第六章 3 反比例函数的应用&专题 反比例函数中k的几何意义-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 3　 反比例函数的应用 反比例函数在实际问题中的应用 1. (3 分)已知甲、乙两地相距 30 千米,汽车从甲 地匀速行驶到乙地,则汽车行驶速度 v(单位: 千米 / 时)关于行驶时间 t(单位:时)的函数图 象为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. (3 分) (山东二模)列车从甲地驶往乙地,行 完全程所需的时间 t(h)与行驶的平均速度 v (km / h)之间的反比例函数关系如图所示. 若 列车要在 2. 5 h 内到达,则速度至少需要提高 到(　 　 ) A. 180 km / h B. 240 km / h C. 280 km / h D. 300 km / h 反比例函数在其他学科中的应用 请回答 3~ 4 题: 3. (3 分)公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德 发现了杠杆平衡条件,后来人们把它归纳为 “杠杆原理”,即:阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力 臂分别是 1 000 N 和 0. 3 m,则动力 F(N)关于 动力臂 l(m)的函数表达式是(　 　 ) A. F= 1000 l B. F= 300 l C. F= 500 l D. F= 0. 5 l 4. (3 分)一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的 改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化 来实现,如图所示的是该台灯的电流 I( A)与 电阻 R(Ω)成反比例函数的图象,该图象经过 点 P(1 100,0. 2). 根据图象可知,下列说法正 确的是(　 　 ) A. I 与 R 的函数关系式是 I= 220 R (R>0) B. 当 R= 100 时,I= 5 C. 当 R>1 100 时,I>0. 2 D. 当电阻 R(Ω)越大时,该台灯的电流 I( A) 也越大 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 反比例函数与一次函数综合 5. (3 分)如图,一次函数与反比例函数的图象交于 A(1,3)、B(3,1)两点. 在第一象限,当一次函数 大于反比例函数的值时,x 的取值范围是(　 　 ) A. x<1 B. 1<x<3 C. x>3 D. x>4 6. (8 分)如图,一次函数 y=mx+b 的图象与反比 例函数 y= k x 的图象交于 A(3,1)、B( - 1 2 ,n) 两点. (1)求该反比例函数的表达式; (2)求 n 的值及该一次函数的表达式. 88 忽略实际问题中自变量的取值范围致错 7. (3 分)面积为 2 的△ABC,一边长为 x,这边上 的高为 y,则 y 与 x 之间的变化规律用图象表 示大致是(　 　 ) A. B. C. D. 8. 跨学科试题·跨物理 (3 分) (河南模拟)一款 简易电子秤的工作原理:一个装有踏板(踏板 质量忽略不计)的可变电阻 R2,R2 与踏板上人 的质量 m 之间的函数关系式为 R2 = -2m+240 (0≤m≤120),其图象如图 1 所示;图 2 的电路 中,电源电压恒为 12 伏,定值电阻 R1 的阻值为 60 欧,接通开关,人站上踏板,电流表显示的读 数为 l 安,该读数可以换算为人的质量 m,电流 表量程为 0 ~ 0. 2 安(温馨提示:导体两端的电 压 U,导体的电阻 R,通过导体的电流 I,满足关 系式 I= U R ),则下面结论错误的为(　 　 ) 图 1 图 2 A. 用含 I 的代数式表示 m 为 m= 150- 6 I B. 电子体重秤可称的最大质量为 120 千克 C. 当 m= 115 时,若电源电压 U 为 12 伏,则定 值电阻 R1 最小为 70 欧 D. 当 m = 115 时,若定值电阻 R1 为 40 欧,则 电源电压 U 最大为 10 伏 9. (3 分)如图所示是某一蓄水池每小时的排水 量 V(m3 / h)与排完水池中的水所用时间 t(h) 之间的函数关系图象. 若要 5 小时排完水池中 的水,则每小时的排水量应为　 　 　 　 m3 . 第 9 题图 　 第 10 题图 10. (3 分)如图,一块砖的 A、B、C 三个面的面积 比是 4 ∶2 ∶1,如果 B 面向下放在地上,地面所 受压强为 a Pa,那么 A 面向下放在地上时, 地面所受压强为　 　 　 　 Pa. 11. (10 分) (青岛期末)制作一种产品,需先将 材料加热达到 60℃ 后,再进行操作,设该材 料温度为 y(℃ ),从加热开始计算的时间为 x(min). 据了解,当该材料加热时,温度 y 与 时间 x 成一次函数关系;停止加热进行操作 时,温度 y 与时间 x 成反比例关系(如图) . 已知在操作加热前的温度为 15℃ ,加热 5 分 钟后温度达到 60℃ . (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操 作时,y 与 x 的函数关系式; (2)根据工艺要求,当材料的温度低于 15℃ 时,须停止操作,那么从开始加热到停止操 作,共经历了多少时间? 98 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 专题　 反比例函数中 k 的几何意义 过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线 【模型讲解】过反比例函数图象上任意一点作 x 轴或 y 轴的垂线段,并连接这点和 y 轴或 x 轴 上任意一点所得三角形的面积等于 1 2 | k | . 1. (3 分)若下列反比例函数的表达式均为 y = 6 x ,则阴影部分面积为 3 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. (3 分)如图,点 B 在反比例函数 y = 4 x (x>0) 的图象上,点 C 在反比例函数 y= - 6 x (x>0)的 图象上,且 BC∥y 轴,AB⊥BC,垂足为点 B,交 y 轴于点 A,则△ABC 的面积为　 　 　 　 . 第 2 题图 　 第 3 题图 3. (3 分)如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上,A、D 两点分别在反比 例函数 y= k x (x<0)与 y = 1 x (x>0)的图象上. 若▱ABCD 的面积为 4,则 k 的值为　 　 　 　 . 反比例函数图象与正比例函数图象的交 点构成的三角形 【模型讲解】反比例函数图象与正比例函数图 象的交点及其中一个交点与 x 轴或 y 轴的垂足 围成的三角形面积等于 | k | . 　 4. (3 分)如图所示,A、B 是函数 y = 2 x 的图象上 关于原点 O 的任意一对对称点,AC∥y 轴,BC ∥x 轴. 若△ABC 的面积为 S,则(　 　 ) A. S= 2 B. S= 2 2 C. 1<S<2 D. S>2 第 4 题图 　 第 5 题图 5. (3 分)如图,正比例函数 y= x 与反比例函数 y = 1 x 的图象相交于点 A、C 两点,AB⊥x 轴于点 B,CD⊥x 轴于点 D,则四边形 ABCD 的面积为 　 　 　 　 . 09 15. C　 【解析】连接 AC,AC 与 BD、x 轴分别交于点 E、F. ∵ A、B 横坐标分别为 1,4,∴ BE = 3. ∵ 四边形 ABCD 为菱 形,AC、BD 为对角线,∴ S菱形ABCD = 4× 1 2 AE·BE = 45 2 ,∴ AE= 15 4 . 设点 B 的坐标为(4,y),则 A 点坐标为(1,y+ 15 4 ),∵ 点 A、B 在 y = k x 图象上,∴ 4y = 1·(y+ 15 4 ),∴ y = 5 4 ,∴ B 点坐标为(4, 5 4 ),∴ k= 5. 故选 C. 3　 反比例函数的应用 1. D 2. B　 【解析】设 t 与 v 之间的关系式为 t= k v ,把 v= 200 时,t = 3 代入得:3 = k 200 ,∴ k = 600. ∴ t = 600 v ,当 t = 2. 5 时,即 2. 5 = 600 v ,∴ v= 240. 故选 B. 3. B　 4. A　 5. B 6. 解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象经过 A(3,1),∴ k = 3× 1 = 3,∴ 反比例函数的表达式为 y= 3 x ; (2)把 B(- 1 2 ,n)代入反比例函数表达式,可得- 1 2 n= 3, 解得 n= -6,∴ B(- 1 2 ,-6) . 把 A(3,1),B(- 1 2 ,-6)代入 一次函数 y=mx+b,可得 1 = 3m+b, -6 = - 1 2 m+b.{ 解得 m= 2,b= -5.{ ∴ 一 次函数的表达式为 y= 2x-5. 7. C 8. C　 【解析】A. 根据题意可知,I = U R1 +R2 = 12 60+(-2m+240) = 12 -2m+300 ,解得 m= 150- 6 I ;B. 由 m= 150- 6 I ,得 m 随 I 的增大而增大,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I= 0. 2 时,m 的最大值 为 120;C. 当 U= 12,m= 115 时,R2 = -2m+240 = -2×115+ 240 = 10,∵ I = U R1 +R2 = 12 10+R1 ,∴ R1 = 12 I -10,∴ R1 随 I 的 增大而减小,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I = 0. 2 时,R1 最小,最小 值为 50;D. 当 m = 115 时,R2 = - 2m+ 240 = 10,∵ R1 = 40, ∴ U=(R1 +R2) I = (10+40) I = 50I,∵ 50>0,∴ U 随 I 的增 大而增大,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I = 0. 2 时,U 最大,最大值 为 10. 故选 C. 9. 9. 6 10. a 2 　 【解析】设该砖的质量为 M,则 P·S=Mg. ∵ B 面向 下放在地上时地面所受压强为 a Pa,A,B,C 三个面的面 积之比是 4 ∶2 ∶1,∴ 把砖的 A 面向下放在地面上,P = a 4 2 = a 2 Pa. 11. 解:(1)设一次函数表达式为:y = kx+b,反比例函数表达 式为:y= m x (m≠0) . 当 0≤x<5 时,温度 y 与时间 x 成一 次函数关系,把点(0,15)和点(5,60)代入一次函数表 达式为 15 = b 60 = 5k+b{ ,解得: k= 9 b= 15{ ,∴ y= 9x+15(0≤x<5) . 当 x≥5 时,温度 y 与时间 x 成反比例函数关系,把点 (5,60)代入反比例函数表达式为 m = 5×60 = 300,∴ y = 300 x (x≥5) . 综上,将材料加热时,y = 9x+ 15(0≤x< 5), 停止加热进行操作时,y= 300 x (x≥5); (2)令 y= 300 x 中 y = 15 得,15 = 300 x ,解得:x = 20,∴ 从开 始加热到停止操作,共经历了 20 分钟. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:在分段函数中,用待定系数法求函数表达式 时,要特别注意图象的“转折点”,即两个函数图象的公共 点,它的横坐标是两个函数自变量取值范围的分界点,也 是求函数表达式的关键点. 专题　 反比例函数中 k 的几何意义 1. C 2. 5　 【解析】过 C 点作 CH⊥y 轴于 H 点,BC 交 x 轴于 D. ∵ BC∥y 轴,AB⊥BC,∴ 四边形 ABDO、四边形 ODCH、四边 形 ABCH 都是矩形. ∵ S矩形ABDO = 4,S矩形ODCH = 6,∴ S矩形ABCH = 4+6 = 10,∴ S△ABC = 1 2 S矩形ABCH = 5. 3. -3　 【解析】连接 OA、OD,设 AD 与 y 轴的交点为点 E,∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,BC⊥y 轴,∴ AD⊥y 轴,∴ S△OAE = 1 2 × | k | = | k | 2 ,S△ODE = 1 2 × 1 = 1 2 ,∴ S△OAD = | k | 2 + 1 2 ,∵ ▱ABCD 的面积= 2S△OAD = 4,∴ | k | +1 = 4. 解得 k = -3 或 3,∵ k<0,∴ k= -3. 4. B　 【解析】设点 A 的坐标为(x,y),则点 B 的坐标为(-x, -y),k= xy = 2,∵ AC∥y 轴,BC∥x 轴,∴ ∠C = 90°,AC = 2y,BC= 2x. ∴ S= 1 2 AC·BC = 1 2 ×2y× 2x = 2xy = 2 2 . 故 选 B. 5. 2　 【解析】联立方程组 y= x y= 1 x { 得 A(1,1),C(-1,-1) . ∵ AB⊥x 轴于点 B,CD⊥x 轴于点 D,∴ B(1,0),D(-1,0) . ∴ S△ADB = 1 2 ×(1+ | - 1 | ) × 1 = 1,S△BCD = 1 2 ×(1+ | - 1 | ) × | -1 | = 1,∴ S四边形ABCD =S△ADB+S△BCD = 2. 追梦第六章章末复习　 反比例函数 1. D　 2. B　 3. 12　 4. 2 5. D　 【解析】∵ 直线 y = x 与反比例函数 y = 1 x (x>0)的图 象交于点 A,∴ y= x y= 1 x { ,解得 x= 1y= 1{ ,∴ A 的横坐标为 1,∵ OA= 3BC,∴ C 的横坐标为 1 3 . 把 x = 1 3 代入 y = 1 x 得,y = 3,∴ C( 1 3 ,3),∵ 将直线 y = x 沿 y 轴向上平移 k 个单位 —42—