平行四边形， 两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形， 四边形的周长为， 故答案为：12． 11．（2024春•柯桥区期末）如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作交直线于点．若是以为底边的等腰三角形，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图， 过作于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 12．（2024春•杭州月考）如图，菱形的边长为4，，对角线与相交于点，点在上，且，则线段的长度为 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是边长为4的菱形，对角线与相交于点， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2024春•船营区校级期末）如图，菱形的周长为20，是的中点，是的中点，连接，则　　． 【答案】． 【解答】解：菱形的周长为20， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 14．（2024春•久治县期末）如图，在菱形中，是的中点，且，，则对角线的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是菱形， ，， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ； 连接，交于点， 在菱形中，， ，， ， 根据勾股定理可得：， 即． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•胶州市校级二模）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）当满足条件时，四边形是菱形，理由见解析． 【解答】（1）证明：为的中点，为中点， ，， ， ，， 在和中， ， ； （2）当满足条件时，四边形是菱形，理由为： ， ， ， ， 四边形为平行四边形； ，是的中点， ， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形． 16．（2023秋•贵阳期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长为6． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， 的长为6． 17．（2024•崇明区模拟）如图1，在平行四边形中，点，分别在线段，上，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，（如图，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 18．（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形中，．连接交于点，过点作交延长线于点．，求的长． 【答案】． 【解答】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， 19．（2024•乌鲁木齐模拟）如图，在四边形中，，． （1）求证：； （2）若，试证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）在和中， ， ， ； （2）， ， 由（1）可知，， ， ， 同理：， ， ， 四边形是菱形． 20．（2024春•来宾期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当在中点时，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形． （2）由（1）知，四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/5 17:14:49；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$